movimiento MAS

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
IUTAJS
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
INTEGRANTE:
ABRAHAM JARA
C.I. N° V-26820141
SECCIÓN 01
ASIGNATURA: FÍSICA I
Barquisimeto/Agosto/2017

2. TRABAJO Y ENERGÍA EN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica,
proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. El sonido de una
determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa
un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se
obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a
las fuerzas causantes de este desplazamiento. Un ejemplo de este movimiento se puede
encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud
de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección
(Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico
simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la
circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la
circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto
proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un
punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12,
T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la
circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante
es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x,
donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es
proporcional al tiempo).

3. Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta
regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de
equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de
la posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa.
Se designa con la letra "t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de
tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre
la partícula oscilante.
Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme:
El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección"
(sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular
uniforme (­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro
vertical de la circunferencia que recorre. El movimiento armónico simple, también
denominado movimiento vibratorio armónico simple es un movimiento rectilíneo con
aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa
de su posición de equilibrio, ejemplo el péndulo de un reloj o una masa suspendida de un
resorte.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio.
El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues
constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la
naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la
ecuación que lo define es función del seno o del coseno.

4. Movimiento armónico simple en una dirección:
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s se mueve a
lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por las ecuaciones.
Dónde:
A es la amplitud o elongación máxima.
ω la frecuencia angular.
ωt+φ la fase.
φ la fase inicial.
La partícula oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su
trayectoria o punto de equilibrio, de tal manera que su posición en función del tiempo con
respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la
partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste,
esta fuerza en todo momento dirige a la partícula hacia su posición de equilibrio y recibe el
nombre de fuerza restauradora. En el MAS la posición, la velocidad, la aceleración y la
fuerza varían con la posición en función del tiempo. En el movimiento armónico simple, la
frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud, y la aceleración es proporcional
al desplazamiento, pero de sentido contrario.
Características de un M.A.S.:
Como los valores máximo y mínimo de la función seno o cos son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. La función seno
es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de
la función seno o cos se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que:

5. Parámetros fundamentales:
El periodo T, es el tiempo que se requiere para efectuar una oscilación completa, esto es,
para cada repetición sucesiva del movimiento de ida y vuelta, sus unidades en SI son
segundos. La frecuencia f del movimiento, es el número de oscilaciones por unidad de
tiempo, sus unidades en SI es Hz o 1/s, por consiguiente la frecuencia es el recíproco del
periodo T. T = 1/f. Posición de equilibrio, es la posición para la cual no obra ninguna fuerza
sobre la partícula, es generalmente donde se ubica el sistema de coordenadas para medir las
distancias. Se llama elongación (lineal o angular) a la distancia (lineal o angular) de la
partícula que oscila a su posición de equilibrio en cualquier instante, sus unidades en SI son
m. La amplitud del movimiento A, es la máxima elongación.
Ecuación del movimiento:
Elongación: Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio,
estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple,
pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual
le confiere ese movimiento de vaivén. La posición que ocupa el bloque en cada
momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x. Para
definir el movimiento se calcula su ecuación, la relación entre las magnitudes que
intervienen e influyen sobre él. Para encontrar una ecuación que relacione la
posición (x) con el tiempo x (t). Para ello se toman como punto de partida dos leyes
muy conocidas en Física:
- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la
posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2da ley de Newton: que relaciona la fuerza, la masa y la aceleración, cuya expresión
es:
F = ma

6. Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del
movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
Donde se expresa la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al
tiempo. La solución de esta ecuación para el valor de la posición en función del tiempo es:
Siendo x (t) la elongación, A la amplitud o máxima elongación, ω la frecuencia angular
y φ el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (punto donde
empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
Amplitud y fase inicial:
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0. Se
determinan la amplitud A y la fase inicial φ
Consideraciones energéticas en el MAS:
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto,
conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía
potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta
con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y
cambiarla de signo, obteniéndose para el caso específico de un sistema de masa-resorte la
siguiente expresión para la energía potencial:
Ep = ½ K x2

7. La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor
nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio. La energía cinética cambiará a
lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
Ec = ½ mv2
La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto
de equilibrio (máxima velocidad Aω). Sustituyendo la ecuación de velocidad para el MAS
podemos obtener la expresión para la energía cinética máxima como sigue:
Ec max = ½ ω2A2
Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía
cinética y potencial) permanece constante.
Ec + Ep = Em
Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente
considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la
energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces
que:
Em = Ep max + 0 = ½ KA2
O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en
el punto de equilibrio x = 0
Em = 0 + Ec max = ½ ω2A2
TRABAJO Y ENERGÍA EN MOVIMIENTO ROTACIONAL
El movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando ésta describe
circunferencias de radio r alrededor de un eje de giro. Al ángulo girado se le representa con
la letra griega θ y se mide en radianes; la velocidad de rotación o velocidad angular se
representa con ω y se mide en radianes/segundo.

