SESIÓN DE TRIGONOMETRIA

1. TRIGONOMETRIA Prof. Jorge La Chira
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras:. a2
+ b2
= c2
.
Teorema: . A + B = 90º .
DEFINICIÓN DE LAS R. T. PARA UN ÁNGULO AGUDO
Dado el triángulo ABC, recto en “C”, se establecen las siguientes definiciones:
sen =
Hipotenusa
OpuestoCateto
=
c
a
cos =
Hipotenusa
AdyacenteCateto
=
c
b
tg =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto =
b
a
ctg =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
=
a
b
sec =
AdyacenteCateto
Hipotenusa =
b
c
csc =
OpuestoCateto
Hipotenusa
=
a
c
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Razones Trigonométricas Recíprocas
“Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo,
notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad.
Las parejas de razones trigonométricas recíprocas son entonces:
Seno y Cosecante : .Sen . Csc = 1.
Coseno y Secante : .Cos . Sec = 1. Nótese: “ángulos iguales”
Tangente y Cotangente : .Tg . Ctg = 1.
2. Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios
“Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos, notamos
que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo
sean complementarios”.
Dado . + = 90º.entonces se verifica:
sen = cos
tg = ctg Nótese: “ángulos que suman 90º”
sec = csc
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES
1. Triángulos Rectángulos Notables Exactos
30º y 60º
45º y 45º
2. Triángulos Rectángulos Notables Aproximados
37º y 53º
16º y 74º

2. TRIGONOMETRIA Prof. Jorge La Chira
TABLA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
∢
R.T.
30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º
Sen∢
Cos∢
Tg∢
Ctg∢
Sec∢
Csc∢
DESARROLLA:
1.Calcular
º45sec.2º37cos.10
º60.3º30. tgsen
F
2. Para evaluar: = 10º,Si
2
9
cot6sec.3tg
2
9
csc.6cos.3sen
F
3. Si ABCD es un cuadrado calcular
“tg ”
4. En la figura mostrada “0” es el
centro del cuadrante A0B; hallar “ctg ”
NIVEL I
5.Si: cos =
10
10
y 0º< < 90º
Calcular: L = csc – ctg
Rpta.
3
110
6. En un triángulo rectángulo
ABC (recto en “C”) reducir: H =
(tgB + ctgB)2
– (ctgA–tgA)2
Rpta. 4
7. El lado menor de un triángulo
rectángulo ABC mide 14m y cosA
= 0.96. Calcular el perímetro y
área de dicha región triangular
Rpta. 112m y 336 m2
8. Siendo “ ”, “ ” y “ ” las medidas
de 3 ángulos agudos que verifican el
siguiente sistema de ecuaciones
Cos( + ) = sen20º
Csc( – ) = sec40º
Ctg( – ) = tg80º
Luego uno de ellos será
Rpta. 55º
NIVEL II
9. Del gráfico; Hallar:
tg
ctg
W
Rpta.
4
1
10. De la figura, hallar: “
2
ctg ”
Rpta.
5
6
11. A partir de la figura mostrada,
calcular:
N = tg + tg
Rpta. 18
12. Hallar la medida del ángulo agudo
“x” en:
cos3x . tg2x. sen4x .ctg2x .sec3x
.csc(60º – x) = 1
Rpta. 12º
Calcular:
º72.º18
º36sec.º54.9º36cos.4
ctgctg
sen
H
Rpta. 13
13. Calcular:
33
22
g43
4
cos.
4
Sen.º53tg.º37tg
50csc.2
3
sec
6
ctg.
3
3
B
Rpta. 3
2
14.En el triángulo rectángulo ABC. Si:
2AD = CD, Hallar: “Ctg2
”.
Rpta.
3
4

3. TRIGONOMETRIA Prof. Jorge La Chira
Soluciones
1. Calcular
º45sec.2º37cos.10
º60.3º30. tgsen
F
Resolución Según la tabla mostrada
2.2
5
4
.10
3.3
2
1
.4
F
10
5
28
32
F .
2
1
F .
2. Sea
2
9
cot6sec.3tg
2
9
csc.6cos.3sen
F Para evaluar: = 10º
Resolución
Reemplazando = 10º en F( ), tenemos:
º45cotº60sec.º30tg
º45csc.º60cos.º30sen
º10F
Reemplazando sus valores notables tenemos
1.2.
3
3
2.
2
1
.
2
1
º10F
38
23
3
32
4
2
º10F .
8
6
º10F .
3. Si ABCD es un cuadrado calcular “tg ”
Resolución
Cuando “ ” no está en un triángulo rectángulo: Luego,
efectuaremos trazos de modo que “ ” y 53º estén en
un triángulo rectángulo.
De la figura:
T.R. PMD: Notable de 37º y 53º.
Luego suponemos que DP = 5k
Como: DP = BC = 5K
Luego el lado del cuadrado mide 5K
Sumando .PH + MD = AD.
PH + 3K = 5K
PH = 2K
Sumando .PM + HB = AB.
4K + HB = 5K
HB = K
Finalmente: .tg . =
K
K
HB
PH 2
= .2.
4. En la figura mostrada “0” es el centro
del cuadrante A0B; hallar “ctg ”
Resolución
Construimos un triángulo rectángulo OPH.
Luego aplicando teorema de Pitágoras
32x
En la figura inicial trazamos QE PH
332PE
2QE
.ctg . =
QE
PE
= .
2
332
.