Teoría de juegos, exposición

1. TEORÍA DE JUEGOS
Atalaya Rímac Leydi
Hinostroza Paucar Benjamín
Macedo Flores Pamela
Ortega Maguiña Betty
Valladares Toro Enzo

2. INTRODUCCIÓN
La Teoría de Juegos se desarrollo con el objeto de
analizar ciertas situaciones competitivas en las que
intervienen intereses en conflicto y opciones u
estrategias, Las cuales son posibles de identificar y
optimizar. Hoy en día se enfrenta cotidianamente a
esta teoría, en cualquier momento, tenemos por
ejemplo cuando nos inscribimos en un nuevo semestre
en la universidad, cuando la directiva toma la decisión
sobre el monto que se va a cobrar, la directiva está
realizando un juego con sus clientes, en este caso los
alumnos.

3. • Para el hombre la importancia que
representa la Teoría de Juegos es evidente,
pues a diario se enfrenta a múltiples
situaciones que son simplemente hechos
de que un individuo se relacione con otro u
otros, es decir cuando los individuos se
interrelacionan utilizando el raciocinio,
donde en todo enfrentamiento las partes
tratan de ganar. Sin embargo, la Teoría de
Juegos tiene todas las respuestas a los todos
problemas llevando a cabo un proceso de
decisión.

4. • La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y
Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games
Behavior, publicado en 1944, Von Neumann y
Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos
de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el
planteamiento estratégico o no cooperativo. Este
planteamiento requiere especificar detalladamente lo
que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el
juego, y después buscar cada jugador una estrategia
óptima. La segunda parte del libro de Von Neumann y
Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional
o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta
óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que
éste es un problema mucho más difícil, no es de
sorprender que sus resultados fueran mucho menos
precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y
dos jugadores.

5. I. DEFINICIÓN
• La Teoría de Juegos consiste en razonamientos
circulares, los cuales no pueden ser evitados al
considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los
humanos no se les da muy bien pensar sobre los
problemas de las relaciones estratégicas, pues
generalmente la solución es la lógica a la inversa.
• En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es
muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que
se debe entrenar tomando en consideración ejemplos
instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales.
Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de
ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen
cuidadosamente los mismos.

6. II. OBJETIVO
La Teoría de Juegos se desarrolló con el objeto de
analizar situaciones competitivas en las que
intervienen intereses en conflicto y opciones o
estrategias posibles de identificarse y optimizarse. A
manera de ejemplos tenemos:
• Lanzamientos de campañas de publicidad para productos
que compiten.
• La planeación de estrategias bélicas de los ejércitos
contrarios.

7. • La mayoría de las competiciones recreativas como el
ajedrez, el póquer, las damas pueden considerarse
juegos de estrategia. Juegos de apuesta tales como los
dados y la ruleta no son juegos de estrategia por "jugar
contra la suerte" y no contra un oponente racional. Se
estudiará sus aplicaciones para la administración.
• En todo enfrentamiento las partes tratan de ganar, los
obstáculos deben vencerse, la teoría modela la forma
cómo interactúan las fuerzas en conflicto.

8. III. NÚMERO DE PARTICIPANTES
• Actualmente el desarrollo de la teoría de juegos
trata de encuentros entre dos oponentes (que se
identificarán como Jugador X y Jugador Y). Con
más de dos oponentes resulta difícil, pero para
un desarrollo aplicativo se podría considerar el
“juego de X" y "el de los demás” que sería
asumido como el “juego de Y”.

9. IV. PREMIO O PAGO
• La mayoría de los estudios realizados en la teoría
del juego son de suma cero, esto significa que lo
que gane un jugador será la pérdida del otro y la
suma de la ganancia y la pérdida será cero. En
caso de no ser de suma cero se podría optar por
el artificio de crear un jugador inexistente
que sea quien absorba las diferencias, pero el
análisis bajo esta modalidad es más complejo.

