Deflexion en vigas 2

U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 111
TEMA 5: DEFORMACIÓN EN VIGAS
5.1.-CONTENIDOS CURRICULARES.
OBJETIVO DIDÁCTICO: CALCULAR LA DEFLEXIÓN Y PENDIENTES EN VIGAS SOMETIDAS A CARGA TRANSVERSAL
CONTENIDOS CURRICULARES
CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES
 Ecuación diferencial
de la elástica
 Método de doble
integración
 Método de área de
momento
 Método de
superposición
 Vigas hiperestáticas
 Definición de deflexión y pendientes en vigas
 Diferenciación entre los métodos para el cálculo de
deflexiones y pendientes en vigas
 Definición de curva elástica
 Elaboración del diagrama de deformación
 Definición de los métodos: doble integración, área de
momento y superposición
 Cálculo de pendientes y deflexiones en vigas
 Cálculo de reacciones en vigas hiperestáticas
 Cooperación en la
resolución de ejercicios
prácticos en clase.
 Actitud crítica ante las
soluciones encontradas
al resolver un
problema
(Machado, Raúl 2006)
5.2.- INTRODUCCIÓN.
El presente tema tiene como finalidad el estudio el comportamiento de la Deformación en Vigas. Se estudiaran
tres métodos para el cálculo de la deflexión y la pendiente de una viga, estos son el método de la doble
integración, método del área de momentos y el método de la superposición. Cada uno de ellos ofrece ventajas
y desventajas, y la decisión de que método va a ser utilizado depende de la naturaleza del problema.
El método de la doble integración es el más general y se puede utilizar para resolver casi cualquier combinación
de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas. Su uso requiere la capacidad de
escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante y de derivar las ecuaciones
de la pendiente y la deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de la doble integración
produce ecuaciones para la pendiente y la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del
punto de máxima deflexión.
El método del área de momento es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular las
deflexiones de solo o unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del
principio de momentos y de las técnicas de preparar diagramas de momento flexionante.
El método de superposición, consiste en determinar por separado la pendiente y deflexión causadas por
diferentes cargas aplicadas a la viga, y luego sumarlas usa formulas estándar para la viga. Este método es fácil
de usar si se usan un conjunto de formulas que están tabuladas en todos los libros de resistencia de materiales,
que muestra las pendiente y las deflexiones de las vigas para diversas cargas y tipos de apoyo.
También en este tema se estudian las vigas estáticamente indeterminadas, es decir apoyadas de tal manera
que las reacciones en los apoyos introducen cuatro o más incógnitas. Como solo hay tres ecuaciones de
equilibrio, estas deben completarse con ecuaciones deducidas de las condiciones límite impuestas por los
apoyos.

TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.
5.3.-DEFLEXION EN VIGAS.
En el diseño de los elementos de máquina, frecuentemente se requiere la determinación de la deflexión,
ya sea la deflexión máxima o la deflexión en un punto en particular. Hay dos razones importantes por las
cuales puede ser necesario un conocimiento de la deflexión de una viga. La primera es simplemente para
poder predecir, la deflexión de una viga bajo carga. En elementos de maquinas, las especificaciones y
otros requisitos limitan, a menudo, la deflexión que puede tolerarse. Por ejemplo, si los componentes de
una maquina experimentan deflexiones excesivas o diferenciales, los engranes pueden volverse
inoperantes o pueden desalinearse los componentes. Si se pueden predecir las deflexiones para las cuales
las partes sometidas a flexión, pueden especificarse tolerancias adecuadas en el diseño de elementos de
máquinas.
Una segunda, y posiblemente aún más significativa razón para calcular las deflexiones, es que para la
solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características
giratorias.
ELÁSTICA DE UNA VIGA: es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga. Una línea que
muestre la forma flexionada de una viga sometida a carga es la elástica de la viga.
PENDIENTE DE UNA VIGA: se define como la pendiente de la tangente a la elástica en un punto
cualquiera.
DEFLEXION DE UNA VIGA: es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica, con
respecto a su posición original sin carga.
DIAGRAMAS DE UNA VIGA.
Figura 5-1. Cinco diagramas de una viga
Fuente: Resistencia de Materiales Aplicada. Robert Mott.

Hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas. Este tema presenta tres de los
más comunes:
 El método de la doble integración para hallar la ecuación de la curva elástica de la viga.
 El método del área de momentos.
 El método de superposición usando las formulas estándar para vigas.

5.4.- MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN.
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente,
elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente
exagerada en la figura 5-2. En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva y cómo calcular el
desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x.
Tenemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin
deformar y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que
no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada.
En consecuencia la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy
pequeña. El valor de esta pendiente, tan θ = dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a θ. Por
consiguiente:
Considerando la variación de θ en una longitud diferencial ds, producida por la deflexión de la viga, es
evidente que:
Siendo ρ el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica es casi recta, ds es
prácticamente igual a dx. En estas condiciones, de las ecuaciones (5-2) y (5-3) se obtiene:
Al deducir la formula de la deflexión en el tema anterior se obtuvo la relación :

Figura 5-2. Vista lateral de la superficie neutra de una viga.
Fuente: Resistencia de Materiales. Singer &Pytel
Po lo tanto, igualando los valores 1/ρ de las ecuaciones (d) y (5-5) resulta:
Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión,
es normalmente constante a lo largo de la viga.
Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente y dx por ds, no tienen influencias apreciables en la
exactitud de la ecuación (5-6) y sustituyendo 1/ρ por su valor exacto, junto con la ecuación (5-5), se
tendría:
Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es despreciable frente a la unidad por lo que
se puede escribir:
La cual coincide con la ecuación (5-6).
Integrando la ecuación (5-6), suponiendo EI constante, resulta:
Que es la ecuación de la pendiente y que permite determinar el valor de la misma o dy/dx en cualquier
punto. Conviene observar que en esta ecuación M no es un valor del momento sino la ecuación del
momento flexionante en función de x, y C1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo.
Integrando nuevamente la ecuación (5-7):
Que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier
valor de x. C2 es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la
viga.

Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momentos también tendrá la
variación correspondiente. Esto requería una ecuación de momento entre cada dos puntos sucesivos de
discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas
repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramos, por consiguiente dos contantes para
cada tramo también. La determinación de estas constantes se hace muy laboriosa y se está expuesto a
errores. Afortunadamente estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de
momentos válida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.
EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.1.
El presente ejercicio ilustra, de una manera didáctica, la deducción de la ecuación de momento para toda
la viga, la cual se sustituirá en la ecuación diferencial de la elástica de una viga.
La deducción de esta ecuación se realizará mediante la resolución del siguiente ejercicio:
Se tiene la siguiente viga cargada
Figura 5-3. Viga con cargas externas
Fuente: Resistencia de Materiales. Singer & Pytel
Aplicando la definición M = (∑M)izq, se deduce que la ecuaciones de los momentos entre cada dos puntos
de discontinuidad de carga son:
Obsérvese que la ecuación para el tramo CD también es válida en los otros dos, AB y CD, si los términos
(x-2) y (x-3)2
no se tienen en cuenta para valores de x menores que 2 y 3, respectivamente. En otras
palabras, los términos (x-2) y (x-3)2
no tienen existencia para valores de x que hagan negativo al
paréntesis.
Como indicación de este convencionalismo vamos a adoptar la notación con paréntesis angulares < >
para que estos términos, en vez de los paréntesis normales. Con este cambio de notación se obtiene la
única ecuación de momentos siguiente:
Válida para toda la viga.

