Aplicacion de la derivada

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARCELONA – PUERTO LA CRUZ
ESCUELA DE DISEÑO GRÁFICO “85”
SEMESTRE III
AUTORES:
 VIDAL, JONNY
C. I. 26.717.295
PROFESORA:
 RONDÓN, RANIELINA
02 DE SEPTIEMBRE DE 2.017

3. En matemática, la derivada de una función mide la
rapidez con la que cambia el valor de dicha función
matemática, según cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto
local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable independiente se
torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de
la derivada de una función en un punto dado.

5. La derivada tiene una gran variedad de
aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en
un punto. Se puede usar la derivada
para estudiar tasas de variación, valores
máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc.

6. Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
𝒚 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera
derivada de la función:
𝒚′ 𝒙 = 𝟐𝒙
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
𝐲′ 𝟎
= 𝟐(𝟎) = 𝟎
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0,
para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que
valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus
vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a
positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

8. Se llama criterio de la primera derivada al
método o teorema utilizado frecuentemente en
el cálculo matemático para determinar
los mínimos y máximos relativos que pueden
existir en una función mediante el uso de la
primera derivada o derivada principal, donde
se observa el cambio de signo, en un intervalo
abierto señalado que contiene al punto crítico.

9. Teorema valor máximo y mínimo.
"Sea “c” un punto crítico de una función “ƒ” que es continua en un
intervalo abierto “I” que contiene a “c”. Si “ƒ” es derivable en el
intervalo, excepto posiblemente en “c”, entonces (c, ƒ(c)) puede
clasificarse como sigue."
1. Si “ƒ '(x)” cambia de positiva a negativa en “c”, entonces “ƒ”
tiene un máximo relativo en “(c, ƒ(c))”.
2. Si “ƒ '(x)” cambia de negativa a positiva en “c”, entonces “ƒ”
tiene un mínimo relativo en “(c, ƒ(c))”.
3. Si “ƒ '(x)” es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos
lados de “c”, entonces “ƒ(c)” no es ni un mínimo ni un máximo
relativo.

10. El criterio de la segunda derivada es un teorema o
método de cálculo matemático en el que se utiliza la
segunda derivada para efectuar una prueba
correspondiente a los máximos y mínimos relativos de
una función.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una
función “ƒ” es convexa en un intervalo abierto que
contiene a ”c”, y ”ƒ'(c)=0, ƒ(c)” debe ser un mínimo
relativo de ”ƒ”. De manera similar, si la gráfica de una
función es cóncava en un intervalo abierto que contiene
a ”c” y ”ƒ'(c)=0”, “ƒ(c)” debe ser un máximo relativo
de ”ƒ”.

11. Teorema valor máximo y mínimo.
Sea “ƒ” una función tal que “ƒ’(x)=0” y la segunda derivada de “ƒ”
existe en un intervalo abierto que contiene a “x”.
1. Si “ƒ’’(x)<0”, entonces “ƒ” tiene un máximo relativo en “(x, ƒ(x))”.
2. Si “ƒ’’(x)>0”, entonces “ƒ” tiene un mínimo relatico en “(x, ƒ(x))”.
3. Si “ƒ”(x)=0”, entonces el criterio falla. Esto es, ƒ quizás tenga un
máximo relativo en “x”, un mínimo relatico en (x, ƒ (x)) o ninguno
de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x)=𝒙 𝟑
. En tales casos,
se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de
la tercera derivada.

12. El Criterio o prueba de la Tercera Derivada es
un método del cálculo matemático en el que se
utiliza la tercera derivada de una función para
confirmar o comprobar los puntos de
inflexión obtenidos a partir de la segunda
derivada. Es un caso particular del Criterio de
la derivada de mayor orden.

13. Procedimiento
1. Calcular las derivadas segunda y tercera de “ƒ(x)”
2. Hallar los puntos que cumplen “ƒ’’(x) = 0”
3. Evaluar “ƒ’’(x)” con los valores obtenidos en el paso anterior. Si
es diferente de 0; entonces, es un punto de inflexión. En caso
contrario, se debe usar el criterio de la derivada de mayor orden:
si y solo si el menor orden de las derivadas superiores diferentes
de cero es impar; el punto evaluado corresponde a uno de
inflexión.
4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas
según se trate de una o varias.

15. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función.
1)

16. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función.
2)

18. Un ejemplo perfecto del uso de la aplicación de la derivada en la vida cotidiana podría ser el
siguiente:
Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media
de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día.
Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que
obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?
Solución
Llamamos “x” al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará “50
+ x céntimos”; y venderá “200 - 2x helados” diarios.
Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:
I (x) = (50 + x) (200 - 2x)
Pero tiene unos gastos de:
G (x) = (200 - 2x) · 40
Luego, el beneficio será de:
B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 =
(200 - 2x) (50 + x - 40) =
(200 - 2x) (x + 10) =
-2x2 + 180x + 2000
Hallamos x para que el beneficio sea máximo: B'(x) = -4x + 180 B'(x) = 0 → -4x + 180 = 0 → x =
45 B''(x) = -4; B''(45) < 0 → en x = 45 hay un máximo Por tanto, obtendrá el máximo beneficio
vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de “B (45) =
6050 céntimos”, es decir, de 60,50 euros.