10. V. ESTRATEGIAS
• Las estrategias son los planes o acciones
que se espera adopten los jugadores.
• Las estrategias de un jugador X en número
se pueden representar como "m" y el número
de estrategias del jugador Y como n, entonces
se dice que el juego es de m x n.
• El número de estrategias puede ser finito o
infinito. El análisis a efectuarse cubre un
número de estrategias finito.

11. VI. MATRIZ DEL JUEGO O
MATRIZ DE PREMIOS
• Por lo general un problema de Teoría de Juegos se
expresa en la forma de una matriz denominada
Matriz de Juego o matriz de premios pues
presentan los pagos o premios, en el siguiente
Cuadro se tendrá una matriz de m x n, los valores
positivos representarán la ganancia para el jugador X
y consecuentemente la pérdida del Jugador Y, un
valor negativo tendrá la interpretación contraria, es
decir ganancia para el jugador Y y pérdida para el
jugador X.

12. JUGADOR Y
1 2 3 …….. n
JUGADOR
X
1 V11 V12 V13 V1n
2 V21 V22 V23 V2n
3 ….... …….. …….. …….. ……..
m Vm1 Vm2 Vm3 …….. Vmn
VI. MATRIZ DEL JUEGO O
MATRIZ DE PREMIOS

13. VII. VALOR DEL JUEGO
• El valor del juego es el pago promedio o esperado
por partida jugada, en una larga serie de estas,
considerando que ambos jugadores aplican sus
estrategias óptimas consistentemente.
• Un juego puede estar a favor de uno de los
participantes, por lo tanto si el valor del juego es
positivo indicará que la ventaja es para el Jugador X y si
es negativo, la ventaja será para el jugador Y. En caso
que el juego tenga un valor de cero el juego está
equilibrado, cualquiera puede ganar (se considera que a
la larga uno ganará), en este caso se conoce como un
Juego justo.

14. VIII. SUPUESTOS PARA UN
JUEGO
Los supuestos son:
a. Hay dos o más participantes con objetivos diferentes,
cuya acción influye, pero no determina completamente,
el resultado de un juego.
b. Que cada jugador conoce los objetivos del oponente.
c. Se puede enumerar la ganancia o pérdida para
cada jugador.
d. La solución va orientada a que cada uno de los
jugadores pueda maximizar su ganancia mínima, o en
forma equivalente,minimizar su pérdida máxima
esperada. Este criterio conservador se llama criterio
MAXIMIN ó criterio MINIMAX.

15. IX. PUNTOS MINIMAX (O DE
SILLA)
• Se dice que un juego está estrictamente
determinado si tiene un punto MINIMAX.
• En este caso el Punto Minimax indicará la
estrategia óptima para ambos jugadores.
• Para comprobar si existe un punto MINIMAX
usualmente se escribe el mínimo de las filas al
lado de cada fila y el máximo de las columnas al
pie de cada columna.

16. • Luego se determina el máximo de los
mínimos (MAXIMIN) y el mínimo de los
máximos (MINIMAX), y si fueran iguales,
se habría encontrado un punto MINIMAX.
Si se encuentra alguno, el juego queda
resuelto, si no se halla exigirá un mayor
análisis.
• También puede fijarse examinando una
anotación que sea simultáneamente el mínimo
de la fila en la cual ocurre, y el máximo de la
columna en la cual aparece.

17. X. JUEGOS DE DOS OPONENTES
Y DOS ESTRATEGIAS
• Los juegos de dos estrategias o de 2 x 2, son
aquellos para los cuales cada jugador sólo
tiene dos estrategias posibles. Para
solucionar estos juegos se puede presentar dos
casos:
a. Que el juego esté estrictamente determinado.
b. Que el juego no este estrictamente
determinado.

18. 10.1. JUEGOS ESTRICTAMENTE
DETERMINADOS DE
2 x 2
• Si el juego está estrictamente determinado,
el punto
• MINIMAX fija la estrategia óptima de ambos
jugadores.