Se tiene la siguiente viga:
Figura 5-4. Procedimiento para establecer la continuidad de las cargas.
En la cual la carga distribuida se extiende solamente en el segmento BC. Se puede crear, sin embargo,
una continuidad suponiendo que la carga distribuida se extiende desde B hasta E y añadiendo una carga
igual y opuesta, que la anule a partir de C, como se indica en la figura 5-4b. la ecuación general de
momentos, escrita para el tramo DE y según la notación anterior es:
En donde los términos entre paréntesis angulares no tienen existencia para valores de x que hagan
negativos a los paréntesis, no a su exponente. Obsérvese como todas las cargas quedan
automáticamente incluidas en la ecuación de momentos al escribir ésta para el último tramo de la
derecha de la viga.
Una carga concentrada de 300 N está apoyada como se indica en la figura 6-5. Determinar las ecuaciones
de la elástica y la máxima deflexión en la viga.
Figura 5-5. Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Solución:
Escribiendo la ecuación general de momentos para el último tramo BC de la viga, aplicando la ecuación
diferencial de la elástica e integrando dos veces, se obtienen las siguientes expresiones para la pendiente
y ordenadas:
(a)
(b)
(c)
Para determinar las dos contantes de integración, que son físicamente iguales a la pendiente y a la
ordenada en el origen, se aplican las condiciones de frontera siguiente:
1. En A, para x = 0, la ordenada y = 0. Sustituyendo estos valores en la ecuación (c) se obtienen C2 = 0.
Recordemos que no existe para valores de x menores que 2, que harían negativo el paréntesis.
2. En el otro apoyo, para x = 3, la ordenada también es nula. Conocido C2 = 0 y sustituyendo en la
expresión (c), se obtiene:
Determinadas las constantes de integración y sustituidos los valores en (b) y (c), se pueden escribir las
expresiones de la pendiente y de la ordenada de la elástica en su forma convencional.
Tramo AB (0 ≤ x ≤ 2)
(d)
(e)
Tramo BC (2 ≤ x ≤ 3)
(f)
(g)
Calculemos ahora la máxima deflexión para lo cual se supone que se encuentra en el tramo AB. Su
posición se puede determinar derivando la ecuación (e) respecto de x e igualando a cero esta derivada, o
bien, igualando a cero la expresión (d) de la pendiente, es decir, hallando el punto de pendiente nula. Por
tanto,
Puesto que este valor de x pertenece al tramo AB se confirma la hipótesis de que la máxima deflexión
ocurre en este tramo. Ahora para obtener su valor, se sustituye x = 1.63 en la ecuación (e), lo que da:
El valor negativo indica que la ordenada y está por debajo del eje X. Con frecuencia solo interesa el valor
de la deflexión, sin indicación de signo y entonces se representa por δ, reservando la y para las ordenadas.
El producto EIy se expresa en N.m3
, ya que proviene de la doble integración de la ecuación (5-6), en la que

M se expresa en N.m. La primera integración da N.m2
, como unidades de EIθ correspondiente a la
pendiente, y la segunda integración da N.m3
.
Expresando E en N/m2
e I en m4
, se obtiene y en m. Por ejemplo, si E = 10 x 109
N/m2
e I = 1.5 x 106
mm4
= 1.5 x 10-6
m4
, el valor de y es:
En donde:
Hallar el valor de EIy en el punto medio entre apoyos y en el extremo volado de la viga de la figura 5-6.
Figura 5-6. Diagrama de cuerpo libre de la viga.
Solución:
Es la misma viga de la figura 5-5 para la que ya se había escrito la ecuación general de momentos ecuación
(h) de la sección 5-4. Aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces resulta:
Para determinar C2 observemos que para x = 0, y = 0, lo que da C2 = 0. No se tiene en cuenta los
términos entre paréntesis angulares sino negativos. Aplicando la otra condición de apoyo, para x = 6, y =
0,resulta:
Análogamente, en la ecuación del tramo DE en la que se tienen en cuenta todos los términos, se hace x =
8, con lo que el valor de la ordenada en el extremo es

5.5.- METODO DEL ÁREA DE MOMENTOS.
En este método interviene el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza,
en primer lugar, por los dos teoremas básicos de este método, luego, una vez calculadas las áreas y los
momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El
método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos
determinados, más que para hallar la ecuación la ecuación general de la elástica, no se pierde el
significado físico de lo que se está calculando.
A continuación se enuncian los dos teoremas básicos para el método del área de momentos:
Teorema I: “La desviación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos
puntos cualquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes
entre estos dos puntos”. Matemáticamente se puede expresar así:
Teorema II: “La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la
elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto
de 1/EI por el momento con respecto a B del área de la porción del diagrama de momentos entre los
puntos A y B”. Matemáticamente se expresa así:
Figura 5-7. Ilustración de los dos teoremas del método del área de momentos.
Fuente: Resistencia de Materiales Aplicada. Robert Mott.