8. La relación entre las magnitudes angulares y las del movimiento lineal son sencillas si
recordamos la expresión de la longitud de la circunferencia (l = 2 · π · r)
Distancia = ángulo · radio
d = θ · r
v = ω · r
Con estas expresiones, la energía cinética de rotación de una partícula se expresa como:
Cuando se trata de un sólido con muchas partículas, la energía de rotación del sólido es
la suma de todas las energías de cada una de las partículas o trozos que lo componen:
La expresión Σ(mi·ri²) se denomina momento de inercia, y de forma análoga a la masa
(o masa de inercia), mide la dificultad que tiene un objeto a ponerse en movimiento de
rotación respecto a un eje de giro. Pulsando aquí hay algunos momentos de inercia básicos.
Con esto, la energía de rotación viene dada por la siguiente expresión:

9. Al igual que una fuerza realiza trabajo cuando produce un desplazamiento, en la
mecánica de rotación se realiza un trabajo cuando se produce un giro por efecto de una
fuerza.
El trabajo de la fuerza F viene dado por la expresión: W = F · d y, como la distancia
recorrida es: d = θ · r. Se obtiene como trabajo de rotación:
W = F · θ · r
Y, por fin, al producto de la fuerza por la distancia del punto de aplicación de ésta al eje
de giro mide la capacidad de producir un giro de esa fuerza, y se denomina par o momento
de la fuerza, con lo cual, la expresión del trabajo de rotación queda como:
Y la potencia de rotación es la velocidad con que se produce un trabajo de rotación, esto
es, el resultado de dividir el trabajo entre el tiempo:
Con todo ésto, la equivalencia entre magnitudes del movimiento lineal y del movimiento
de rotación es la siguiente:

10. SISTEMA MASA-RESORTE
Un ejemplo del Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte que consiste
en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra
en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.
Movimiento lineal Movimiento giratorio Relación
Desplazamiento Distancia (d) Ángulo (θ) d = θ · r
Velocidad Velocidad lineal (v) Velocidad angular (ω) v = ω · r
Inercia Masa (m) Momento de inercia (I)
Causa del movimiento Fuerza (F) Par o Momento (M o C) M = F · r
Energía Energía cinética (EC =
1/2·m·v²)
Energía de
rotación (EROT=1/2·I·ω²)
Trabajo Trabajo de una fuerza (W =
F·d )
Trabajo de un momento (W = M·θ)
Potencia Velocidad de desplazar una
fuerza (P = F·v)
Velocidad de girar un momento (P
= M·ω)

11. El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en
ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o
acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza
mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que
aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesta a la fuerza externa aplicada (si
el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica. Dicha fuerza
recuperadora elástica es igual a:
En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el
resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una
deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moverse con M.A.S.
oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero
negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la
posición de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la
deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máxima pero
positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.
A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante (recuperadora)
con la aceleración a(t).

13. PÉNDULO SIMPLE
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por
un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una
posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza
a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l.
Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las
fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos:
 el peso mg
 La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg*senq en la
dirección tangencial y mg*cosq en la dirección radial.
Ecuación del movimiento en la dirección radial:
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su
trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe:
man=T – mg*cosq

14. Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la
tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio,
T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero,
T=mgcosq0
Principio de conservación de la energía:
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en
energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial. La
energía se conserva:
v2=2gl(cosθ-cosθ0)

15. La tensión de la cuerda es:
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su
valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la
velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial:
La aceleración de la partícula es:
at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe:
mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es:
at=a
l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial:
Medida de la aceleración de la gravedad:
Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones
armónicas cuya ecuación es
q =q0·sen(w t+j )
De frecuencia angular w2=g/l, o de periodo

16. La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de
masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P
situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la
unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.
Su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
Ejemplo:
Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La
aceleración g de la gravedad en su superficie es:
Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración:
 Cinemática
Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura
h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.
 Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se
mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el
periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.

17. De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.
Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:
 P2/(4p2) en el eje vertical y
 La longitud del péndulo l en el eje horizontal.
La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.
HIDROSTÁTICA
La materia existe en diferentes estados de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Los
líquidos y los gases tienen propiedades comunes tales como su capacidad de fluir y de
adoptar la forma de recipientes que los contiene por lo que se le denomina conjuntamente
fluidos.
Los líquidos son prácticamente incompresibles, por lo que podemos considerar que su
volumen no se modifica. El gas, en cambio se expande y comprime con facilidad. La
hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos o de la hidráulica que estudia los fluidos
en estado de equilibrio; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o
posición. Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son el
principio de Pascal y el principio de Arquímedes.