19. 10.2. JUEGOS NO ESTRICTAMENTE
DETERMINADOS DE 2 x 2
• En este caso la estrategia que consiste en utilizar más de
una estrategia pura por lo que se denomina estrategia
mixta.
• Si el juego no está estrictamente determinado, para hallar
la estrategia óptima de los jugadores, que será de tipo
probabilístico ya que no hay una estrategia óptima, para
que cada jugador la use consistentemente, además el
jugar en forma consistente u obvia haciendo uso de
una estrategia particular, puede ser capitalizado por el
otro jugador. Así lo mejor en este caso es jugar
seleccionando aleatoriamente la estrategia, de modo tal
que el oponente no conozca la estrategia que se proyecta
usar.

20. • Cada estrategia debe tener una probabilidad de
ocurrencia, por lo cual en un juego de 2 x
2 no estrictamente determinado existirán
probabilidades p(X1) y p(X2) (p(X2) = 1 –
p(X1)), con las cuales el jugador X selecciona
al azar sus estrategias 1 y 2, igualmente para
el jugador Y existirá un par de probabilidades
p(Y1) y p(Y2) (p(Y1) = 1 – p(Y2)).

21. • El cálculo probabilístico de las estrategias, en caso
que la matriz no tenga un punto MINIMAX puede ser
hallado mediante fórmulas, a partir de la siguiente
notación para la matriz de premios:
Y
X
a b
c d

22. ESTRATEGIAS MIXTAS
PROBABILÍSTICAS PARA EL
JUGADOR X
• P(X1) = d - c
a - b - c + d
• P(X2) = 1 – p(X1) = a – b
a - b - c + d

23. ESTRATEGIAS MIXTAS
PROBABILÍSTICAS PARA EL
JUGADOR Y
• P (Y1) = d – b
a - b - c + d
• P (Y2) = 1 - P (Y1) = a - c
a - b - c + d

24. VALOR DEL JUEGO
• v = ad – bc
a - b - c + d

25. XI. DOMINACIÓN
• A partir del criterio que un jugador preferirá la mejor
opción una fila o columna que puede representar
comparativamente en todos sus pagos una alternativa
mejor o al menos igual que otra, puede excluirse la
opción que le paga menos o lo mismo. En una matriz de
juego m x n se dice que una mayoriza o bien domina a
otra, si cada pago en la primera fila es igual o
mayor que la segunda fila. Del mismo modo se dice que
una columna minoriza, o bien es dominada por otra, si
cada pago en la primera tiene un valor igual o menor que
el correspondiente pago en la segunda columna. La
fila o columna dominada puede omitirse de la matriz
de juego sin afectar su solución. Las reglas para aplicar
la dominación son:

26. • Fila: Si entre dos filas, de una de ellas los
valores son iguales o mayores, ésta domina a
la otra que puede ser excluida de la
evaluación. (MEJOR O IGUAL).
• Columnas: Si entre dos columnas, de una
de ellas los valores son iguales o menores,
ésta domina a la otra que puede ser excluida
de la evaluación. (PEOR O IGUAL).

27. XII. EL DILEMA DEL
PRISIONERO
• El Dilema del Prisionero (Prisoner's dilemma)
es un modelo de conflictos muy frecuentes en
la sociedad que ha sido profundamente
estudiado por la Teoría de Juegos.

28. Ejemplo:
Dos delincuentes son detenidos y encerrados en
celdas de aislamiento de forma que no pueden
comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha
que han participado en el robo del banco, delito
cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene
pruebas. Sólo tiene pruebas y puede culparles
de un delito menor, tenencia ilícita de armas,
cuyo castigo es de dos años de cárcel.
Promete a cada uno de ellos que reducirá su
condena a la mitad si proporciona las pruebas
para culpar al otro del robo del banco.

