1. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO
ÁNGULOS DIEDROS
Q
Es la figura geométrica formada por la unión
de sus semiplanos que tienen una recta en
α θ
común a la cual se le denomina arista del α + θ = 180º
ángulo diedro. P
Arista
A Notación:
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE
Ángulo Diedro AB ó UN PLANO
cara cara Ángulo Diedro
P Q Por definición la proyección ortogonal de un
P - AB - Q punto sobre un plano es el pie de la
θ
x y perpendicular trazada de este punto al plano. De
B θ: Medida del ángulo esto se concluye que la proyección ortogonal de
Diedro cualquier figura geométrica sobre un plano es la
reunión de las proyecciones
ortogonales de todos sus puntos sobre dicho
PLANOS PERPENDICULARES
plano.
Dos planos son perpendiculares, cuando
P L
determinan diedros que miden 90º.
Q
θ m
θ: Medida del
θ ángulo diedro. P’
Q
P
Si θ = 90º
⇒ P Q
Sea PP' Q ⇒ P’ es la proyección del
punto P sobre el plano Q
Observación.- Dos diedros adyacentes son Además M es la proyección ortogonal de
suplementarios. L sobre el plano Q.
Prof: Toribio Córdova C.

2. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Ángulos Poliedros
POLIEDROS Son los formados en los vértices del
poliedro
Poliedro es un sólido completamente
limitado por polígonos. El mínimo número de
Diagonal
caras que tiene un poliedro es cuatro.
Es el segmento que une dos vértices no
situados en la misma cara
CLASIFICACION
1) Por el número de caras:
- Tetraedro: cuando tiene 4 caras
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO - Pentaedro: cuando tiene 5 caras
Los elementos principales de un poliedro son: - Hexaedro: cuando tiene 6 caras
- Heptaedro: cuando tiene 7 caras
Vértice
- Octaedro: cuando tiene 8 caras
Diagonal
2) Según sus características:
Cara
a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera
Arista
de sus secciones planas es un polígono
convexo, o equivalentemente, si el
segmento que une dos puntos
cualesquiera del poliedro está totalmente
Caras contenido en el poliedro.
Son los polígonos que limitan los poliedros.
Aristas
Son las intersecciones de las caras.
Vértice
Son los puntos donde se encuentran las b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de
aristas- las secciones planas es un polígono
cóncavo. Al trazar una recta secante
Ángulos Diedros corta en más de 2 puntos de intersección
Son los formados por dos caras consecutivas. a su superficie poliédrica.
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3. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO
C → número de caras
1
2 V → número de vértices
3
4 A → número de aristas
5
6
Entonces se verifica que:
C+V=A+2
c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus
caras son polígonos regulares e iguales, y POLIEDROS REGULARES
sus ángulos diedros y triedros también
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son
son iguales.
polígonos regulares iguales entre si:
d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras
son polígonos irregulares y desiguales, y
sus angulos poliedros no son todos
iguales.
TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual
al número de aristas más dos.
Si para un poliedro convexo:
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4. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO
A) TETRAEDRO: Sus caras son cuatro Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH
regiones triangulares equiláteras.
Diagonal ( BH ):
O BH = l 3
Volumen (V):
v = l3
Superficie total o Área (A):
C
A = 6l 2
A
G
C) OCTAEDRO: Sus caras son ocho
B
regiones triangulares equiláteras.
Notación: Tetraedro Regular O – ABC M
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
OG =
l 6
3
B
Volumen (V): C
V =
l3 2 A D
12
Superficie total o Área (A):
A = l2 3
N
B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones
Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N
cuadradas, también se le denomina cubo.
Diagonal ( MN ):
B
MN = l 2
C
Volumen (V):
A D
V =
l3 2
3
F Superficie total o Área (A):
G
A = 2l 2 3
E H
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5. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO
D) DODECAEDRO: Sus caras son doce
regiones pentagonales iguales.
1. En un poliedro, la suma del número de
caras, vértices y aristas es 32. Calcule
el número de aristas de dicho poliedro.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
2. Si la arista de un tetraedro regular es
Volumen (V):
3cm, calcular su altura.
3
5l 47 + 21 5
V =
2 10
a) 3cm b) 3 6 cm c) 6 cm
Superficie total o Área (A): d) 2 3 e) 4 3
5+2 5
A = 15l 2 3. Calcula el área de un tetraedro regular
5
cuya arista es 3 cm.
E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte
regiones triangulares equiláteras. a) 3 cm b) 3 3 cm c) 2 3 cm
d) 4 3 cm e) 3 2 cm
a
4. Calcular el volumen de un tetraedro
regular sabiendo que su área total es
18 3 cm2.
a) 3 cm3 b) 9 cm3 c) 12 cm3
d) 9 2 cm3 e) 1 cm3
Volumen (V):
5a 2 7+3 5
V=
6 2 5. Calcular la arista de un hexaedro
regular sabiendo que su área total es
Superficie total o Área (A):
18 m2.
A = 5a 2 3
a) 3m b) 2 3 m c) 3 3 m
d) 4 3 m e) 5 3 m
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6. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO
6. Calcular el volumen de un cubo donde el
área y el volumen son numéricamente
iguales.
a) 196 u3 b) 206 u3 c) 336 u3
d) 366 u3 e) 216 u3
7. La suma de las aristas de un cubo es 72
cm. Calcula el volumen de dicho cubo.
a) 206 cm3 b) 106 cm3 c) 216 cm3
d) 336 cm3 e) 356 cm3
8. Calcular el área total de un octaedro
regular de arista 2cm.
a) 8 cm2 b) 9 cm2 c) 9 3 cm2
d) 8 3 cm2 e) 12 cm2
9. Calcular el volumen total de un
octaedro regular de arista 3 cm.
a) 9 2 cm3 b) 8 cm3 c) 9 cm3
d) 8 3 cm3 e) 12 cm3
10. Si la arista de un icosaedro regular
4
mide 3 m, calcula el área de su
superficie.
a) 15 m2 b) 9 m2 c) 13 m2
d) 6 m2 e) 6 3 m2
Prof: Toribio Córdova C.