Leyes de seno y coseno

1. Leyes de Seno y Coseno
Prof. Rosa E. Padilla Torres

2. Resolviendo triángulos oblicuos
• Triángulo oblicuo → triángulos que no son rectángulos.
• Pueden ser resueltos si se conoce al menos la medida de
uno de los lados y cualquier otras dos medidas.

3. Resolviendo triángulos oblicuos:
casos
• Si se conoce...
• AAL: Dos ángulos de un triángulo y
un lado opuesto al mismo.
• ALA: Dos ángulos de un triángulo y
el lado incluido.
• LLA: Dos lados de un triángulo y un
ángulo opuesto (Puede que no tenga
solución o que tenga dos soluciones).
• LAL: Dos lados del triángulo y el
ángulo incluido.
• LLL: Los tres lados del triángulo.

4. Ley de seno
• Para cualquier triángulo ABC,
En cualquier triángulo, los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos.
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶

5. Ley de seno
• Aplica cuando tenemos los siguientes casos:
• Caso 1: Un lado y dos ángulos (LAA)
• Caso 2: Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados (LLA)

6. Ejemplo
• En ⊿𝐸𝐹𝐺, 𝑒 = 4.56, 𝐸 = 43°, 𝐺 = 57°. Resuelve el triángulo
utilizando la ley de senos.

7. Ejemplo
• En ⊿𝐸𝐹𝐺, 𝑒 = 4.56, 𝐸 = 43°, 𝐺 = 57°. Resuelve el triángulo
utilizando la ley de senos.

8. Resolviendo triángulos LLA
• Cuando dos lados de un triángulo y un ángulo opuesto a
uno de ellos es conocido, se utiliza la ley de senos para
resolver el mismo.
• Suponga que ⊿𝐴𝐵𝐶 con 𝑏, 𝑐, 𝐵 dados, se tienen varias
posibilidades.

9. Resolviendo triángulos LLA
• Ángulo B es agudo:

10. Resolviendo triángulos LLA
• Ángulo B es obtuso:

11. Ejemplo
• En ⊿𝑋𝑌𝑍, 𝑥 = 23.5, 𝑦 = 9.8, 𝑋 = 39.7°. Resuelve el triángulo.

12. Ejemplo
• En ⊿𝑋𝑌𝑍, 𝑥 = 23.5, 𝑦 = 9.8, 𝑋 = 39.7°. Resuelve el triángulo.

13. Área de un triángulo
• Recordamos que para calcular el área de un triángulo
utilizamos la fórmula 𝐴 =
1
2
𝑏ℎ.
• De la misma se deriva la ley de seno.
• Consideramos el triángulo ⊿𝐴𝐵𝐶 con área K.
sin 𝐴 =
ℎ
𝑐
ℎ = 𝑐 sin 𝐴
𝐾 =
1
2
𝑏𝑐 sin 𝐴

14. Área de un triángulo
• El área K de cualquier triángulo ⊿𝐴𝐵𝐶 es la mitad de
producto de las medidas de dos lados y el seno del ángulo
incluido.
𝐾 =
1
2
𝑏𝑐 sin 𝐴 =
1
2
𝑎𝑏 sin 𝐶 =
1
2
𝑎𝑐 sin 𝐵

15. Práctica
• Resuelve cada triángulo, si es posible.
1) 𝐵 = 38°, 𝐶 = 21°, 𝑏 = 24
2) 𝐴 = 131°, 𝐶 = 23°, 𝑏 = 10
3)𝐴 = 36.5°, 𝑎 = 24, 𝑏 = 34

16. Práctica
• Halla el área del patio
triangular.
• Halla el área de grama
necesaria para cubrir el
área triangular mostrada.

17. Ley de coseno
• Es aplicada cuando el triángulo dado nos provee relación
entre el lado a encontrar y su ángulo opuesto.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏 cos 𝐶

18. Ley de coseno
• Aplica cuando tenemos los siguientes casos:
• Caso 3: Dos lados y el ángulo incluido (LAL)
• Caso 4: Tres lados (LLL)