29. • Las alternativas para cada prisionero pueden
representarse en forma de matriz de pagos.
• La estrategia "lealtad" consiste en permanecer en
silencio.
• No proporcionar pruebas para acusar al compañero.
Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa.
Matriz de Pagos
(años de cárcel)
Preso Y
LEALTAD TRAICIÓN
Preso X
LEALTAD 2 2 10 1
TRAICIÓN 1 10 5 5

30. • Los pagos a la izquierda o a la derecha de la
barra indican los años de cárcel a los que es
condenado el preso X o Y respectivamente
según las estrategias que hayan elegido cada
uno de ellos.
• En vez de expresar los pagos en años de cárcel,
podríamos indicar simplemente el orden de
preferencia de cada preso de los
correspondientes resultados, con lo que el
modelo pasa a tener aplicación más general.

31. Matriz de Pagos
(orden de preferencias)
Preso Y
LEALTAD TRAICIÓN
Preso X LEALTAD 2 2 4 1
TRAICIÓN 1 4 3 3*

32. • La aplicación de la estrategia maximín conduce en este
juego a un resultado óptimo. Al no conocer la decisión
del otro preso, la estrategia más segura es traicionar. Si
ambos traicionan, el resultado para ambos es peor que
si ambos hubieran elegido la lealtad. Este resultado es
un punto de equilibrio de Nash y está señalado en la
matriz mediante un asterisco.
• El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito,
es un juego de suma no nula, bipersonal, biestratégico
y simétrico. Fue formalizado y analizado por primera
vez por A. W. Tucker en 1950. Es posiblemente el
juego más conocido y estudiado en la teoría de juegos.

33. XV. LA GUERRA DE LOS
SEXOS
• El juego de "La guerra de los sexos" es un
ejemplo muy sencillo de utilización de modelos
de la teoría de juegos para analizar un problema
frecuente en la vida cotidiana.
• Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno
de ellos puede elegir entre dos posibles
estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y
"Discoteca".

34. Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el
siguiente:
1. (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Fútbol.
2. ÉL y ELLA eligen Discoteca.
3. ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4. (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige
Fútbol.
Supongamos que el orden de preferencias de ELLA
es el siguiente:
1. (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.
2. ÉL y ELLA eligen Fútbol.
3. ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4. (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige
Fútbol.

35. La matriz de pagos es como sigue:
ELLA
Fútbol Discoteca
ÉL
Fútbol 1 2 3 3*
Discoteca 4 4 2 1
Los pagos representanel orden de preferencias.
En verde y a la izquierda de la barra, los pagos a
ÉL. En violeta y a la derecha de la barra los pagos a
ELLA
Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin
repetición y sin transferencia de utilidad.

36. • Sin repetición, significa que sólo se juega una
vez por lo que no es posible tomar decisiones
en función de la elección que haya hecho el otro
jugador en juegos anteriores.
• Sin transferencia de utilidad, significa que no
hay comunicación previa por lo que no es
posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar
pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te pago
la entrada").

37. • El problema que se plantea es simplemente un problema
de coordinación. Se trata de coincidir en la elección. Al
no haber comunicación previa, es posible que el
resultado no sea óptimo. Si cada uno de los jugadores
elige su estrategia maximín el pago que recibirán (33)
es subóptimo. Esa solución, marcada en la matriz con
un asterisco, no es un punto de equilibrio de Nash ya
que los jugadores están tentados de cambiar su elección:
cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que ÉL se
ha ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de
estrategia para obtener un pago mayor.
• El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya
que jugadores o estrategias son intercambiables sin que
los resultados varíen. Podemos introducir una
interesante modificación en el juego convirtiéndolo en
asimétrico a la vez que nos aproximamos más al mundo
real.

38. • Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el orden de
preferencias de ÉL se invierten. ËL prefiere ir solo al
Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz
de pagos queda como sigue:
ELLA
Fútbol Discoteca
ÉL
Fútbol 1 2* 2 3
Discoteca 4 4 3 1

39. • Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las
preferencias de ÉL, el problema de coordinación
desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la
estrategia Fútbol, sea cual sea la elección de ELLA.
Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia
Fútbol también, ya que prefiere estar con ÉL
aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea en la
Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores
coincide. El resultado, marcado con un asterisco, es
un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un
punto de equilibrio de Nash. Obsérvese que esta
solución conduce a una situación estable de dominación
social del jugador que podríamos calificar como el más
egoísta.

