Paso 5, grupo 29

2. Para aplicar la Ley o Teorema del Seno, es importante tener presente que
este hace presencia para triángulo, específicamente en los oblicuángulos
(los que no son rectángulos, puesto que estos se pueden trabajar con razones
trigonométricas y el Teorema de Pitágoras).
Es importante conocer que
generalmente los ángulos se les
denomina con letras mayúsculas o
Letras griegas y sus lados opuestos al
ángulo con letras minúsculas.
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠ⅇ𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠ⅇ𝑛𝐶
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𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠ⅇ𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠ⅇ𝑛𝛾
o
Nota: Puede aplicarse también tal
fórmula, con los senos arriba, y los
lados abajo, es decir los lados
dividiendo al seno.
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3. La Ley o Teorema del Seno, es la relación entre el ángulo y su lado opuesto, se aplica cuando se conoce
una relación entre ellos, y cualquier otra información.
Ejemplo: Encontrar el Seno del ∡𝐴 y el lado “c” si se conoce que el ∡𝐵 es igual a 30°, el (∡𝐶) es igual a
101,3°, el lado “b” es igual a 10 cm, además que el lado opuesto del ∡𝐴 ,es decir el lado “a” es igual a 15
cm.
1. Obtenemos los datos conocidos.
∡𝐴 =?
∡𝐵 = 30°
𝑏 = 10 𝑐𝑚
𝑎 = 15 𝑐𝑚
∡𝐶 = 101,3°
2. Aplicamos la fórmula de la ley
del seno para encontrar el ángulo A
y reemplazamos valores.
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠ⅇ𝑛𝐵
15
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
10
𝑠𝑒𝑛30°
𝑠𝑒𝑛30° ∙ 15 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 10
𝑠𝑒𝑛30° ∙ 15
10
= 𝑠𝑒𝑛𝐴
3. Iniciamos por despejar Seno A para
poder dar con su dato, y luego en la
calculadora realizamos la operación
donde debemos todo lo de arriba
dividirlo entre 10 cm.
𝑠𝑒𝑛𝐴 = 0,75
sⅇn−1
𝑠𝑒𝑛𝐴 = sⅇn−1
0,75
𝐴 = 48,6°
4. Al seno de A, para obtener el valor del
ángulo A, le aplicamos el arcoseno en
ambos miembros, así despejamos el
ángulo y encontramos su valor.
𝑎
𝑠ⅇ𝑛𝐴
=
𝑐
𝑠ⅇ𝑛𝐶
5. Aplicamos la fórmula de la ley del seno para
encontrar el lado “c”, podemos tomar cualquiera de
las relaciones completas encontradas y despejamos el
lado c..
𝑠𝑒𝑛101,3° ∙ 15 = 𝑠𝑒𝑛48,6° ∙ 𝑐
𝑐 = 19,6 𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛101,3° ∙ 15 𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛48,6°
= 𝑐
15
𝑠ⅇ𝑛48,6
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛101,3°
Figura realizada en GeoGebra

4. Para aplicar la Ley o Teorema del Coseno, es importante tener presente que
este hace presencia para triángulos oblicuángulos (los que no son
rectángulos, puesto que estos se pueden trabajar con razones
trigonométricas y el Teorema de Pitágoras).
Al igual como se
mencionó
anteriormente, es
importante conocer
que generalmente los
ángulos se les
denomina con letras
mayúsculas o Letras
griegas y sus lados
opuestos al ángulo
con letras
minúsculas.
Nota: Esta Ley o Teorema del Coseno se aplica cuando se conoce un ángulo y los
dos lados que lo forman, al igual que cuando se conocen los tres lados, es decir:
o LAL
o LLL
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5. En la Ley o Teorema del Coseno, el comienzo de su fórmula es similar al
Teorema de Pitágoras, solo que se le resta el doble del los dos lados que lo
anteceden y luego se multiplica por el coseno del ángulo opuesto al lado
que se quiere encontrar, de esa fórmula se despejan los valores que se
quieren encontrar
Se puede observar que del
lado que se quiere
encontrar, se le conoce su
ángulo opuesto al que se
le aplica el coseno.
Fórmula para
cuando se
quiere conocer
un lado.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏. cos 𝐶
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
= cos 𝐵
Fórmula para
cuando se
quiere conocer
un ángulo.
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
= −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵
𝑐2
− 𝑎2
− 𝑏2
−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
= cos 𝐶
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏. cos 𝐶
𝑐2
− 𝑎2
− 𝑏2
= −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝐶
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
−2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
= cos 𝐴
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
= −2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
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6. Ejemplo: Encontrar a través del Teorema del Coseno el lado “a” si el ángulo A
mide 45° y sus lados que los forman “b” mide 6 cm y “c” mide 8 cm, luego
encontrar el ángulo B.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
= cos 𝐵
∡𝐴 = 45°
𝑏 = 6 𝑐𝑚
𝑐 = 8 𝑐𝑚
𝑎 =?
1. Obtenemos los datos conocidos.
2. Aplicamos la fórmula de la
Ley del Coseno para encontrar
el lado “a” y reemplazamos
valores.
𝑎2
= 6𝑐𝑚 2
+ 8𝑐𝑚 2
− 2 6cm 8𝑐𝑚 ∙ cos 45°
𝑎2
= 36𝑐𝑚2
+ 64𝑐𝑚2
− 96𝑐𝑚2
∙ 0,70
𝑎2
= 100𝑐𝑚2
− 67,2𝑐𝑚2
𝑎2
= 32,8𝑐𝑚2
𝑎2 = 32,8𝑐𝑚2
𝑎 = 5,72𝑐𝑚
3. Aplicamos la fórmula de la
Ley del Coseno para encontrar
el ángulo B y reemplazamos
valores.
62
− 5,722
− 82
−2 ∙ 5,72 ∙ 8
= cos 𝐵
36 − 32,71 − 64
−91,52
= cos 𝐵
−60,72
−91,52
= cos 𝐵
0,663 = cos 𝐵 4. Para despejar el ángulo B
le aplicamos el arcoseno a
ambos miembros.
cos−1
0,663 = cos−1
cos 𝐵
48,4° = 𝐵
Figura realizada en GeoGebra

