ejercicio cuarto

1.  Cuarto ejercicio, número 57 de la página 967:
El área de un triángulo debe calcularse a partir de la fórmula 𝐴 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃,
donde a y b son las longitudes de dos lados y 𝜃 es el ángulo comprendido entre
ellos. Suponga que a, b y 𝜃 se miden y son 40 pies, 50 pies y 30°
respectivamente. Utilice diferenciales para aproximar el error máximo en el
valor calculado de A, si los errores máximos de a, b y 𝜃 son
1
2
pie,
1
4
pie y 2°
respectivamente.
Datos:
Mediciones primarias:
 𝑎 = 40 𝑝𝑖𝑒𝑠
 𝑏 = 50 𝑝𝑖𝑒𝑠
 𝜃 = 30° <>
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
Errores máximos:
 𝑑𝑎 =
1
2
𝑝𝑖𝑒
 𝑑𝑏 =
1
4
𝑝𝑖𝑒
 𝑑𝜃 = 2° <>
𝜋
90
𝑟𝑎𝑑
 𝐷𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝐴 = 𝑓(𝑎; 𝑏: 𝜃) =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃
Diferencial total:
 𝑑𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝑎
𝑑𝑎 +
𝜕𝐴
𝜕𝑏
𝑑𝑏 +
𝜕𝐴
𝜕𝜃
𝑑𝜃
Pasos a seguir para la solución del ejercicio.
1.-Calculamos las derivadas parciales:
 Reemplazamos A por la formula dada como dato.

𝜕𝐴
𝜕𝑎
=
𝜕(
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝑎
=
1
2
𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕𝐴
𝜕𝑏
=
𝜕(
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝑏
=
1
2
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕𝐴
𝜕𝜃
=
𝜕(
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
=
1
2
𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃

2. 2.- Evaluando (40; 50;
𝜋
6
) en las derivadas parciales obtenidas.

𝜕𝐴
𝜕𝑎
(40; 50;
𝜋
6
) =
1
2
(50)𝑠𝑒𝑛(
𝜋
6
) = 12.5

𝜕𝐴
𝜕𝑏
(40; 50;
𝜋
6
) =
1
2
(40)𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
) = 10

𝜕𝐴
𝜕𝜃
(40; 50;
𝜋
6
) =
1
2
(40)(50)cos(
𝜋
6
) = 866.025
3.-Reemplazamos los datos obtenidos en la fórmula de diferencial total.
 𝑑𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝑎
𝑑𝑎 +
𝜕𝐴
𝜕𝑏
𝑑𝑏 +
𝜕𝐴
𝜕𝜃
𝑑𝜃
 𝑑𝐴 = (12.5) (
1
2
) + (10) (
1
4
) + (866.025)(
𝜋
90
) = 38.980
Respuesta:
El valor aproximado del error máximo de A es 38.980 𝑝𝑖𝑒𝑠2
.