Métodos de Integración: por parte

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INTEGRACIÓN POR PARTES

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• Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos
anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a
emplear, se recurre a la integración por partes:
• Sea ∫ f(x).g(x) dx , en general.
• [ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ]
• ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du
•
• f(x) = u  f ’(x) dx = du
• g(x) dx = dv  ∫ g(x) dx = ∫ dv = v
• La segunda integral , ∫ v du , suele ser inmediata.
• De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o
tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral
CÍCLICA.
INTEGRACIÓN POR PARTES

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• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
∀ ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du
• x
• 1 - Calcular ∫ x e dx
• cambio de variables:
• x = u  dx = du ;
• x x
• e dx = dv  ∫ e dx = v
• x x x x
• quedándonos I = x.e - ∫ e dx = x.e - e + C
•
• 2. Calcular ∫ L x dx.
• cambio de variables: Lx = u  1/x dx = du ;
• dx = dv  ∫ dx = v
• quedándonos I = Lx .x - ∫ x . 1/x dx = Lx . x - ∫ dx = Lx . x - x + C

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• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
∀ ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du
• 3 - Calcular ∫ x2
ex
dx
•
cambio de variables:
• x2
= u  2x dx = du ;
• ex
dx = dv  ∫ ex
dx = ex
= v
• quedándonos I = x2
ex
- ∫ 2x ex
dx
• Calculamos ∫ 2x ex
dx.
• cambio de variables: 2x = u  2 dx = du ;
• ex
dx = dv  ∫ ex
dx = ex
= v
• quedándonos I = x2
ex
- [ 2x. ex
- ∫ 2 ex
dx ] =
• = x2
ex
- 2x. ex
+ 2 ex
+ k

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• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
∀ ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du
• 4 - Calcular ∫ x2
sen x dx
•
cambio de variables:
• x2
= u  2x dx = du ;
• sen x dx = dv  ∫ sen x dx = - cos x = v
• quedándonos I = - x2
cos x - ∫ - 2x cos x dx
• Calculamos ∫ - 2x cos x dx.
• cambio de variables: - 2x = u  - 2 dx = du ;
• cos x dx = dv  ∫ cos x dx = sen x = v
• quedándonos I = - x2
cos x - [ - 2x sen x - ∫ - 2 sen x dx ] =
• = - x2
cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k

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• INTEGRAL CÍCLICA
• x
• Calcular ∫ sen x .e dx  ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du
• Veamos sen x dx = dv  v = ∫ sen x dx = - cos x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x x
• I = e (- cos x ) - ∫ - cos x . e dx = - e . cos x + ∫ e . cos x dx
• Nueva integración por partes:
• Veamos cos x dx = dv  v = ∫ cos x dx = sen x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x
• I = - e . cos x + e sen x - ∫ e . sen x dx
• x x
• 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2

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• INTEGRAL CÍCLICA
• x
• Calcular ∫ sen x .e dx  ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du
• Veamos sen x dx = dv  v = ∫ sen x dx = - cos x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x x
• I = e (- cos x ) - ∫ - cos x . e dx = - e . cos x + ∫ e . cos x dx
• Nueva integración por partes:
• Veamos cos x dx = dv  v = ∫ cos x dx = sen x + C
• x x
• e = u  du = e dx
• x x x
• I = - e . cos x + e sen x - ∫ e . sen x dx
• x x
• 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2