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I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA”                             3er Año          GEOMETRÍA DEL ESPACIO




               ÁNGULOS DIEDROS
                                                                    Q
Es la figura geométrica formada por la unión
de sus semiplanos que tienen una recta en
                                                                        α    θ
común a la cual se le denomina arista del                                                                 α + θ = 180º
ángulo diedro.                                                 P

           Arista

               A               Notación:
                                                               PROYECCIÓN              ORTOGONAL                     SOBRE
                               Ángulo Diedro AB ó              UN PLANO
    cara       cara            Ángulo Diedro
P                          Q                             Por definición la proyección ortogonal de un
                               P - AB - Q                punto     sobre    un       plano       es       el   pie    de   la
           θ
    x                  y                                 perpendicular trazada de este punto al plano. De
           B                   θ: Medida del ángulo      esto se concluye que la proyección ortogonal de
                                  Diedro                 cualquier figura geométrica sobre un plano es la
                                                         reunión de las proyecciones
                                                         ortogonales de todos sus puntos sobre dicho
PLANOS PERPENDICULARES
                                                         plano.
Dos planos son perpendiculares, cuando
                                                                                 P                    L
determinan diedros que miden 90º.

                   Q
                                                                                             θ            m
                                 θ:   Medida       del

               θ                 ángulo diedro.                             P’
                                                                    Q

P
                                 Si   θ = 90º


                                 ⇒     P       Q
                                                           Sea PP'          Q        ⇒           P’ es la proyección del
                                                                                             punto P sobre el plano Q



Observación.- Dos diedros adyacentes son                  Además M es la proyección ortogonal de

suplementarios.                                            L   sobre el plano Q.


                                                                                     Prof: Toribio Córdova C.
I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA”                        3er Año         GEOMETRÍA DEL ESPACIO




                                                          Ángulos Poliedros
                   POLIEDROS                               Son los formados en los vértices del
                                                          poliedro
  Poliedro    es    un   sólido   completamente
  limitado por polígonos. El mínimo número de
                                                          Diagonal
  caras que tiene un poliedro es cuatro.
                                                          Es el segmento que une dos vértices no
                                                          situados en la misma cara


                                                          CLASIFICACION

                                                        1) Por el número de caras:

                                                          - Tetraedro: cuando tiene 4 caras
  ELEMENTOS DE UN POLIEDRO                                - Pentaedro: cuando tiene 5 caras
  Los elementos principales de un poliedro son:           - Hexaedro: cuando tiene 6 caras
                                                          - Heptaedro: cuando tiene 7 caras
                               Vértice
                                                          - Octaedro: cuando tiene 8 caras

                                         Diagonal

                                                        2) Según sus características:
Cara
                                                          a. Poliedro Convexo.-           Cuando cualquiera
                                               Arista
                                                              de sus secciones planas es un polígono
                                                              convexo,    o     equivalentemente,    si   el
                                                              segmento         que      une   dos    puntos
                                                              cualesquiera del poliedro está totalmente

 Caras                                                        contenido en el poliedro.

 Son los polígonos que limitan los poliedros.


 Aristas
 Son las intersecciones de las caras.


 Vértice
 Son los puntos donde se encuentran las                    b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de
 aristas-                                                     las secciones planas es un polígono
                                                              cóncavo. Al trazar una recta secante
 Ángulos Diedros                                              corta en más de 2 puntos de intersección
 Son los formados por dos caras consecutivas.                 a su superficie poliédrica.


                                                                               Prof: Toribio Córdova C.
I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA”                   3er Año     GEOMETRÍA DEL ESPACIO




                                                        C → número de caras
                      1
                          2                             V → número de vértices
                              3
                                  4                     A → número de aristas
                                      5
                                          6

                                                      Entonces se verifica que:

                                                                    C+V=A+2
c.   Poliedro Regular.- Cuando todas sus
     caras son polígonos regulares e iguales, y       POLIEDROS REGULARES

     sus ángulos diedros y triedros también
                                                  Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son
     son iguales.
                                                  polígonos regulares iguales entre si:




d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras
     son polígonos irregulares y desiguales, y
     sus   angulos   poliedros no son todos
     iguales.




TEOREMA DE EULER

En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual
al número de aristas más dos.


 Si para un poliedro convexo:

                                                                         Prof: Toribio Córdova C.
I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA”                         3er Año         GEOMETRÍA DEL ESPACIO




A) TETRAEDRO: Sus caras son                          cuatro     Notación:    Exaedro Regular ABCD – EFGH
   regiones triangulares equiláteras.
                                                                Diagonal ( BH ):
                           O                                                           BH =    l       3

                                                                Volumen (V):
                                                                                       v =   l3

                                                                Superficie total o Área (A):
                                                 C
                                                                                       A = 6l 2
            A
                           G
                                                              C) OCTAEDRO: Sus caras son                                    ocho
                                B
                                                                 regiones triangulares equiláteras.