EJERCICIO IUSTRATIVO 5.5.
Determine la pendiente y deflexión en el extremo B de la viga prismática volada AB cuando está cargada
como se indica (figura 5-8) si se sabe que la rigidez de flexión de la viga es EI = 10 MN. m2
.
Figura 5-8. Viga prismática en voladizo
Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston.
Solución:
Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 5-9a) al sumar las componentes verticales
y los momentos respecto a A, se encuentra que la reacción en el extremo fijo A consta de una
componente d fuerza vertical RA de 50 kN y un par MA de 60 kN .m en sentido contrario de la agujas del
reloj. En seguida, se dibuja el diagrama de momento flector (figura 5-8b) y se determina a partir de
triángulos semejantes, la distancia xD del extremo A al punto D de la viga, donde M = 0.
Figura 5-9. Diagrama de cuerpo libre y diagrama de momento flector de Viga prismática en voladizo
Dividiendo la rigidez a flexión EI se obtienen los valores obtenidos para M, se dibuja el diagrama (M/EI)
(figura 5-10) y se calculan las áreas que corresponden, respectivamente, a los segmentos AD y DB,
asignándose signo positivo al área localizada arriba del eje x y signo negativo a la ubicada debajo de dicho
eje. Usando el primer teorema de momento de área se tiene:

Figura 5-10. Diagrama de momento flector de Viga prismática en voladizo
Y como θA = 0
Ahora, con el segundo teorema de momento de área se escribe la desviación tangencial tA/B es igual al
primer momento respecto a un eje vertical que asa por B del área total entre A y B. Expresando el
momento de cada área parcial como el producto de dicha área con la distancia de su centroide al eje que
pasa por B, se tiene:
Como la tangente de referencia es A es horizontal, la deflexión en B es igual a tA/B y se tiene que:
En la figura 5-11 se ha bosquejado la viga una vez deflectada
Figura 5-11. Diagrama de cuerpo libre de Viga prismática en voladizo

Los travesaños prismáticos AD y DB se encuentran soldados entre sí para formar la viga volada ADB. Si se
sabe que la rigidez a flexión es EI en el tramo AD de la viga y 2EI en el tramo DB, determine, para la carga
que se muestra en a figura, la pendiente y la deflexión en el extremo A.
Figura 5-12. Viga prismática en voladizo
Solución:
Diagrama (M/EI): Primero se dibuja el diagrama de momento flector para la viga y después se obtiene el
diagrama (M/EI) dividiendo el valor de M en cada punto de la viga entre el valor correspondiente de
rigidez a flexión.
Tangente de referencia: Se elige la tangente horizontal en el extremo fijo B como la tangente de
referencia. Como θB = 0 y yB = 0, queda:
Figura 5-13.
Pendiente en A: Al dividir el diagrama (M/EI) en las tres pares que se muestran, se tiene:
Al usar el primer teorema de momento de área queda:

Deflexión en A: Con el segundo teorema de momento de área, se tiene:
Para la viga prismática y la carga que se muestra en la figura, determine la pendiente y la deflexión en el
extremo E.
Figura 5-14.
Solución:
Diagrama (M/EI): Del diagrama de cuerpo libre de la viga, se determinan las reacciones y después se
dibujan los diagramas de momento cortante y flector. Como la rigidez a flexión de la viga es constante, se
divide cada valor de M entre EI y se obtiene el diagrama (M/EI) que se muestra.
Tangente referencial: Como la viga y su carga con simétrica respecto al punto medio C, la tangente en C es
horizontal y se utiliza como tangente de referencia. Al mirar el boceto se observa que como θC = 0,
(1)
(2)
Pendiente en E: Con referencia al diagrama (M/EI) y usando el primer teorema de momento de área, se
tiene que:
Con la ecuación (1) queda:

