mas

1. Movimiento
Armónico
Simple (M.A.S)

2. Se llama Movimiento vibratorio u Oscilatorio al
desplazamiento de una partícula entre dos extremos de
forma repetitiva (Vaivén) siguiendo alguna ley periódica
El Movimiento Armónico Simple (MAS)
Un tipo de movimiento vibratorio causado por la
proyección de un Movimiento Circular Uniforme (MCU)
en una recta lineal.
NOTA: El movimiento armónico simple, se le llama
SIMPLE porque proviene de un Movimiento Circular
Uniforme, el cual posee velocidad constante de rotación.
Si el movimiento circular NO tiene velocidad constante
(pudiendo ser acelerado o variado), la proyección que
genera forma el llamado Movimiento Armónico Complejo
(MAC), cuyo estudio es semejante al primero pero
teniendo en cuenta al cambio de la velocidad en el
tiempo aplicado en las diversas formulas del mismo.

3. FORMAS DE
REPRESENTAR LA
PROYECCIÓN
1. Consiste en tomar un diámetro
cualquiera de la circunferencia
de un Movimiento Circular
(MCU), y prolongar sobre esta
recta la componente vertical de
la partícula. El Movimiento
Circular se reducirá a un
movimiento de vaivén en la
recta.
2. En el caso de una partícula A que
rota en el eje de un motor, el
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
que se genera, es alumbrado desde
arriba por una fuente de luz,
produciéndose la proyección de la
sombra de la partícula A en el punto B
en la superficie de la mesa. La luz esta
dispuesta de modo que solo se vea
una línea fina del movimiento del
vaivén (la luz cae perpendicular a la
mesa). Este ultimo es el Movimiento
Armónico Simple (MAS).
NOTA: Este ejemplo, al igual que
muchos otros, demuestra que las
proyecciones deben de ser
perpendiculares al movimiento de
rotación, para que desde el punto de
vista del observador se vea una recta
fina en forma de vaivén.

4. PARTESDE UNMOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLE
OSCILACIÓN SENCILLA: Es el
movimiento de un extremo al otro
de la trayectoria.
FRECUENCIA (f): Es la cantidad
de oscilaciones completas que la
partícula realiza en la unidad de
tiempo ( 1 segundo). Se sigue
cumpliendo que: f=1/T
OSCILACIÓN COMPLETA: Es el
movimiento de un extremo al otro
de la trayectoria y regreso hasta el
punto de partida, es decir, una
oscilación completa es igual a dos
oscilaciones sencillas
PUNTO DE EQUILIBRIO: Es el
punto central de la trayectoria de la
partícula
ELONGACION (x): Es la
distancia que separa la partícula
de su posición de equilibrio
AMPLITUD (A): Es la máxima
elongación posible y equivale a la
distancia entre el punto de
equilibrio y uno de los puntos de
retorno
PERIODO (T): Es el tiempo que tarda
la partícula en dar una oscilación
completa.
PUNTO DE RETORNO: Son los
extremos de la trayectoria que limitan
al movimiento de la partícula

5. ELONGACIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS:
Si la elongación del Movimiento Armónico Simple, se representa
según avanza el tiempo, se obtiene una grafica periódica que
corresponde a una función trigonométrica del tipo SENO o
COSENO.
De igual modo, si se considera además la velocidad lineal y la
aceleración Centrípeta de la partícula al mismo tiempo que
transcurre la elongación, se obtiene los siguientes registros:

6. Variables de las
formulas
anteriores:
NOTA:
En las formulas de aceleración, aparece un signo (-) el cual indica que
apunta siempre en dirección contraria a la velocidad, para hacer que la
partícula regrese al punto de equilibrio
X=Elongación
V=Velocidad Lineal
a= Aceleración centrípeta
A= Amplitud
W=Velocidad angular
t= Tiempo transcurrido

7. CARACTERISTICAS La velocidad de la partícula es mayor mientras mas
lejos se encuentra de los puntos de retorno, siendo
máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y
mínima (cero) en los puntos de retorno.
La aceleración de las partículas es mayor mientras
mas lejos se encuentra del punto de equilibrio, siendo
máxima en los puntos de retorno y mínima (cero) en
el punto de equilibrio.
IMPORTANTE: Las formulas de Velocidad y
Aceleración descritas en la tabla anterior, son
consecuencias de la grafica inicial de elongación, ya
que de esta se derivan las demás. Sin embargo las
mismas formulas también se puede expresar como:

8. • Por este motivo se cumple la siguiente regla general:
Esto se debe a que: las graficas del Seno y del Coseno son iguales en su
forma, y solo se encuentran desfasadas entre si por un valor de π/2 o 90°
Si la elongación se expresa en forma de Seno entonces su velocidad esta
en términos de Coseno y su aceleración en Seno, y viceversa: si la
elongación se expresa en forma de Coseno, entonces su velocidad esta
en términos de Seno y su aceleración en Coseno.

9. Decidir entre el uso del Seno o el Coseno para expresar
la elongación, depende del instante en que se comienza a
contar una oscilación completa: si es desde el punto de
equilibrio (como en la ilustración) es un grafica
senosoidal, y si se inicia desde algún punto de retorno, la
grafica es del tipo cosenoidal.
En todo caso, cualquier forma de la gráfica describirá el
Movimiento Armónico Simple de la partícula y sus
propiedades particulares, ya que ambas formas son
validas.

10. FUERZA
RECUPERADORA
Es la fuerza que tiende a llevar
la partícula a su punto de
equilibrio. Su formula es:
La fuerza recuperadora posee las mismas
características de la aceleración: Es mayor
mientras mas lejos se encuentre la partícula del
punto de equilibrio, siendo máxima en los
puntos de retorno (FR= m x A x w2) y mínima en
el punto de equilibrio (FR=0)

11. Como la Energía Total (E) del sistema es
la suma de las energías cinéticas (k) y
potencial (Ue), se tiene que:
Mientras la partícula oscila, esta posee
Energía Cinética (k) en forma de
movimiento y Energía Potencial Elástica
(Ue) con respecto al punto de equilibrio:
CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA

12. CASOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1. Masa suspendida en un resorte Un extremo de un resorte es
atado a una masa y el otro extremo a un punto fijo. La masa
se puede disponer horizontalmente (en una superficie libre
de fricción) pero también verticalmente desde una viga. Si
‘’m’’ es la masa de la partícula y ‘’k’’ es la constante de
elasticidad del resorte, entonces el periodo ‘’T’’ del MAS es:
2. Péndulo Simple El péndulo simple es
una masa sujeta a una cuerda o cable
que oscila desde un punto fijo con un
ángulo pequeño (<15°). Si ‘’L’’ es la
longitud de su cuerda y ‘’g’’ es la
aceleración gravitacional, la formula de
su periodo ‘’T’’ de oscilación es:
Leyes del péndulo:
El periodo del péndulo simple es:
1) Directamente proporcional a la
raíz cuadrada de su longitud.
2) Inversamente proporcional a la
raíz cuadrada de la aceleración
gravitacional.
3) Independiente de la masa del
péndulo.
4) Independiente de la amplitud
mientras sea pequeña.
Formula de la Fuerza
Recuperadora
en un péndulo simple

13. AHORA PUEDES
RESOLVER
ALGUNOS
PROBLEMAS