   Notación: Tetraedro Regular O – ABC                                                            M


   Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)

                           OG =
                                     l       6
                                         3
                                                                                   B
   Volumen (V):                                                                                                         C


                           V =
                                    l3       2                       A                                       D
                                     12

   Superficie total o Área (A):

            A =   l2   3

                                                                                                   N


   B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones
                                                              Notación: Octaedro Regular                         M – ABCD – N
      cuadradas, también se le denomina cubo.
                                                              Diagonal ( MN ):

                            B
                                                                                                   MN =      l    2
                                                     C
                                                              Volumen (V):
        A                            D

                                                                                   V =
                                                                                          l3       2
                                                                                              3


                            F                                 Superficie total o Área (A):
                                                     G

                                                                                                           A = 2l 2 3
        E                                H




                                                                                       Prof: Toribio Córdova C.
I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA”                      3er Año        GEOMETRÍA DEL ESPACIO




D) DODECAEDRO: Sus caras son doce
   regiones pentagonales iguales.



                                                     1. En un poliedro, la suma del número de
                                                        caras, vértices y aristas es 32. Calcule
                                                        el número de aristas de dicho poliedro.


                                                        a) 12        b) 13     c) 14     d) 15      e) 16


                                                     2. Si la arista de un tetraedro regular es
Volumen (V):
                                                        3cm, calcular su altura.
                             3
                        5l        47 + 21 5
                  V =
                         2           10
                                                        a) 3cm               b) 3 6 cm            c)   6 cm
Superficie total o Área (A):                            d) 2 3               e) 4 3

                                             5+2 5
                                 A = 15l 2           3. Calcula el área de un tetraedro regular
                                               5
                                                        cuya arista es        3 cm.

E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte
   regiones triangulares equiláteras.                   a) 3 cm              b) 3 3 cm           c) 2 3 cm
                                                        d) 4 3 cm            e) 3 2 cm
                             a

                                                     4. Calcular el volumen de un tetraedro
                                                        regular sabiendo que su área total es
                                                        18 3 cm2.


                                                        a) 3 cm3   b) 9 cm3                      c) 12 cm3
                                                        d) 9 2 cm3 e) 1 cm3
Volumen (V):
                        5a 2       7+3 5
                  V=
                         6           2               5. Calcular la arista de un hexaedro
                                                        regular sabiendo que su área total es
Superficie total o Área (A):
                                                        18 m2.

                  A = 5a 2 3
                                                        a)      3m            b) 2 3 m             c) 3 3 m
                                                        d) 4 3 m              e) 5 3 m

                                                                             Prof: Toribio Córdova C.
I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA”         3er Año     GEOMETRÍA DEL ESPACIO




6. Calcular el volumen de un cubo donde el
   área y el volumen son numéricamente
   iguales.


   a) 196 u3          b) 206 u3            c) 336 u3
   d) 366 u3          e) 216 u3


7. La suma de las aristas de un cubo es 72
   cm. Calcula el volumen de dicho cubo.


   a) 206 cm3         b) 106 cm3       c) 216 cm3
   d) 336 cm3         e) 356 cm3


8. Calcular el área total de un octaedro
   regular de arista 2cm.


   a) 8 cm2            b) 9 cm2        c) 9 3 cm2
   d) 8 3 cm2          e) 12 cm2


9. Calcular     el    volumen      total    de    un
   octaedro regular de arista 3 cm.


   a) 9 2 cm3          b) 8 cm3        c) 9 cm3
   d) 8 3 cm3          e) 12 cm3


10. Si la arista de un icosaedro regular
          4
   mide        3 m,   calcula el área de su
   superficie.


   a) 15 m2           b) 9 m2        c) 13 m2
   d) 6 m2            e) 6 3 m2




                                                                 Prof: Toribio Córdova C.