Deflexión en E: Al emplear el segundo teorema de momento de área, se tiene que:
Al usar la ecuación (2) queda:
5.6.- METODO DE SUPERPOSICIÓN.
Este método determina la pendiente y la deflexión en un punto de una viga por suma de las pendientes o
de las deflexiones producidas, en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando estas actúan por
separado. La única restricción o condición impuesta para poder aplicar este método es que cada carga
aislada no debe producir un cambio apreciable en la forma inicial o en la longitud de la viga, esto es, la
actuación de cada carga no debe influir en la forma de actuar de las demás.
La aplicación del método de superposición presenta notables ventajas, sobre todo cuando las cargas son
una combinación de los tipos que aparecen en la tabla 6.2. Para cargas parcialmente distribuidas, el
método requiere integración. En tales casos, es preferible el método de la doble integración. Si de lo que
se trata es de calcular la deflexión o la pendiente en un punto determinado, lo mejor es el método del
área de momentos.

Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mostradas (figura 5-15), sabiendo que la
rigidez a flexión de la viga es EI = 100 MN.m2
.
Figura 5-15.
Solución:
La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga pueden obtenerse superponiendo las pendientes
y deflexiones causadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga distribuida (figura 5-16)
Figura 5-16.
Como la carga concentrada en la figura 5-16b se aplica a un cuarto del claro, pueden usarse los resultados
obtenidos para la viga y carga del ejemplo 9.03 y escribirse:
Por otra parte, recordando la ecuación de la curva elástica obtenida para la carga uniformemente
distribuida , la defección en la figura 5-16c se expresa como:
Y diferenciado con respecto a x:

Haciendo w = 20 kN/m, x = 2 m, y L = 8 m, en las ecuaciones (b) y (a), se tiene:
Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las cargas concentradas y distribuidas se
obtiene:
Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexión del punto B.
Figura 5-17.
Solución:
Principio de Superposición: La carga puede obtenerse superponiendo las cargas mostradas en la siguiente
“película de ecuación de carga”. La viga AB es, naturalmente la misma en cada parte de la figura.
Figura 5-18.
Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexión en B se determinan usando la tabla de
deflexiones y pendientes de viga.

Carga I
Carga II
En la porción CB el momento flector para la carga II es cero, y por tanto, la curva elástica es una línea
recta.
Pendiente en el Punto B
Deflexión en el Punto B
5.7.- VIGAS HIPERESTÁTICAS.
Todas las vigas que se han estudiado anteriormente han sido estáticamente determinadas. Es decir, todas
las reacciones de la viga pueden determinarse mediante las leyes de la estática solamente.
Para vigas estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), cuando se van a determinar las reacciones en
los apoyos deben emplearse las ecuaciones de equilibrio estático, y también debe procederse con el
cálculo de la pendiente y la deformación en algunos puntos de la viga.
Determine las reacciones en los apoyos para la viga prismática de la figura 5-19a.
Figura 5-19.

Ecuaciones de equilibrio: del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-19b, se tiene:
(a)
Ecuación de la curva elástica: dibujando el diagrama de cuerpo libre de una porción de viga AC (figura 926),
se escribe:
Figura 5-20.
Resolviendo la ecuación (939) para M y llevando este valor a la ecuación (94):
Integrando en x:
Refiriéndose a las condiciones de frontera de la figura 5-21 se hacen x = 0, θ = 0 en la ecuación (d) y se
concluye que C1 = C2 = 0. Así, la ecuación (d) puede formularse de la siguiente manera:

Figura 5-21.
Pero la tercera condición de frontera requiere que y = 0 para x = L. Llevando estos valores a la ecuación (e)
Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente con las tres ecuaciones de equilibrio (a) , se obtienen las
reacciones en los apoyos:
La viga parcialmente en voladizo de acero ABC soporta una carga concentrada P en el extremo C. Para la
porción AB de la viga: a) Obtenga la ecuación de la curva elástica, b) Determine la deflexión máxima, c)
calcule ymax para los siguientes datos:
W 14 X 68 I = 723 in4 E = 29 x 106 psi
P = 50 kips L = 15 ft = 180 in a = 4 ft = 48 in.
Figura 5-22.
Solución:
Diagramas de Cuerpo Libre: Reacciones RA = Pa/L ↓ RB = P(1+a/L)↑. Usando el diagrama de cuerpo libre
de la porción AD de longitud x, se tiene:

Ecuación diferencial de la curva elástica: Se utiliza la ecuación 9.4 y se escribe:
Notando que la rigidez a flexión EI es contante, se integra dos veces:
Determinación de constantes: Para las condiciones de fronteras mostrada, se tiene:
[x = 0, y = 0]: De la ecuación (b), se encuentra C2 = 0
[x = L, y = 0]: Usando nuevamente la ecuación (b), se escribe
a)Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (a) y (b):
b) Deflexión máxima en la porción AB: La deflexión máxima ymax ocurre en E, donde la pendiente de la curva
elástica es cero. Haciendo dy/dx = 0 en la ecuación (c), se determina la abscisa xm del punto E:
Sustituyendo xm/L = 0.577L, en la ecuación (d) se tiene:

c)Evaluación de ymáx: Para los datos dados, el valor de ymáx es:
Para la viga y cargas mostradas, determine: a) La ecuación de la curva elástica, b) La pendiente en el
extremos A, c) La deflexión máxima
Figura 5-23.
Solución:
Ecuación diferencial de la curva elástica: De la ecuación (9.32),
Igualando la ecuación (1) dos veces:
Condiciones de frontera:
[x = 0, M = 0]: De la ecuación (c), se encuentra C2 = 0
[x = L, M = 0]: Usando nuevamente la ecuación (c), se escribe

Así
Integrando dos veces la ecuación (4):
Condiciones de Frontera:
[x = 0, y = 0]: Usando la ecuación (f), se tiene que C4 = 0
[x = L, y = 0]: De la ecuación (f), se halla que C3 = 0
a)Ecuación de la curva elástica
b)Pendiente en el extremo A
Para x = 0
c)Deflexión máxima
Para
Para la viga uniforme AB, determine: a) La reacción en A, b) Obtenga la ecuación de la curva elástica, c) La
pendiente en A (Nótese que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado).
Figura 5-23.

Solución:
Momento flector: Usando el diagrama de cuerpo libre mostrado, se escribe:
Ecuación diferencial de la curva elástica: Se utiliza la ecuación (9.4) y se escribe:
Notando que la rigidez a flexión EI es constante, se integra dos veces y se obtiene:
Condiciones de frontera: En el esquema se muestran las tres condiciones de frontera que deben
satisfacerse
[x = 0, y = 0]: C2 = 0 (c)
[x = L, θ = 0]: (d)
[x = L, y = 0]: (e)
a)Reacción en A: Multiplicando la ecuación (d) por L, restando miembro a miembro la ecuación (e) de la
ecuación obtenida y notando que C2 = 0 se tiene:
Note que la reacción es independiente de E y de I. Sustituyendo
en la ecuación (d), se tiene:
b)Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo RA, C1 y C2 en la ecuación (b):

c)Pendiente en A: Derivando la ecuación anterior con respecto a x:
Haciendo x = 0, se tiene:
5.8.- AUTOEVALUACION.
Instrucciones:
 Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Si no ha entendido algo, no se apresure en el proceso, consulte la teoría
correspondiente.
 Esta herramienta para autoevaluación, está diseñada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema, por lo
tanto cuando esté considerando las preguntas, contéstelas basándose en los fundamentos teóricos.
 No conteste basándose en falsos supuestos teóricos
 Cada tema es progresivo, es decir, irá avanzando y aprovechando lo que aprendió del tema anterior.
 Por último, saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cómo lo podrá aplicar estos conocimientos en
el campo laboral.
1.- ¿A que se llama deflexión de una viga?
2.- ¿Que es la pendiente de una viga?
3.- ¿Cual es el procedimiento para determinar la ecuación de la deflexión y de la pendiente de una viga por
el método de la doble integración?
4.- ¿Cual es el procedimiento para determinar la deflexión y la pendiente de una viga por el método del
área del momento?
5.- ¿Cual es el procedimiento para determinar la deflexión y la pendiente para un punto determinado para
una viga cargada?
6.- ¿Cuál es el procedimiento para determinar las reacciones de una viga hiperestática?

