Solución de la Primera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2006 - 1S FIEC - ESPOL

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
Profesor: ING. ALBERTO TAMA FRANCO
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 04 de julio del 2006
Alumno: _____________________________________________________________________________
Primer Tema:
Un capacitor de placas planas paralelas de superficie S y de distancia entre placas d , se
encuentra conectado a una diferencia de potencial V , tal como se muestra en la figura. El
espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos de permitividades 1 y  2 . Calcular:
a) Los valores d1 y d 2 para que la diferencia de potencial que soporta cada dieléctrico
sea la misma.
b) Las densidades superficiales de carga de polarización en la frontera dieléctrico-
dieléctrico.
y
d
1 2
x
d1 d2
V
 
Sean V1 y V2 : la diferencia de potencial en los materiales dieléctricos de permitividades 1
y  2 respectivamente. A partir del enunciado del problema y del esquema mostrado en la
figura, se tiene lo siguiente:
V
V1  V2  
2
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2006 – 1S

2. d  d1  d 2 
Adicionalmente se conoce la existencia de las siguientes relaciones:
 
E1   E2   V1  E1 d1  y V2  E 2 d 2 
1 2
Combinando , , ,  y , se obtiene que:
V   2
 d1  d 2  d2  d1 
2 1 2 1
d
Reemplazando  en , se obtiene que: d1  , por lo cual:
2
1
1
 1   2 
d1   d y d1   d
 1   2   1   2 
V V
En virtud de que E1  y E2  , se obtiene lo siguiente:
2d1 2d 2
V
P1  0  x  d1    1   o  x
2d1
V
P2  d1  x  d 2     2   o  x
2d 2
V
 P1  x  d1    P1  0  x  d1  x  d   1   o 
1 2d1
V
 P2  x  d1    P2  d1  x  d 2  x  d     2   o 
1 2d 2
V V
 P12  x  d1    1   o    2   o 
2d1 2d 2
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3. Segundo Tema:
Un sistema trifásico  3  , donde la distancia entre las líneas es d , la carga en la línea a
es q , en la línea b es  q / 2 . Determinar la distancia x donde el campo eléctrico
originado por el sistema es igual a cero.
d d
Ea
x Eb
Ec
a
b
c
E a  Eb  E c
q q/2 q/2
 
2 o  2d  x  l 2 o  d  x  l 2 o xl
1 1 1
 
 2d  x  2  d  x  2 x
1 x  d  x d  2x
 
 2d  x  2 x  d  x  2 x  d  x 
2 x  d  x    2d  x  d  2 x 
2 xd  2 x 2  2d 2  dx  4dx  2 x 2  2d 2  3dx  0
2
d  2d  3 x   0  d  0  solución inadmisible  , x   d
3
2
La solución de que x   d , significa que la ubicación donde el campo eléctrico es cero
3
es un punto ubicado entre las líneas b y c .
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4. Tercer Tema:
Un cable coaxial tiene entre sus conductores un dieléctrico con una capacidad de ruptura
(intensidad eléctrica) Kd V/m  y una permitividad  . Determinar: a) la capacitancia del
cable coaxial, b) el voltaje máximo que se puede aplicar a dicho cable coaxial sin
sobrepasar el 50% de la capacidad de ruptura del dieléctrico, y, c) la densidad superficial
de carga libre en el conductor exterior cuando se tiene el voltaje máximo (calculado en b).
b
Vo
a

QNETA   a  r  b   Q  r  a    D  a  r  b   dS

D  a  r  b  2 rl  Q  r  a 
Q r  a D a  r  b Q r  a 
D a  r  b   E a  r  b  
2 rl  2 rl
b b
Q r  a
Vo    E  a  r  b  dl cos 180   
o
 dr  cos 180o
a a
2 rl
a
Q r  a Q r  a
Vo     dr  cos 180o  ln  b/a 
b
2 rl 2 l
Q r  a 2 l
C  C
Vo ln  b/a 
VO
E a  r  b 
r ln  b/a 
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5. El valor máximo de campo eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
menor, es decir en r  a , por lo tanto:
VO
 0.5 Kd  Vo  0.5 aKd ln  b/a 
a ln  b/a 
Para la polaridad indicada en el gráfico, se tendría lo siguiente:
Dsale  Dhinca   libre
 Vo
 libre  r  b   0  Dhinca   D  a  r  b  r b  
r ln  b / a  r b
 Vo  0.5 aKd ln  b/a 
 libre  r  b    
b ln  b / a  b ln  b / a 
0.5 a Kd
 libre  r  b   
b
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