Este documento resume cuatro problemas de integrales complejas. Resuelve cada integral calculando primero una parametrización de la curva de integración y luego integrando la función sobre dicha parametrización. El resultado final de la primera integral es la suma de las contribuciones de cuatro curvas cerradas.

1. H z
1. z dz donde C = C1 + C2 + C3 + C4
R PR
f (z)dz = Ci
f (z)dz
Solución:(comenzando en la recta)
(a) Para C1 : la recta y = 2 x + 2; es decir
3
x = 3t y y = 2 + 2t con 1 t 0
luego z(t) = 3t + (2 + 2t) i
z(t)
Es decir f (z) z(t) = 1 y f 0 (z) = (3 + 2i) dt
I Z 0
z 0
z dz = (3 + 2i) dt = [(3 + 2i) t] 1 = 3 + 2i
1
(b) Para C2 : la circunferencia x2 + y 2 = 4; es decir
x = 2 cos t y y = 2 sin t con t 0
2
luego z(t) = 2 cos t + 2i sin t = 2eit
z(t)
Es decir f (z) z(t) = 1 y f 0 (z) = 2ieit dt
I Z 0 Z 0
z
z dz = 2ieit dt = 2 ieit dt
2 2
0
= 2 eit = 2 [1 i] = 2 2i
2
(c) Para C3 : la recta x = 0; es decir
x = 0 y y=1 t con 3 t 2
luego z(t) = (1 t) i
z(t)
Es decir f (z) z(t) = 1 y f 0 (z) = idt
I Z 2
z 2
z dz = idt = i [t]3 = i
3
1

2. (d) Para C4 : la circunferencia x2 + y 2 = 1; es decir
3
x = cos t y y = sin t con t
2
luego z(t) = cos t + i sin t = eit
z(t)
Es decir f (z) z(t) = 1 y f 0 (z) = ieit dt
I Z
z
z dz = ieit dt
3
2
= eit 3 = [ 1 + i] = 1+i
2
Luego
I XZ
4
z
dz = f (z)dz = (3 + 2i) + (2 2i) + (i) + ( 1 + i)
z ck
k=1
I
z
dz = 4 + 2i
z
H 1
2. z 4 1 dz
H sin z cos z
3. (sin z+cos z)2
dz
H eiz
4. (z 5 +2z 2 +z)2
dz
2