7. Las Razones o Funciones Trigonométricas se aplican a triángulos rectángulos,
donde cuenta con un ángulo recto, hipotenusa, dos ángulos diferentes al recto y
su cateto opuesto y su cateto adyacente.
Las Razones o Funciones son seis (6) Seno, Coseno, Tangente,
Cotangente, Secante y Cosecante, y en ellas hace presencia el
cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa:
• Cateto opuesto, aquel que esta al frente del
ángulo diferente al ángulo recto.
• Cateto adyacente aquel que esta a un lado
del ángulo diferente al recto y no es la
hipotenusa.
• Hipotenusa es el lado más largo, además es el
lado opuesto al ángulo recto

8. En las Razones o Funciones Trigonométricas se cumple que si
seguimos el orden anterior de estas, las tres últimas
funciones son las opuestas a las tres primeras, es decir:
Seno -----Cosecante
Coseno----Secante
Tangente---Cotangente
Opuesto
Seno: Para calcular el seno de un ángulo, se divide el cateto opuesto
sobre la hipotenusa.
Coseno: Para calcular el coseno de un ángulo, se divide el cateto
adyacente sobre la hipotenusa.
Tangente: Para calcular la tangente de un ángulo, se divide el cateto
opuesto sobre el cateto adyacente.
Cotangente: Para calcular la cotangente de un ángulo, se divide el
cateto adyacente sobre el cateto opuesto.
Secante: Para calcular la secante de un ángulo, se divide la hipotenusa
sobre el cateto adyacente.
Cosecante: Para calcular la cosecante de un ángulo, se divide la
hipotenusa sobre el cateto opuesto
Figura realizada en GeoGebra

9. 𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑠𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑜
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝛽 =𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙 Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟,
𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠.
Ejemplo: Calcular las seis razones trigonométricas para los ángulos “ 𝛽 , 𝛾”
del siguiente triángulo rectángulo
ℎ =? 𝑎 = 10𝑐𝑚 𝑏 = 8𝑐𝑚
ℎ2
= 𝑎2
+ 𝑏2
ℎ2
= 𝑎2
+ 𝑏2
ℎ2
= (10 𝑐𝑚)2
+ (8 𝑐𝑚)2
ℎ2
= 100 𝑐𝑚2
+ 64 𝑐𝑚2
ℎ2
= 164 𝑐𝑚2
ℎ2 = 164 𝑐𝑚2
ℎ = 12,8 𝑐𝑚
Al no saber el valor del otro lado que es
necesario para aplicar algunas razones
trigonométricas, aplicamos el teorema de
Pitágoras para hallar en este caso el valor
de la hipotenusa, luego podemos aplicar
cada una de las funciones para los
ángulos solicitados
sⅇn 𝛾 =
𝑐𝑜
ℎ
cos 𝛾 =
𝑐𝑎
ℎ
tan 𝛾 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
sⅇn 𝛾 =
10𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
cos 𝛾 =
8𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
tan 𝛾 =
10𝑐𝑚
8𝑐𝑚
sⅇn 𝛾 = 0,78 cos 𝛾 = 0,625 tan 𝛾 = 1,25
sⅇn 𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
cos 𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
tan 𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
sⅇn 𝛽 =
8𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
cos 𝛽 =
10𝑐𝑚
12,8𝑐𝑚
tan 𝛽 =
8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
sⅇn 𝛽 = 0,625 cos 𝛽 = 0,78 tan 𝛽 = 0,8
cot 𝛽 =
10𝑐𝑚
8𝑐𝑚
sⅇc 𝛽 =
12,8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
csc 𝛽 =
12,8𝑐𝑚
8𝑐𝑚
cot 𝛽 = 1,25 sⅇc 𝛽 = 1,28 csc 𝛽 = 1,6
cot 𝛽 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
sⅇc 𝛽 =
ℎ
𝑐𝑎
csc 𝛽 =
ℎ
𝑐𝑜
cot 𝛾 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
sⅇc 𝛾 =
ℎ
𝑐𝑎
csc 𝛾 =
ℎ
𝑐𝑜
cot 𝛾 =
8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
sⅇc 𝛾 =
12,8𝑐𝑚
8𝑐𝑚
csc 𝛾 =
12,8𝑐𝑚
10𝑐𝑚
cot 𝛾 = 0,8 sⅇc 𝛾 = 1,6 csc𝛾 = 1,28

