Una de las grandes utilidades de las leyes dadas anteriormente es que nos permiten simplificar proposiciones. El procedimiento probar que una proposición es equivalente a otra usando las leyes del álgebra proposicional

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA
Participante:
Soto Reny
C.I: 22.186.095
Sección: SAIA A
Cátedra: Estructura Discreta
Prof. Méndez Domingo
Barquisimeto, noviembre del 2016

2. La algebra es una generalización de la aritmética. En ella, se utilizan
símbolos para representar números. La generalización es una manera de
maneja expresiones que contienen cantidades desconocidas o incógnitas,
es un rasgo característico del algebra. Los símbolos son números y se
combinan por medio de operaciones básicas de la aritmética. Su uso puede
facilitar la transparencia. Ahora bien, las leyes de algebra se define como
las equivalencias lógicas que nos permiten reducir representaciones
complejas y expresarlos en forma más sencilla. Por otra parte, son
llamadas leyes lógicas, y representan formas proposicionales en la que si
se sustituyen sus variables por los enunciados correspondiente el resultado
será una proposición lógicamente verdadera.
Es de suma importancia la comprensión de las leyes básicas ya que
son parte fundamental de una buena comprensión de cómo utilizar el
álgebra. Frecuentemente se cometen el error de simplemente aprender
cómo resolver problemas algebraicos sin ningún pensamiento acerca de
cómo las reglas algebraicas y las leyes se derivan. Los números obedecen
a varias leyes fundamentales que, pese a la familiaridad de sus resultados,
ponen de manifiesto aspectos básicos de las operaciones algebraicas más
comunes.
Ley 1: A U B * B U A. La demostración de que ambos miembros de
luna ecuación conducen a resultados idénticos es una técnica frecuente
empleada en todas las ramas de la matemática. Esta ley es conocida como
Ley Conmutativa establece que el orden en que se suman dos números no
influye en el resultado de la suma.
Ejemplo:
B
A
A
B

3. Ley 2: (A U B) * C = A * (B U C). Ambos miembros, pues, son iguales.
Esta ley se conoce como Ley Asociativa establece que el modo de agrupar
los números que suman no influye en el resultado. Como la ley conmutativa,
la asociativa son válidas tanto para la adición como para la multiplicación.
Análogamente, la ley asociativa no se cumple en la sustracción y la división.
Aso en lo general
A – (B - C) ≠ (A – B) – C
A / (B / C) ≠ (A / B) / C
Por ejemplo, sean A = 7, B = 6, C = 8. El miembro de la izquierda es
(7 + 6) + 8 = 21. El miembro de la derecha es igual 7 + (6 + 8) = 21. Como
en el caso de la multiplicación, pues, el miembro de la izquierda es igual al
de la derecha.
Ley 3: A U (B U C) = (A U B) U (A U C). Esta ley puede demostrarse
por medio del área de un rectángulo. Es conocida como Ley Distributiva,
esta establece que cuando se multiplican un numero por la suma de otros
dos, el resultado es igual a la suma de dos términos: el producto del primero
por el segundo y el producto del primero por el tercero. En esta ley se basa
la supresión de paréntesis.
Ejemplo:
A
B C

4. El área total del rectángulo se puede obtener multiplicando a por la
suma de b y c o sumando el producto de a y b con el producto de a y c. la
suma de cuadrados es la misma en ambos casos.
Mientras que basa un solo contraejemplo para refutar un enunciado,
la comprobación de la verdad de un enunciado mediante ejemplos no
constituye una prueba de él. Dado que las leyes 1 a 3 sobre operaciones
numéricas valen para todos los enteros positivos y negativos, estas leyes
no pueden demostrarse enumerando todos los posibles ejemplos, ya que
hay un número infinito de ellos.
Existen otras leyes como lo son ley de identidad enunciado que
afirma la igualdad entre dos expresiones matemáticas para todos los
valores de sus variaciones. Es similar a una ecuación, pero con la salvedad
de utilizar el símbolo ≡ en vez de = es decir, P U F ° P, P U F ° F, P U V °
V Y P U V ° P. las identidades suelen escribirse con el símbolo = a menos
que haya alguna especial para destacar su carácter.
Ley idempotentes
P U P ° P.
Ley complementación
p u ~ p ° v (tercio excluido)
p u ~ p ° f (contradicción)
~~ p ° p (doble negación)
~ v ° f ~ f ° v
Ley De Morgan
~ {p u q} ° ~ p u ~ q
~ {p u q } ° ~ p u ~ q
Equivalencia Notables
a. p® q º ~ p ú q (ley del condicional)
b. p« q º (p® q) ù (q® p) (ley del bicondicional)
c. p ú q º ( p ù ~ q ) ú ( q ù ~ p ) (ley de disyunción exclusiva)
d. p® q º ~ q® ~ p (ley del contrarrecíproco)
e. p ù q º ~ ( ~ p ú ~ q )
f. ( (p ú q ) ® r ) º ( p ® r ) ù (q ® r ) (ley de demostración por casos)

5. g. (p® q) º (p ù ~ q ® f) (ley de reducción al absurdo)
Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros pueden
ser probadas. Para esto, sólo se tiene que verificar que el bicondicional
correspondiente es una tautología. Para muestra, vamos a probar dos de
estas leyes, dejando el resto como ejercicio para el lector.
Un ejemplo utilizando todas estas leyes es el siguiente:
(P ^ r) -> q ≡ (q -> ¬r) -> (p -> ¬r)
(q ->¬r) -> (p->¬r)
≡ ¬ (¬q ⱽ ¬r) ⱽ (¬p ⱽ ¬r) Ley del condicional
≡ (¬(¬q) ^ ¬(¬r)) ⱽ (¬p ⱽ ¬r) Ley de Morgan
≡ (q ^ r) ⱽ (¬p ⱽ ¬r) Doble Negación
≡ (q ⱽ (¬p ⱽ ¬r)) ^ (r (¬p ⱽ ¬r)) Ley Distributiva
≡ (q ⱽ (¬p ⱽ ¬r)) ^ ((r ⱽ¬r) ⱽ ¬p) Ley Asociativa y Conmutativa
≡ (q ⱽ (¬p ⱽ ¬r)) ^ (ᶷ v ¬p) Ley de tercio excluido
≡ (q ⱽ (¬p ⱽ ¬r)) ^ ᶷ Ley de Identidad
≡ q ⱽ (¬p ⱽ ¬r) Ley de Idem
≡ ¬p ⱽ ¬r ⱽ q Ley Conmutativa
≡¬ (p ^ r) ⱽ q Ley de Morgan
≡ p ^ r -> q