Valores de funciones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.

1. TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (lado
mayor) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
𝑐2
=𝑎2
+ 𝑏2
b
a
c
Evaluar funciones trigonométricas usando el siguiente triangulo rectángulo para hallar los valores de las seis funciones
trigonométricas de 𝛼.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2
= (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜)2
+(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)2
, se tiene que:
ℎ𝑖𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2 → aplicando raíz cuadrada a los dos miembros de la ecuación.
ℎ𝑖𝑝 = 42 + 32 → sustituyendo valores.
ℎ𝑖𝑝 = 25 → sumando sus cuadrados y extrayendo raíz cuadrada.
ℎ𝑖𝑝 = 5
Por lo tanto las seis funciones trigonométrica de 𝛼 son:
4
3
sin 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
4
5
csc 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
5
4
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
3
5
sec 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
5
3
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
4
3
cot 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
3
4
𝛼

2. Hallar funciones trigonométricas de 30º, 60º y 45º.
Considerando un triángulo equilátero con lados de longitud 2. La mediana
de un vértice al lado opuesto biseca el ángulo en ese vértice, como se
muestra en la figura de la derecha.
Por el teorema de Pitágoras, el lado opuesto a 60º en el triángulo
rectángulo sombreado tiene longitud 3. Usando las fórmulas para las
funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo
rectángulo, obtenemos los valores correspondientes a 30º y 60º de la
siguiente manera:
2
3
230º
60º
11
Ángulo de 30º Ángulo de 60º
sin 30° =
1
2
csc30° =
2
1
= 2 sin 60° =
3
2
csc 60° =
2
3
=
2 3
3
cos 30° =
3
2
sec 30° =
2
3
=
2 3
3
cos 60° =
1
2
sec 60° =
2
1
= 2
tan 30° =
1
3
=
3
3
cot 30° =
3
3
=
3 3
3
= 3 tan 60° =
3
1
= 3 cot 60° =
1
3
=
3
3
Para hallar los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo de 45º,
podemos considerar un triángulo isósceles cuyos lados iguales tienen longitud 1,
como se muestra en la figura de la derecha.
Por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es 2 y por lo tanto los
valores correspondientes para 45º son los siguientes:
sin 𝟒𝟓° =
𝟏
𝟐
=
𝟐
𝟐
cos 45° =
1
2
=
2
2
tan 45° =
1
1
= 1
csc 𝟒𝟓° =
𝟐
𝟐
=
𝟐 𝟐
𝟐
= 𝟐 sec 45° =
2
2
=
𝟐 𝟐
𝟐
= 𝟐 cot 45° =
1
1
= 1
1
1
2
45°
45°