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ANGULO DIEDRO - POLIEDROS

  • 1. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO ÁNGULOS DIEDROS Q Es la figura geométrica formada por la unión de sus semiplanos que tienen una recta en α θ común a la cual se le denomina arista del α + θ = 180º ángulo diedro. P Arista A Notación: PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE Ángulo Diedro AB ó UN PLANO cara cara Ángulo Diedro P Q Por definición la proyección ortogonal de un P - AB - Q punto sobre un plano es el pie de la θ x y perpendicular trazada de este punto al plano. De B θ: Medida del ángulo esto se concluye que la proyección ortogonal de Diedro cualquier figura geométrica sobre un plano es la reunión de las proyecciones ortogonales de todos sus puntos sobre dicho PLANOS PERPENDICULARES plano. Dos planos son perpendiculares, cuando P L determinan diedros que miden 90º. Q θ m θ: Medida del θ ángulo diedro. P’ Q P Si θ = 90º ⇒ P Q Sea PP' Q ⇒ P’ es la proyección del punto P sobre el plano Q Observación.- Dos diedros adyacentes son Además M es la proyección ortogonal de suplementarios. L sobre el plano Q. Prof: Toribio Córdova C.
  • 2. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO Ángulos Poliedros POLIEDROS Son los formados en los vértices del poliedro Poliedro es un sólido completamente limitado por polígonos. El mínimo número de Diagonal caras que tiene un poliedro es cuatro. Es el segmento que une dos vértices no situados en la misma cara CLASIFICACION 1) Por el número de caras: - Tetraedro: cuando tiene 4 caras ELEMENTOS DE UN POLIEDRO - Pentaedro: cuando tiene 5 caras Los elementos principales de un poliedro son: - Hexaedro: cuando tiene 6 caras - Heptaedro: cuando tiene 7 caras Vértice - Octaedro: cuando tiene 8 caras Diagonal 2) Según sus características: Cara a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera Arista de sus secciones planas es un polígono convexo, o equivalentemente, si el segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro está totalmente Caras contenido en el poliedro. Son los polígonos que limitan los poliedros. Aristas Son las intersecciones de las caras. Vértice Son los puntos donde se encuentran las b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de aristas- las secciones planas es un polígono cóncavo. Al trazar una recta secante Ángulos Diedros corta en más de 2 puntos de intersección Son los formados por dos caras consecutivas. a su superficie poliédrica. Prof: Toribio Córdova C.
  • 3. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO C → número de caras 1 2 V → número de vértices 3 4 A → número de aristas 5 6 Entonces se verifica que: C+V=A+2 c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus caras son polígonos regulares e iguales, y POLIEDROS REGULARES sus ángulos diedros y triedros también Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son son iguales. polígonos regulares iguales entre si: d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras son polígonos irregulares y desiguales, y sus angulos poliedros no son todos iguales. TEOREMA DE EULER En todo poliedro convexo el número de caras aumentado en el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Si para un poliedro convexo: Prof: Toribio Córdova C.
  • 4. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO A) TETRAEDRO: Sus caras son cuatro Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH regiones triangulares equiláteras. Diagonal ( BH ): O BH = l 3 Volumen (V): v = l3 Superficie total o Área (A): C A = 6l 2 A G C) OCTAEDRO: Sus caras son ocho B regiones triangulares equiláteras. Notación: Tetraedro Regular O – ABC M Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G) OG = l 6 3 B Volumen (V): C V = l3 2 A D 12 Superficie total o Área (A): A = l2 3 N B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N cuadradas, también se le denomina cubo. Diagonal ( MN ): B MN = l 2 C Volumen (V): A D V = l3 2 3 F Superficie total o Área (A): G A = 2l 2 3 E H Prof: Toribio Córdova C.
  • 5. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO D) DODECAEDRO: Sus caras son doce regiones pentagonales iguales. 1. En un poliedro, la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcule el número de aristas de dicho poliedro. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 2. Si la arista de un tetraedro regular es Volumen (V): 3cm, calcular su altura. 3 5l 47 + 21 5 V = 2 10 a) 3cm b) 3 6 cm c) 6 cm Superficie total o Área (A): d) 2 3 e) 4 3 5+2 5 A = 15l 2 3. Calcula el área de un tetraedro regular 5 cuya arista es 3 cm. E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras. a) 3 cm b) 3 3 cm c) 2 3 cm d) 4 3 cm e) 3 2 cm a 4. Calcular el volumen de un tetraedro regular sabiendo que su área total es 18 3 cm2. a) 3 cm3 b) 9 cm3 c) 12 cm3 d) 9 2 cm3 e) 1 cm3 Volumen (V): 5a 2 7+3 5 V= 6 2 5. Calcular la arista de un hexaedro regular sabiendo que su área total es Superficie total o Área (A): 18 m2. A = 5a 2 3 a) 3m b) 2 3 m c) 3 3 m d) 4 3 m e) 5 3 m Prof: Toribio Córdova C.
  • 6. I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO 6. Calcular el volumen de un cubo donde el área y el volumen son numéricamente iguales. a) 196 u3 b) 206 u3 c) 336 u3 d) 366 u3 e) 216 u3 7. La suma de las aristas de un cubo es 72 cm. Calcula el volumen de dicho cubo. a) 206 cm3 b) 106 cm3 c) 216 cm3 d) 336 cm3 e) 356 cm3 8. Calcular el área total de un octaedro regular de arista 2cm. a) 8 cm2 b) 9 cm2 c) 9 3 cm2 d) 8 3 cm2 e) 12 cm2 9. Calcular el volumen total de un octaedro regular de arista 3 cm. a) 9 2 cm3 b) 8 cm3 c) 9 cm3 d) 8 3 cm3 e) 12 cm3 10. Si la arista de un icosaedro regular 4 mide 3 m, calcula el área de su superficie. a) 15 m2 b) 9 m2 c) 13 m2 d) 6 m2 e) 6 3 m2 Prof: Toribio Córdova C.