Unidad 3. Transporte y asignación

2. CONTENIDO
3.1. Definición del problema de transporte.
3.2. El método de la esquina noroeste.
3.3. El método modificado de la esquina
noroeste.
3.4. El método de aproximación de Vogel.
3.5. Procedimiento de optimización.

3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE
El problema general del
transporte se refiere a la
distribución de mercancía
desde cualquier conjunto de
centros de suministro,
denominados orígenes, hasta
cualquier conjunto de centros
de recepción, llamados
destinos, de tal forma que se
minimicen los costos totales
de distribución.
Cada origen tiene que
distribuir ciertas unidades a
los destinos y cada destino
tiene cierta demanda de
unidades que debe recibir de
los orígenes.

4. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN
El Problema de la Asignación es un problema
clásico de la Investigación de Operaciones
y es un caso particular del problema del
Transporte.
Este problema se trata de asignar una serie de
Recursos a una serie de tareas. Tiene una
limitante y es que a cada tarea se le puede asignar
sólo un recurso, pueden sobrar recursos o podrían
sobrar tareas pero no se le puede asignar dos
recursos a una misma tarea, o tres.
Por ejemplo si se tienen tres operarios con diferentes tiempos de operación
en cuatro máquinas el modelo nos diría como asignar los tres operarios a tres
máquinas (nos sobraría una) de manera que se minimice el tiempo total,
pero no nos diría como asignar dos operarios a dos máquinas y el otro
operario a las otras dos máquinas

5. EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
Este método comienza asignando la cantidad máxima permisible para la
oferta y la demanda a la variable X11 (la que está en la esquina noroeste de la
tabla).
La columna o renglón satisfechos se tacha indicando que las variables
restantes en la columna o renglón tachado son igual a cero.
Si la columna y el renglón se satisfacen simultáneamente, únicamente uno
(cualquiera de los dos) debe tacharse. Esta condición garantiza localizar las
variables básicas cero si es que existen.
Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda para todos los
renglones y columnas no tachados, la cantidad máxima factible se asigna al
primer elemento no tachado en la nueva columna o renglón. El
procedimiento termina cuando exactamente un renglón o una columna se
dejan sin tachar.

6. EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
EJEMPLO
Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles
respectivamente. Con estos productos disponibles desea satisfacer la
demanda de 4 clientes que requieren 5, 15, 15 y 10 unidades respectivamente.
Los costos asociados con el envío de mercancía del almacén al cliente por
unidad se dan en la siguiente tabla:
Se verifica que tanto la oferta como la demanda sean iguales

7. EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
EJEMPLO
Se construye la tabla de apoyo a la solución básica inicial:
Se verifica que tanto la oferta como la demanda sean iguales

8. EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
EJEMPLO
Siguiendo los pasos comentados
anteriormente se obtienen los siguientes
valores para en la tabla:
Y se calculan los costos para definir la solución:

9. EL MÉTODO MODIFICADO DE LA ESQUINA NOROESTE
Asígnese el más grande valor posible a la variable con el menor costo
unitario de toda la tabla. Táchese el renglón o columna satisfecha.
Después de ajustar la oferta y la demanda de todos los renglones y
columnas no tachados, repítase el proceso asignando el valor más grande
posible a la variable con el costo unitario no tachado más pequeño.
El procedimiento está completo cuando queda exactamente un renglón o
bien una columna sin tachar.

10. EL MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL
A diferencia del método de la esquina noroeste, este método, trata de buscar una
mejor solución inicial y así reducir el número de iteraciones necesarias para llegar a
la solución óptima.
• Para cada renglón (columna) con una oferta (demanda) estrictamente positiva,
determine una medida de penalidad calculando el valor absoluto de la diferencia
de los dos costos por unidad más bajos en el mismo renglón (columna).
• Identifique el renglón o la columna con la penalidad más grande. Rompa los
empates arbitrariamente. Asigne tantas unidades como sea posible a la variable
con el costo más bajo por unidad en el renglón (columna) seleccionados. Ajuste la
oferta y la demanda y tache el renglón o columna satisfechos.
Si se satisfacen simultáneamente un renglón y una columna sólo se tacha uno de los
dos, y al renglón (columna) restante se le asigna una oferta (demanda) de cero.

11. EL MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL
a) Si queda exactamente un renglón y una columna sin tachar con oferta y demanda
cero, detenerse.
b) Si queda sin tachar un renglón (columna) con una oferta (demanda) positiva,
determina las variables básicas en el renglón (columna) ajustando la oferta
(demanda), detenerse.
c) Si todos los renglones y las columnas no tachadas tienen una oferta y una demanda
de cero, determina las variables básicas cero, comenzando por los cuadros de costo
más bajo, detenerse.
d) De lo contrario, ir al paso 1.
Cuando en la tabla queda una fila sin tachar y con valores positivos, se asignan las
variables básicas y se da por concluido el método.

12. PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACIÓN
Prueba de optimalidad: un solución BF es óptima si y sólo si Cij - Uij -Vij >=
0 para todo (i,j) tal que Xij es no básica. Primeramente para todo
variable básica de la solución actual se tiene que Cij - Uij -Vij = 0, por lo que se
deduce Cij = Uij -Vij para todo (i,j) tal que Xij es básica. Para los fines de
facilitar los diferentes de las diferente ecuaciones resultantes se asume el valor
de U1 como cero.
En cada iteración se determina una variable básica entrante, una
variable básica saliente y luego la nueva solución básica factible. Paso 1: la
variable de entrada se determina a partir de la relación Cij - Uij -Vij, donde la
variable Xij con el resultado más negativo es la que contribuye en una mejor
medida a disminuir el costo total, se debe tener en cuenta que
esta disminución va en proporción a la asignación resultante.

13. PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACIÓN
Paso 2: la variable básica saliente es aquella variable básica que disminuya su
valor a cero, es decir, es aquella variable de menor asignación y que participa
en la reacción en cadena que se establece para compensar los cambios de
asignar valor a la variable entrante que permitan satisfacer las restricciones de
recursos y demandas. En este punto, se definen dos tipos variables para
receptoras y donadoras, de acuerdo a la variación de signo que se produzca en
el polígono que permite la transferencia desde la variable de salida a la
variable entrante.
Paso 3: se encuentra la nueva solución BF, sumando el valor de la
variable básica saliente a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta a
las asignaciones de las celdas donadoras.