APLICACIONES DEL CÁLCULO DE DIFERENCIALES, APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES DE ERRORES

1. CÁLCULO INTEGRAL
ACTIVIDAD DE CIERRE
APLICACIÓN DEL CÁLCULO DE DIFERENCIALES,
APROXIMACIONES Y ESTIMACIÓN DE ERRORES.
VÁZQUEZ PRIETO ALEJANDRA

2. “DIFERENCIALES, APROXIMACIONES Y
ESTIMACIÓN DE ERRORES”
COMENZAREMOS CON UNA PEQUEÑA INTRODUCCIÓN SOBRE ESTOS TRES TEMAS:
CUANDO MENCIONAMOS “DIFERENCIALES”, “APROXIMACIONES” O “ESTIMACIÓN DE
ERRORES” LO DEBEMOS RELACIONAR CON “EL INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN” YA
QUE ES EN LO QUE FUNDAMENTALMENTE SE BASAN ESTOS MÉTODOS PARA
RESOLVER ALGÚN PROBLEMA, YA SEA CUANDO LO APLICAMOS EN SITUACIONES
ECONÓMICAS, EN PORCIONES DE INGREDIENTES PARA PREPARAR ALGÚN
PLATILLO, EN LA PRODUCCIÓN QUE TENDRÁ UNA FABRICA, LA TEMPERATURA QUE
HABRÁ EN UNA REGIÓN, EN EL TIEMPO QUE TARDA UNA PERSONA PARA SER
ATENDIDA, ENTRE MUCHOS OTROS EJEMPLOS.
A CONTINUACIÓN SE MOSTRARÁN ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS:

3. APLICACIÓN EN DIFERENCIALES
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0) ≈ ∆𝑦 𝑓´ 𝑥0 𝑑𝑥 ≈ 𝑑𝑦
INCREMENTO REAL INCREMENTO APROXIMADO
• SE DESAEA EMPAQUETAR UN REGALO EN UNA
CAJA EN FORMA DE CUBO. OBTENER EL VALOR
APROXIMADO DEL CUBO, CUYOS LADOS MIDEN
2 MTS, CONSIDERANDO UN AUMENTO DE
0.003 MTS. POR LADO.
𝑑𝑉
𝐿 = 2𝑚
𝑑𝐿 = ∆𝐿 = 0.003 𝑚
𝑉 = 𝐿3
𝑉 𝐿 = 𝐿3
DERIVANDO:
𝑉´(𝐿) = 3𝐿3
DIFERENCIAL:
𝑑𝑉 = 3𝐿3
. 𝑑𝐿
EVALUANDO:
𝑑𝑉 = 3 2 2
(0.003)
𝑑𝑉 = 0.036 𝑚3
EL INCREMENTO EN EL VOLUMEN DEL CUBO ES
DE: 0.036 𝑚3

5. APLICACIÓN EN APROXIMACIONES
𝑓´ 𝑥0 𝑑𝑥 ≈ 𝑑𝑦
∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦
• SE DESEA CALCULAR UNA APROXIMACIÓN DEL
INCREMENTO QUE TIENE EL VOLUMEN DE UN BALÓN
DE FUTBOL (ESFERA) CUANDO SU RADIO CUYA
LONGITUD ES DE 3 CM Y SUFRE UN AUMENTO DE
0.1 CM.
𝑟 = 3 𝑐𝑚.
𝑑𝑟 = 0.1 𝑐𝑚.
∆𝑉 = 𝑑𝑉 = 𝐼𝑁𝐶𝑅𝐸𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁
∆𝑟 = 𝑑𝑟 = 𝐼𝑁𝐶𝑅𝐸𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝑅𝐴𝐷𝐼𝑂
FORMULA DE UNA ESFERA:
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
𝑉´ 𝑟 =
4
3
𝜋. 3𝑟2
𝑉´ 𝑟 = 4𝜋. 𝑟2
𝑑𝑉 = 𝑉´ 𝑟 . ∆𝑟
𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2
. 𝑑𝑟
𝐸𝑉𝐴𝐿𝑈𝐴𝑁𝐷𝑂 𝐶𝑂𝑁 𝑑𝑟 = 0.1 𝑐𝑚
𝑟 = 3
𝑑𝑟 = 4(3)2
(3.1416)(0.1)
∴ 𝑑𝑟 = 11.3097 𝑐𝑚3

6. APLICACIÓN EN ESTIMACIÓN DE ERRORES
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
• LA ARISTA DE UNA PECERA CUBICA MIDE 11.4 CM CON
UN POSIBLE ERROR DE 0.005 CM. DETERMINA EL
VOLUMEN DE LA PECERA Y PROPORCIONA UNA
ESTIMACIÓN DEL POSIBLE ERROR.
SOLUCIÓN:
EL VOLUMEN DE UNA PECERA CUBICA: V 𝐿 = 𝐿3
𝐿 = 11.4 𝑐𝑚, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑉 11.4 = 11.43
= 1481.544 𝑐𝑚3
EL VALOR PROPAGADO QUE TENDRÁ EL CÁLCULO DEL
VOLUMEN DE LA PECERA LO PODEMOS APROXIMAR
CALCULANDO EL DIFERENCIAL DE LA FUNCIÓN.
𝑑𝑉 = 3𝐿2
𝑑𝐿
SI EVALUAMOS PARA 𝐿 = 11.4 𝑐𝑚 𝑦 𝑑𝐿 = 0.005 𝑐𝑚, ES
DECIR:
𝑑𝑉 = 3(11.4 𝑐𝑚)2
0.005𝑐𝑚 = 1.9494 𝑐𝑚3
DE ESTA MANERA EL ERROR RELATIVO QUE
TENDRÁ LA MEDICIÓN DEL VOLUMEN DE LA
PECERA SERÁ DE:
∆𝑉
𝑉
≈
𝑑𝑉
𝑉
≈
1.9494
1481.544
≈ 0.001315
REPRESENTADO EN TERMINOS DE PORCENTAJES
ES 0.13%

7. DESCRIPCIÓN DE LA IMPORTANCIA DEL
CÁLCULO INTEGRAL EN LA VIDA COTIDIANA
• POR LO ANTERIOR PUEDO CONCLUIR QUE EL CÁLCULO INTEGRAL ES DE VITAL
IMPORTANCIA EN NUESTRA VIDA COTIDIANA AUNQUE A VECES NO NOS DAMOS
CUENTA DE ELLO, PERO PARA CALCULAR INGREDIENTES DE COMIDA, LA
TEMPERATURA DE ALGÚN LUGAR, EL INCREMENTO DE VENTAS, EL INCREMENTO
ECONÓMICO, EL INCREMENTO DE PRODUCCIÓN EN UNA EMPRESA,
ESTIMACIONES DE ERRORES, ENTRE OTROS MUCHOS EJEMPLOS.