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1. YESTERZON MATURANA MOSQUERA
RESUMEN DE LAS ULTIMAS CLASES
RAZON DE CAMBIO Y GRADIENTE
u = xy + x / y
xy +
x
y
derivada con respecto a x
D[u, x]
1
y
derivada con respecto a y
D[u, y]
-
x
y2
gradiente
g = {-1, -1}
{-1, -1}
-2 i + 3 j = -2 {1, 0} + 3 {0, 1}
{-2, 3}
norma
(-2)2
+ 3^2
13
normalizacion del vector

-2
13
,
3
13

-
2
13
^2 +
3
13
^2
1

2. razon de cambio
{-1, -1}.
-2
13
,
3
13

N-
1
13
 4
-1.1094
f = 6 x + 3 y - 7
-7 + 6 x + 3 y
p = {4, -17 / 3}
4, -
17
3

u = 2 i + 3 j
2 i + 3 j
derivada con respecto a x
D[f, x]
6
derivada con respecto a y
D[f, y]
3
gradiante
g = {6, 3}
2 i + 3 j = 2 {1, 0} + 3 {0, 1}
{2, 3}
norma
22
+ 3^2
13
normalizacion del vector

2
13
,
3
13

2 yester2.nb

3. 2
13
^2 +
3
13
^2
1
razon de cambio
{6, 3}.
2
13
,
3
13

N
21
13
, 4
5.824
INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES SERGIO YANSEN NUÑEZ
 
s
f (x, y, z) ⅆs donde f es una funncion escalar
ds = 〚n〛 dxdy
para z = g (x, y), n = -
dz
dx
,
dz
dy
, 1
n =
dz
dx
2
+
dz
dy
2
+ 1
calculo del area de la superficie
A(S) =  
s
ⅆs
calculo de centro de masa (centroide)
C.M =
∫ ∫s
xδ (x, y, z) ⅆs
M
,
∫ ∫s
yδ (x, y, z) ⅆs
M
,
∫ ∫s
zδ (x, y, z) ⅆs
M
donde δ (x, y, z) es la encidad.
Calcule el área de la superficie de una semiesfera z =
4 - x2
- y2
que queda dentro del cilindro x2
+ y2
= 2 x.
solucion
D 4 - x2
- y2
, x
-
x
4 - x2 - y2
yester2.nb 3

4. D 4 - x2
- y2
, y
-
y
4 - x2 - y2
D[z, z]
1
n = -
x
4 - x2 - y2
2
+ -
y
4 - x2 - y2
2
+ 1
Simplify 1 +
x2
4 - x2 - y2
+
y2
4 - x2 - y2

2
1
4 - x2 - y2
A (s) ==   2
1
4 - x2 - y2
ⅆx ⅆy
ds = 2
1
4 - x2 + y2
ⅆx ⅆy
x2
+ y2
= 2 x
r2
= 2 rCos[θ]
r = 2 Cos[θ]
2 
0
π
2

0
2 Cos[θ]
2
1
4 - r2
r ⅆr ⅆθ
N[4 (-2 + π)]
4.56637
la porcion de la sperficie S dada por z =
9 - x2
- y2
con x2
+ y2
⩽ 4 tiene una delgada capa metalica cuya densidad en (x, y, z) es
δ (x, y, z) = z calcule la masa de la capa.
solución.
z = 9 - x2
- y2
4 yester2.nb

5. x2
+ y2
⩽ 4
d (x, y, z) = z
D 9 - x2
- y2
, x, D 9 - x2
- y2
, y, 1
-
x
9 - x2 - y2
, -
y
9 - x2 - y2
, 1
n = -
x
9 - x2 - y2
2
+ -
y
9 - x2 - y2
2
+ 1
Simplify 1 +
x2
9 - x2 - y2
+
y2
9 - x2 - y2

3 -
1
-9 + x2 + y2
M =   9 - x2
- y2
3 -
1
-9 + x2 + y2
ⅆx ⅆy
M = 3   ⅆx ⅆy
6 
0
π

0
2
r ⅆr ⅆθ
12 π
yester2.nb 5