sdasdasd

1. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
49
49
49
49
49
7
7
7
7
7
Capítulo
LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices ( )
10,0
± .
Solución:
1
25
y
100
x
:
:
en
tanto
lo
Por
100
a
10
a
25
b
5
a
b
2
CN
:
enunciado
del
Luego
1
b
y
a
x
:
:
Sabemos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
=
=
=
=
=
→

=
+
õ
õ
!
!
!
!
"
!
!

2. 50
50
50
50
50
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1
x = , ( )
1,5
C = ,
( )
1,8
F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
36
5
y
27
1
x
:
:
tanto
lo
Por
27
b
27
9
36
b
c
a
b
:
Sabemos
9
c
3
CF
c
:
Luego
36
a
6
a
12
a
2
:
Pero
1
a
k
y
b
h
x
:
:
deducimos
enunciado
Del
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
=
=
−
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
−
+
−
õ
õ
!
"
!
"
!
"
!
"
!
"

3. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
51
51
51
51
51
Reducir la ecuación 0
21
y
16
x
6
y
4
x 2
2
=
+
+
−
+ a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
3
a
c
e
:
dad
Excentrici
1
2
1
2
a
2b
N
C
:
Normal
Cuerda
2
1
2
2b
:
menor
Eje
4
2
2
2a
:
mayor
Eje
3
c
3
c
c
1
4
c
b
a
1
b
1
b
2
a
4
a
:
También
2
,
1
V
2
,
5
V
2
,
2
3
k
a,
h
V
:
de
obtienen
se
elipse
la
de
vértices
los
Luego
2
,
3
k
h,
C
:
tenemos
ecuación
la
De
1
1
2
y
4
3
x
:
4
2
y
4
3
x
16
9
21
4
y
4
y
4
9
x
6
x
:
y
e
x
para
cuadrados
o
Completand
0
21
y
16
x
6
y
4
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
<
=
=
=
×
=
=
=
×
=
=
×
=
±
=
=
+
=
+
=
±
=
=
±
=
=





−
=
−
=
−
±
=
±
=
−
=
=
=
+
+
−
=
+
+
−
+
+
−
=
+
+
+
+
−
=
+
+
−
+
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
õ

4. 52
52
52
52
52
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse 1
15
y
25
x 2
2
=
+ se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de
esta perpendicular con la elipse hasta los focos.
Solución:
( ) ( )
"
!
→

=
±
=
±
=
±
=
−
±
=
−
=
−
=
→

=
+
10
x
:
es
foco
primer
el
en
trazada
lar
perpendicu
la
de
ecuación
La
,0
10
F
c,0
F
:
son
elipse
la
de
focos
los
Luego,
10
15
25
c
b
a
c
c
a
b
:
Sabemos
1
15
y
25
x
:
:
elipse
la
de
ecuación
la
Tenemos
2
2
2
2
2
2
2
2
!
!
!
!
! õ

5. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
53
53
53
53
53
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 7
3
0
10
10
C
F
3
3
0
10
10
C
F
:
tanto
lo
Por
3
,
10
y
x,
C
:
aquí
De
3
y
9
y
1
15
y
25
9
:
y
De
2
2
2
2
2
1
2
2
=
−
+
−
−
=
=
−
+
−
=
=
=
±
=
=
=
+
!
!
!
!
"
!
Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )
2,4
C −
= y
sea tangente a los dos ejes de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1
16
4
y
4
2
x
:
4
b
2
b
Y
eje
al
C
de
Distancia
:
b
16
a
4
a
X
eje
al
C
de
Distancia
:
a
:
caso
este
Para
1
a
k
y
b
h
x
:
:
Sea
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
=
=
=
=
=
−
+
−
õ
õ
!
!
!
!
!
!
!

6. 54
54
54
54
54
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
( )
5,0
V1 = y pasa por el punto ( )
2,3
P = .
Solución:
( )
( )
75
y
7
x
3
:
1
7
75
y
25
x
:
:
tanto
lo
Por
7
75
b
1
b
3
25
4
2,3
P
:
Como
1
b
y
25
x
:
:
Luego
25
a
5
a
5,0
V
:
que
Dado
1
b
y
a
x
:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
=
+
=
+
=
=
+
∈
=
=
+
=
=
=
=
+
õ
õ
õ
õ
õ
!
!
!
!
!
!
La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m
de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha
claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro
foco?
Solución:
12
c
2
2
F
1
F
:
tanto
lo
Por
6
c
36
c
c
a
b
:
donde
De
64
b
8
b
100
a
10
a
:
enunciado
del
datos
los
Según
2
2
2
2
2
2
=
=
±
=
=
−
=
=
=
=
=
!
!
!
!
!
!
Según los datos del enunciado:
Por lo tanto:

7. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
55
55
55
55
55
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos
en ( )
3,4
F −
= y ( )
5,4
F2 = eje mayor 12.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
31
y
72
x
10
y
9
x
5
:
:
s
operacione
Efectuando
12
4
y
5
x
4
y
3
x
:
donde
De
12
a
2
P
F
P
F
:
que
tiene
se
elipse,
de
definición
la
Por
mueve.
se
que
punto
el
y
x,
P
Sea
2
2
2
2
2
2
2
1
=
+
+
+
−
=
−
+
−
−
−
+
+
=
=
−
=
õ
!
!

8. 56
56
56
56
56
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la
mitad de la longitud del eje mayor.
Solución:
a
a
F
B
:
tanto
lo
Por
b
c
a
:
que
definición
por
sabemos
pero,
b
c
F
B
:
figura
la
de
Luego,
a
2
a
2
2
V
V
F
B
:
que
Probar
origen.
el
en
vértice
con
elipse
la
1
b
y
a
x
:
Sea
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
=
=
+
=
+
=
=
=
=
=
+
!
õ

9. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
57
57
57
57
57
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
puntos ( )
2,0
A −
= y ( )
2,6
B −
= es 8. Hallar la ecuación del lugar
geométrico de P .
Solución:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1
16
3
y
7
2
x
:
0
15
y
42
x
64
y
7
x
16
:
:
tiene
se
s,
operacione
Efectuando
8
6
y
2
x
y
2
x
:
donde
De
8
BP
AP
:
problema
del
condición
la
Por
mueve.
se
que
punto
el
y
x,
P
Sea
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
∴
=
+
−
+
+
=
−
+
+
+
+
+
=
+
=
õ
õ
La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una
elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica
es de .
km
000
300 y la excentricidad es de 017
,
0 aproximadamente.
Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Solución:
550
2
c
000
150
0,017
a
0,017
c
0,017
a
c
e
:
elipse
la
de
dad
excentrici
la
de
aproximado
valor
Del
000
150
a
000
300
2a
:
que
tenemos
gráfico,
el
según
y
datos
los
De
=
×
=
×
=
=
=
=
=
!
!
!
!
!
Por la condición del problema:

10. 58
58
58
58
58
Capítulo 7. LA ELIPSE
450
147
c
a
550
2
000
150
c
a
:
Minimo
550
152
c
a
550
2
000
150
c
a
:
Máximo
:
Luego
=
−
−
=
−
=
+
+
=
+
!
!
!
!
´