s

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“Circunferencia Trigonométrica”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
 Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
 Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números
reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula;
que van a representar los valores numéricos de las
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número
real, siempre que esté definido.
1. L.T. seno
Variación del seno de un arco:
2. L.T. coseno
Variación del coseno de un arco:
B
y
M
B' N
R = 1
A' A
x


(+)
(-)
y 
2

2
0
x
3
2

y
90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen

IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos

Semana N° 5

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
3. L.T. tangente
4. L.T. Cotangente
En el gráfico:
Se observa que BT

representa a la cotangente del
arco trigonométrico .
Línea Secante:
En el gráfico:
Se observa que OR

representa a la secante del arco
trigonométrico.
Línea Cosecante:
En el gráfico:
Se observa que OM

representa a la cosecante del arco
trigonométrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Calcular el área de la región sombreada en
términos de “”
A) sen2
B) 2cos2
C) cos2
D) (2-sen2)
E) 2sen2
2) Calcular el área de la región triangular:
A)   cosSen
2
1
B)  1cosSen
2
1
 
C)  2cosSen
2
1

D)   cosSen
2
1
y
x
N

M

cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A

P
cos
(-)
 cos
(+)

Q
y
x
N

O
P


Q

M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan


C.T.
P
0
T
rad
Tangente
Geométrica
tangente
geométrica


C.T.
P
0
rad
A
Y
tangente
geométrica


C.T.
P
M
0
rad
B(0;1)Y

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
E)  1cosSen
2
1

3) Del gráfico, calcule la ordenada del punto P.
A)2𝑠𝑒𝑛 (
𝛼+𝜃
2
) cos (
𝛼−𝜃
2
) B)𝑠𝑒𝑛 (
𝛼+𝜃
2
) cos (
𝛼−𝜃
2
)
C) 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 D) 𝑠𝑒𝑛 (
𝛼−𝜃
2
) cos (
𝛼+𝜃
2
)
E) 𝑠𝑒𝑛𝛼 – 𝑠𝑒𝑛𝜃
4) En la circunferencia trigonométrica, calcule el
área de la región sombreada en términos de
𝜃.
A)
(1+𝑠𝑒𝑛𝜃 )(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )
2
B)
(1−𝑠𝑒𝑛𝜃 )(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )
2
C)
(1+𝑠𝑒𝑛𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )
2
D)
(1−𝑠𝑒𝑛𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )
2
E)
(1+𝑠𝑒𝑛𝜃 )(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )
4
5) En la circunferencia trigonométrica, calcule la
abscisa del punto P si OM=MB.
A)
−𝐶𝑜𝑠𝜃
2𝑆𝑒𝑛𝜃+1
B)
𝐶𝑜𝑠𝜃
2𝑆𝑒𝑛𝜃−1
C)
𝐶𝑜𝑠𝜃
1−2𝑆𝑒𝑛𝜃
D)
−𝑆𝑒𝑛𝜃
2𝐶𝑜𝑠𝜃+1
E)
𝐶𝑜𝑠𝜃
2𝑆𝑒𝑛𝜃+1
6) En el gráfico mostrado, calcule el área de
la región triangular OQP.
A) −
𝑠𝑒𝑛𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃
4
B) −
𝑠𝑒𝑛𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃
8
C) −
𝑠𝑒𝑛𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃
16
D) −
𝑠𝑒𝑛𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃
2
E) −𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃
7) Del gráfico, calcule 2𝑥1– 𝑦1.
A) 2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
B) – (2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
C) 2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
D) 2𝑠𝑒𝑛𝜃 – 𝑐𝑜𝑠𝜃
E) 2𝑐𝑜𝑠𝜃 – 𝑠𝑒𝑛𝜃
8) Calcule la ordenada del punto P, si 𝜃 =
2𝜋
3
A) 1 − √ 2
B) √3 – 2
C)√3 − 3
D) 2 − √5
E) √3 – 4
9) En la circunferencia trigonométrica,
determine el área de la región triangular ABC.
A)
𝑐𝑜𝑠𝛼
2
B)−
𝑐𝑜𝑠𝛼
2
C) 𝑐𝑜𝑠𝛼
D) 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
E)−𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
10)En la circunferencia trigonométrica mostrada,
𝐴𝑀𝑃̂ = 𝛼 . Halle la abscisa del punto Q, donde
R es punto medio de ON.
A)
𝐶𝑜𝑠𝛼
1−2𝑆𝑒𝑛𝛼
B)
𝐶𝑜𝑠𝛼
1−𝑆𝑒𝑛𝛼
C)
𝐶𝑜𝑠𝛼
1−cos 𝛼
D)
𝑆𝑒𝑛𝛼
1+cos 𝛼
E)
𝐶𝑜𝑠𝛼
1+𝑆𝑒𝑛𝛼