10. Hay que recordar que
una ecuación es una
igualdad, ahora bien,
una identidad es una
ecuación donde se
cumple para
cualquier valor que se
le de a la variable.
Una Identidad Trigonométrica es una identidad
donde hace presencia las funciones trigonométricas,
y las incógnitas son los nombres que se le dan a los
ángulos. Hay que recordar que se deben trabajar en
una identidad con funciones que contengan el
mismo nombre del ángulo para que lleve el nombre
de Identidad.
Ejemplo: tan 𝛽 =
sin 𝛽
cos 𝛽
Si a la incógnita o al ángulo 𝛽 le colocamos un
valor, en todos los campos donde este, la igualdad
se cumplirá.
tan 20° =
sin 20°
cos 20°
Comprobamos en la calculado los valores.
0,36 =
0,34
0,93
0,36 = 0,36

11. Se tiene que tener presente que
entre las identidades
trigonométricas tenemos:
Identidades recíprocas e
identidades pitagóricas.
Identidades Recíprocas: Son ocho
(8) identidades recíprocas, las seis
(6) primeras se forman por el uno
(1) divido el inverso de cada una
de las funciones, ya anteriormente
hablamos quienes eran los inversos
de cada uno; las otras dos
identidades recíprocas son la
tangente y la cotangente, donde la
tangente es igual al seno dividido
coseno y la cotangente al ser la
inversa de la tangente sería la
división del coseno sobre el seno.
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
1
𝐶𝑠𝑐𝛽
𝐶𝑜𝑠𝛽 =
1
𝑆𝑒𝑐𝛽
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
1
𝐶𝑜𝑡𝛽
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
1
𝑇𝑎𝑛𝛽
𝑆𝑒𝑐𝛽 =
1
𝐶𝑜𝑠𝛽
𝐶𝑠𝑐𝛽 =
1
𝑆𝑒𝑛𝛽
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
𝑆𝑒𝑛𝛽
𝐶𝑜𝑠𝛽
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
𝐶𝑜𝑠𝛽
𝑆𝑒𝑛𝛽

12. Para demostrar que cada una de
estas son identidades, se tiene que
tener presente cada una de las
funciones trigonométricas:
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑡𝛽 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑠𝑐𝛽 =
ℎ
𝑐𝑜
Ejemplo. Demostrar la siguiente identidad:
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
1
𝐶𝑠𝑐𝛽
Reemplazamos valores y para aplicar la ley de extremos y medios
le asignamos un 1 al numerador para convertirla a fracción.
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
1
1
ℎ
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜
ℎ
𝑐𝑜
ℎ
=
𝑐𝑜
ℎ

13. Identidades Pitagóricas : En esta se tiene
presente el teorema de Pitágoras que dice,
que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos,
en este caso, la hipotenusa es 1 y los
catetos son el Seno de un ángulo y el
Coseno del mismo ángulo. Se debe tener
presente las funciones trigonométricas
12
= 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
1 = 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
𝑠𝑒𝑛2
𝛽 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
De esta fórmula se pueden
encontrar otras.
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝛽
1
𝑠𝑒𝑛2 𝛽
=
𝑠𝑒𝑛2𝛽
𝑠𝑒𝑛2𝛽
+
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
𝑠𝑒𝑛2𝛽
𝑐𝑠𝑐2 𝛽 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛽
1
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
=
𝑠𝑒𝑛2
𝛽
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
+
𝑐𝑜𝑠2
𝛽
𝑐𝑜𝑠2 𝛽
𝑠𝑒𝑐2
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛2
𝛽 +1
𝑐𝑜𝑡2 𝛽 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛽 − 1
𝑡𝑎𝑛2
𝛽 = 𝑠𝑒𝑐2
𝛽 −1

14. Ejemplo. Comprobar la siguiente identidad:
Reemplazamos valores que
permitan que se cumpla la
identidad con las funciones
trigonométricas conocidas, pues
estas sirven para cualquier
exponente.
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1
Buscamos igualar uno de los
miembros, en este caso es más
fácil igualar al segundo
miembro
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1
𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝛽 − 1
2 𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 = 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1

15. Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para
estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del
Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/6
9943?page=159
Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
Rondón, J. (2017). Modulo Algebra, Trigonometría y
Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583