40. PROBLEMAS DE
TEORÍA DE JUEGOS

41. Investigar si en los siguientes juegos existen
puntos MINIMAX. De ser así ¿Cuál es el valor
del juego (v)?
12 2 25 -10
16 3 4 10
-2 -1 26 0
14 -4 8 6

42. * Se elige los puntos mínimos de las filas.
12 2 25 -10 -10
16 3 4 10 3
-2 -1 26 0 2
14 -4 8 6 -4

43. ** Se elige los puntos máximos de las columnas.
12 2 25 -10
16 3 4 10
-2 -1 26 0
14 -4 8 6
16 3 26 10

44. *** Luego escogemos el máximo valor del resultado
anterior de las filas, y Procedemos a escoger el
mínimo del resultado último de las columnas.
12 2 25 -10
16 3 4 10
-2 -1 26 0
14 -4 8 6
-10
3
2
-4
16 3 26 10
Por lo tanto el punto MINIMAX es 3 y el valor del
juego es V=3 entonces es un juego justo.

45. Segundo ejemplo:
-15 22 10 8 6 -14 -8
-3 4 -6 0 -4 22 -10
-2 3 4 10 -1 0 -6

46. * Se elige los puntos mínimos de las filas.
-15 22 10 8 6 -14 -8 -15
-3 4 -6 0 -4 22 -10 -10
-2 3 4 10 -1 0 -6 -6

47. ** Se elige los puntos máximos de las columnas.
-15 22 10 8 6 -14 -8
-3 4 -6 0 -4 22 -10
-2 3 4 10 -1 0 -6
-2 22 10 10 6 22 -6

48. *** Luego escogemos el máximo valor del resultado
anterior de las filas, y Procedemos a escoger el
mínimo del resultado último de las columnas.
Por lo tanto el punto MINIMAX es 6 y el valor del
juego es V= 6 entonces es un juego justo.
-15 22 10 8 6 -14 -8
-3 4 -6 0 -4 22 -10
-2 3 4 10 -1 0 -6
-2 22 10 10 6 22 -6
-15
-10
-6

49. Tercer ejemplo:
-3 2 4
6 1 3
3 10 12
5 0 -2
0 -4 6

50. * Se elige los puntos mínimos de las filas.
-3 2 4 -3
6 1 3 1
3 10 12 3
5 0 -2 -2
0 -4 6 -4

51. ** Se elige los puntos máximos de las columnas.
-3 2 4
6 1 3
3 10 12
5 0 -2
0 -4 6
6 10 12

52. *** Luego escogemos el máximo valor del resultado
anterior de las filas, y Procedemos a escoger el
mínimo del resultado último de las columnas.
En este caso es un juego no estrictamente determinado de
2 x 2 por lo tanto se utilizara estrategia mixta y su
respectiva formula.
-3 2 4
6 1 3
3 10 12
5 0 -2
0 -4 6
6 10 12
-3
1
3
-2
-4

53. En este caso se utilizara el criterio de Dominación para
encontrar una matriz de 2x 2:
*Primero comenzamos por las filas:
-3 2 4
6 1 3
3 10 12
5 0 -2
0 -4 6

54. De manera que se tiene una matriz de 2 x 2:
6 1 3
3 10 12
**Ahora comenzamos a dominar con las columnas
6 1
3 10
Y
X
a b
c d

55. Por último reemplazamos en las respectivas formulas de las
estrategias probabilísticas para cada jugador y el valor del
juego.
• ESTRATEGIAS MIXTAS PROBABILÍSTICAS
PARA EL JUGADOR X:

56. • ESTRATEGIAS MIXTAS PROBABILÍSTICAS
PARA EL JUGADOR Y:
• VALOR DEL JUEGO:

57. GRACIAS POR SU
ATENCIÓN…