18. Aunque los fluidos obedecen a las mismas leyes físicas que los sólidos, la facilidad con
la que cambian de forma hace que sea conveniente estudiar pequeñas porciones en un lugar
de todo el fluido. Por eso se reemplazan las magnitudes extensivas (que dependen de la
cantidad de materia) por las magnitudes intensivas (que dependen de la cantidad de
materia) la masa se reemplaza por la densidad y el peso se reemplazara por el peso
específico.
La presión (P) se relaciona con la fuerza (F) y el área o superficie (A) de la siguiente
forma:
P=F/A.
La ecuación básica de la hidrostática es la siguiente:
dP = ρgdh
Siendo:
P: presión
ρ: densidad del fluido
g: la aceleración gravitatoria de la Tierra
h: altura
Fuerza y presión:
Cuando en una situación de equilibrio la fuerza la transmite un sólido, como por ejemplo
una soga, el valor de la fuerza no cambia por efecto de transmisión. Consideremos, por
ejemplo un cuerpo que cuelga de una polea y se mantienen en equilibrio utilizando una
soga. La soga transmite la fuerza sin cambiar su valor: la intensidad de la fuerza que la
mano hace sobre la soga es la misma que la que la soga hace sobre el cuerpo.
Presión hidrostática:

19. Presión en mecánica, es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o un gas
perpendicularmente a dicha superficie. La presión suele medirse en atmósferas (atm); en el
Sistema Internacional de unidades (SI), la presión se expresa en Newton por metro
cuadrado; un Newton por metro cuadrado es un pascal (Pa). La atmósfera se define como
101.325 Pa, y equivale a 760 mm de mercurio o 14,70 lbf/pulg2 (denominada psi).
Dónde:
P: presión ejercida sobre la superficie, N/m2
F: fuerza perpendicular a la superficie, N
A: área de la superficie donde se aplica la fuerza, m2
La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entre la
presión de un fluido y la presión atmosférica local. Para pequeñas diferencias de presión se
emplea un manómetro que consiste en un tubo en forma de U con un extremo conectado al
recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abierto a la atmósfera. El tubo contiene
un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferencia entre los niveles del líquido en
ambas ramas indica la diferencia entre la presión del recipiente y la presión atmosférica
local.
Para diferencias de presión mayores se utiliza el manómetro de Bourdon, llamado así en
honor al inventor francés Eugène Bourdon. Este manómetro está formado por un tubo
hueco de sección ovalada curvado en forma de gancho. Los manómetros empleados para
registrar fluctuaciones rápidas de presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o
electrostáticos que proporcionan una respuesta instantánea.
Como la mayoría de los manómetros miden la diferencia entre la presión del fluido y la
presión atmosférica local, hay que sumar ésta última al valor indicado por el manómetro
para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro corresponde a un vacío
parcial.

20. Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10-6 mm de mercurio de presión absoluta)
pueden medirse con el llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumen conocido del
gas cuya presión se desea medir, lo comprime a temperatura constante hasta un volumen
mucho menor y mide su presión directamente con un manómetro. La presión desconocida
puede calcularse a partir de la ley de Boyle-Mariotte. Para presiones aún más bajas se
emplean distintos métodos basados en la radiación, la ionización o los efectos moleculares.
Principio fundamental de la hidrostática:
La diferencia de presión entre dos puntos de un mismo líquido es igual al producto del
peso específico del líquido por la diferencia de niveles
P2 - P1 = . (h2 - h1)
Dónde:
P2, P1: presión hidrostática en los puntos 2 y 1 respectivamente, N/m2
h2, h1: profundidad a la que se encuentran los puntos 2 y 1 respectivamente, m
: peso específico del fluido, N/m3
Principio de Pascal:
Toda presión ejercida sobre la superficie libre de un líquido en reposo se transmite
íntegramente y con la misma intensidad a todos los puntos de la masa líquida y de las
paredes del recipiente.
Principio de Arquímedes (Boyantez):
Todo cuerpo sumergido en un líquido, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al
peso del líquido desalojado.
E = . V

21. Dónde:
E: empuje hidrostático, N
: peso específico del fluido, N/m3
V: volumen de fluido desalojado por el cuerpo, m3
El concepto de "peso aparente" se refiere al "peso supuesto" que posee un cuerpo que se
encuentra sumergido en un fluido.
Pa = W – E
Dónde:
Pa: peso aparente, N
W: peso real del cuerpo, N
E: empuje hidrostático que recibe el cuerpo