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Ejercicios Resueltos
Ingener´ıa
Primera prueba
C´alculo aplicado I
´Ultima edici´on: 14 de abril de 2016
Problema 4:
Resolver las siguientes integrales aplicando el m´etodo de sustituci´on trigonom´etrica, escribiendo todo el desarrollo
anal´ıtico
i)
1
x2
√
x2 − 9
dx
ii)
1
√
4x2 + 1
dx
Soluci´on:
i) Sea x = 3 sec(u), entonces
x = 3 sec(u) ⇒ dx = 3 tan(u) sec(u)du,
luego
1
x2
√
x2 − 9
dx =
3 tan(u) sec(u)
9 sec2(u)
√
9 secu −9
du,
=
3
27
tan(u) sec(u)
sec2(u) sec2(u) − 1
du,
u
3
x
x −92
FIG. 1: Triangulo rect´andulo de ca-
tetos 3 y
√
x2 − 9, e hipotenusa x.
usamos la identidad trigonom´etrica sec2
(u) − tan2
(u) = 1, y reemplazamos s´olo dentro de la ra´ız, entonces

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1
x2
√
x2 − 9
dx =
1
9
tan(u) sec(u)
sec2(u) ¡1 + tan2(u) − ¡1
du,
=
1
9
tan(u) sec(u)
sec2(u) tan2(u)
du,
=
1
9
$$$tan(u) sec(u)
sec2(u)$$$tan(u)
du,
=
1
9
sec(u)
sec2(u)
du,
=
1
9
1
sec(u)
du,
=
1
9
cos(u) du,
=
1
9
sin(u) + c.
De acuerdo a la FIG. (1), podemos escribir sin(u) =
√
x2 − 9/x, entonces
1
x2
√
x2 − 9
dx =
√
x2 − 9
9x
+ c.
ii) Sea x =
tan(u)
2
, entonces
x =
tan(u)
2
⇒ dx =
sec2
(u)
2
du,
1
2x
2
4x +1
u
FIG. 2: Tri´angulo rect´angulo de
catetos 1 y 2x, e hipotenusa√
4x2 + 1.
luego, reemplazamos
2

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1
√
4x2 + 1
dx =
sec2
(u)
2
¡4 tan2(u)
£4
+ 1
du,
=
1
2
sec2
(u)
tan2(u) + 1
du, sec2
(u) − tan2
(u) = 1
=
1
2
sec2
(u)
(sec2(u) − 1) + 1
du,
=
1
2
sec2
(u)
sec2(u)
du,
=
1
2
sec2
(u)
sec(u)
du,
=
1
2
sec(u) du,
=
1
2
1
cos(u)
du. (4.1)
Ahora debemos resolver la integral (cos(u))−1
du, lo cual lo haremos usando el m´etodo de integraci´on por
parte en el siguiente cuadro:
1
cos(u)
du = sec(u) du
Multiplicamos el numerador y el denominador por (tan(u) + sec(u)), entonces
sec θ du = sec θ ·
tan(u) + sec(u)
tan(u) + sec(u)
du,
=
sec(u) tan(u) + sec2
(u)
tan(u) + sec(u)
du. (4.2)
Usamos el cambio de variable u = tan(u) + sec(u), entonces
u = tan(u) + sec(u), ⇒ du = (tan(u)) + (sec(u)) ,
du = (sec2
(u) du) + (sec(u) tan(u) du),
du = (sec(u) tan(u) + sec2
(u)) du.
Reemplazamos en la ec. (4.2),
sec(u) du =
du
u
= ln |u| + c .
Por lo tanto
1
cos(u)
du = sec(u) du = ln |tan(u) + sec(u)| + c . (4.3)
3

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Sustituyendo la ec. (4.3) en (4.1)
1
√
4x2 + 1
dx =
1
2
ln |tan(u) + sec(u)| + c ,
=
1
2
ln |tan(u) + sec(u)| + c.
Observando la figura, podemos escribir
tan(u) =
2x
1
, sec(u) =
√
4x2 + 1
1
,
entonces
1
√
4x2 + 1
dx =
1
2
ln 2x +
√
4x2 + 1 + c.
4