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
11)En la circunferencia trigonometría, determine
el área de la región rectangular ABCD.
A) sen4𝛼
B) – sen2𝛼
C) – 2sen4𝛼
D) 2sen2𝛼
E) 2cos4𝛼
12)En la circunferencia trigonométrica, calcule el
área de la región triangular OBC.
A)
1
2
(1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
B)
1
2
(𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 1)
C)
1
2
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
D)
1
2
(𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 1)
E)
1
2
(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼)
13)En la circunferencia trigonométrica mostrada,
determine el área de la región triangular ABC.
A) – 2𝑠𝑒𝑛2𝛼 B) –
𝑠𝑒𝑛2𝛼
2
C)
𝑠𝑒𝑛2𝛼
2
D)
cos 𝛼𝑠𝑒𝑛𝛼
2
E)−
cos 𝛼𝑠𝑒𝑛𝛼
2
14)A partir del gráfico, calcule la ordenada del
punto P si OM=MN.
A)
1
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 − √3𝑠𝑒𝑛𝜃
B)
1
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 + √3𝑠𝑒𝑛𝜃
C)
√3𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃
2
D) √3𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
2
𝑠𝑒𝑛𝜃
E)
1
2
(𝑠𝑒𝑛𝜃 − √3𝑐𝑜𝑠𝜃)
15)El área de la región sombreada es equivalente
a |𝑐𝑜𝑠𝜃|. Calcule el valor de 𝜃.
A)
5𝜋
6
B)
2𝜋
3
C)
3𝜋
4
D)
7𝜋
12
E)
11𝜋
12
16)En la circunferencia trigonométrica,
determine el área de la región triángulo ABC.
A) – 𝑐𝑜𝑠𝛼
B) –
𝑐𝑜𝑠𝛼
2
C)
𝑐𝑜𝑠𝛼
2
D) 𝑐𝑜𝑠𝛼
E) 2𝑐𝑜𝑠𝛼
17) Sea el conjunto
H = {x/x = cos k + sen
2
k
∧k ε ℤ }
Calcular n(H)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
18) Sea “” la medida de un arco dirigido del IVC (en la
circunferencia C: x2 + y2 = 1). Cuyo extremo es el
Punto P 





n;
2
1
. Hallar las coordenadas del extremo
del arco ( +
2
9
).
A) 






 
2
3
;
2
1
D)








2
1
;
2
3
B)







 
2
1
,
2
3
E)








 
2
1
,
2
3
C)







 
2
3
;
2
1
19) Calcular el área de la región sombreada.


A) 2Tg-sen
B) 2-sec
C) –(Tg+sen)
D) 1 – Sec
E) sen - Tg
20) Hallar el intervalo de la función definida por la regla:
f(x) = Sen(2 cos2x+sen2x)
A) [Sen3 ; Sen1] D) [Sen3 ; 1]
B) <Sen2 ; Sen 1> E) [Sen3 ; 1]
C) <Sen3 ; 1>