5.9.- RESUMEN DE ECUACIONES.
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN:
ECUACIONES DE LA PENDIENTE:
ECUACION DE LA DEFLEXION:
TEOREMA I DEL METODO DEL AREA DE MOMENTO.
TEOREMA II DEL METODO DEL AREA DE MOMENTO.

Donde:
Deflexion.
Pendiente.
Constantes de integración.
EI: Rigidez a flexion de la viga.
Desviación tangencial de A a B.
Angulo entre las tangentes a la curva elástica
dibujada en dichos puntos.
Centroide del área AB.
Area del diagrama M/EI entre A y B.
5.10.-EJERCICIOS PROPUESTOS.
501 a 504.- Para la carga mostrada en las figuras, determine a) La ecuación de la curva elástica en
voladizo AB, b) La deflexión del extremo libre, c) La pendiente en el extremo libre.
Resp. a) , b) , c) Resp. a) , b) , c)
Resp. a) , b) , c) Resp. a) , b) ,
c)
505.- Para la viga y carga que se muestran en la figura, determine a) La ecuación de la curva
elástica para el tramo AB de la viga, b) La pendiente en A, c) La pendiente en B.
Figura. P-501 Figura P-502

506.- Para la viga y carga que se muestran en la figura, encuentre a) La ecuación de la curva
elástica para el tramo BC de la viga, b) La deflexión en mitad del claro, c) La pendiente en B.
Resp. a) , b) , c)
507.- Para la viga en voladizo y la carga mostrada en la figura, halle a) La ecuación de la curva
elástica para el tramo AB de la viga, b) La deflexión en B, c) La pendiente en B.
508.- Para la viga en voladizo con la carga P que se ilustra, determine a) La ecuación de a curva
elástica para el tramo AC de la viga, b) La pendiente en el extremo B, c) La deflexión en C.
509 y 510.- Para la viga y carga mostradas, a) Exprese la magnitud y ubicación de la máxima
deflexión en términos de ωo, L, E, I, b) Calcule el valor de la deflexión máxima, suponiendo que la
viga AB es de acero laminado W18 x 50 y que ωo = 4.5 kips/ft, L = 18 ft y E = 29 x 106
psi.
Figura. P-507
Figura P-506
Figura. P-508
Figura P-506

Resp. a) , b) Resp. a) , b)
511.- a) Determine la localización y magnitud de la deflexión máxima de la viga AB, b) Suponiendo
que la viga AB es una W360 x 64, L = 3.5 m y E = 200 GPa, Calcule el valor máximo permisible del
momento aplicado Mo si la deflexión máxima no debe exceder de 1 mm.
512.- a) Encuentre la localización y magnitud de la deflexión máxima absoluta en AB entre A y el
centro de la viga, b) Suponiendo que la viga AB es una W460 x 113, Mo = 224 kN.m y E = 200 GPa,
determine la longitud máxima permisible L de la viga si la deflexión no ha de exceder de 1.2 mm.
Resp. a) , b) 6.09 m
513 y 514.- Para la viga y carga mostrada en la figura, determine la deflexión en el Punto C.
Considere E = 200 Gpa.
515.- Si se sabe que a viga AE es una S200 x 27.4 de acero laminado y que P = 17.5 kN, L = 2.5 m y E
= 200 GPa, determine a) La ecuación de la curva elástica para el tramo BD, b) La deflexión en el
centro C de la viga.
Figura. P-511
Figura P-510
Figura. P-512
Figura P-510

Resp. a) , b)
516.- Se aplican cargas uniformemente distribuidas a la viga AE, como se muestra en figura, a)
Seleccionando el eje x como la línea que une los puntos A y E en los extremos de la viga, determine
la ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga, b) Sabiendo que la viga es una W200 x
35.9 de acero laminado y que L = 3 m, w = 5 kN/m y E = 200 GPa, encuentre la distancia del centro
de la viga desde el eje x.
517 y 518.- Halle la reacción en el apoyo deslizante y la deflexión en el punto D, si se sabe que a es
igual a L/3.
Resp. , Resp. ,
519 y 520.- Determine la reacción en A y dibuje el diagrama de momento flector para la viga y
carga que se muestran en las figuras.
Figura. P-515
Figura P-514
Figura. P-516
Figura P-514

521 y 522.- Para la viga y carga mostradas en las figuras, halle a) La ecuación de la curva elástica, b)
La pendiente en el extremo A, c) La deflexión en el punto C.
Resp. 521) a) b) C)
522) a)
–
b) C)
523.- Para la viga y carga representadas, halle a) La deflexión en el extremo A, b) El punto de
deflexión, c) La pendiente en el extremo D.
524.- Para la viga y carga ilustradas, encuentre a) La ecuación de la curva elástica, b) La deflexión
en el punto B, c) La deflexión en el punto C.
Resp. a) , b) , C)
525 y 526.- Para la viga y carga mostradas en la figuras, determine a) La ecuación de la curva
elástica, b) La deflexión en el punto B.
Figura. P-523
Figura P-522
Figura. P-524
Figura P-522

527.- Para la viga y carga representadas en la figura, determine a) La ecuación de la curva elástica,
b) La deflexión en punto A, c) La deflexión en el punto C.
Resp. a) b) C)
528.- Para la viga y carga ilustradas en la figura, encuentre a) La pendiente en A, b) La deflexión en
el punto medio C. Considere E = 29 x 106
psi.
529.- Para la viga y carga que se muestran, halle a) La pendiente en A, b) La deflexión en el punto C.
Considere E = 200GPa.
Resp. a) b)
530.- Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura, determine a) La pendiente en el
extremo A, b) La deflexión en el punto medio C. Considere E = 1.6 x 106
psi.
Figura. P-527
Figura P-526
Figura. P-528
Figura P-526
Figura. P-529
Figura P-526

531.- Para la viga y carga que se ilustran en la figura, determine a) La pendiente en el extremo A, b)
La deflexión en el punto medio C. Considere E = 200GPa.
Resp. a) b)
532 y 533.- Para la viga y carga mostradas, determine a) La deflexión del punto medio C, b) La
pendiente en el extremo A.
Resp. 532 a) b)
533 a) b)
534 y 535.- Para la viga en voladizo y carga ilustradas en las figuras, encuentre la pendiente y
deflexión del extremo libre.
Figura. P-530
Figura P-526
Figura. P-531
Figura P-526

536 y 537.- Para la viga en voladizo y las cargas representadas en las figuras, halle la pendiente y
deflexión en el punto C.
Resp. 536
537
538.- Para la viga W360 x 39 y la carga mostradas en las figuras, determine a) La pendiente en el
extremo A, b) La deflexión en el punto C. Considere E = 200 GPa.
539 y 540 Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se muestra en la figura, determine a) La
pendiente en el extremo libre, b) La deflexión en el extremo libre.
Resp. 539 a) b)
540 a) b)
541.- Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se observa en la figura, halle a) La deflexión
en el punto A. Considere E = 200 GPa.
Figura. P-538
Figura P-535

Resp. a) b)
542.- Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se ilustra en la figura, encuentre a) La
pendiente en el punto A, b) La deflexión en el punto A. Considere E = 29 x 106
psi.
543.- Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se muestra en la figura, determine a) La
pendiente en el punto C. b) La deflexión en el punto C. Considere E = 29 x 106
psi.
544.- Dos perfiles C6 x 8.2 están soldados por su parte posterior y sostienen la carga que se indica.
Si se sabe que E = 29 x 106
psi, halle a) La pendiente en D, b) La deflexión en D.
Resp. a) b)
545.- Para la viga en voladizo y la carga ilustradas en la figura, encuentre la deflexión y pendiente
en el extremo D, causadas por el par Mo.
Figura. P-541
Figura P-535
Figura. P-542
Figura P-535
Figura. P-544
Figura P-535
Figura. P-543
Figura P-535

Figura. P-545
Figura P-535

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