1. TECNOLOGICO SUPERIOR CORDILLERA
ANALISIS II
Alexandra Guayasamín
Tercero “A”
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
Ángulo de inclinación
Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180°
que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con
la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.
Pendiente de una recta
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La
notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.
El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los
siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de
coordenadas rectangulares:
a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90° .
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente:
Teorema
Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:
m= y1 – y2
x1 –x2
Siendo x1¹ x2
Ejemplo:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(−6,−4) y B(8,3).
Solución
Al graficar los puntos dados, tenemos:
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
m= y1 – y2 −4 −3 −7
x1 –x2 −6 –8 −14
Donde m=1/2

2. Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
q=arc tg m
q=arc tg (1/2)= arc tg(0.5)
q=26°33’ 54’’
Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90° .
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,−5) y B(2,1).
RECTAS PAPALELAS
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.
El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:
Con regla y escuadra
Con regla y compás
Teorema:
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
Propiedades del paralelismo
Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a si misma.
Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.
Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la primera
recta es paralela a la tercera.

3. Teorema
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
Hipótesis
Tesis
Demostración
(Por el método del absurdo)
Si a no fuera paralela a b , las rectas se cortarían en un punto R.
Por hipótesis, por el punto R pasarían dos rectas perpendiculares a la recta c.
y esto es absurdo ya que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a la misma.
RESTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

4. El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:
Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
Propiedades de la perpendicularidad
Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.
Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.
ANGULOS ENTRE RESCTAS
Si se tiene dos rectas o segmentos cualesquiera m y n , y una recta l que corta a ambas, se forman varios ángulos que se pueden apreciar
siguiente figura (cada uno de los ángulos se encuentra denotado por una letra del alfabeto griego):
A los pares de ángulos:
1) a y f; e y q; d y l; b y g se les llama ángulos correspondientes.
2) a y l; b y q se les llama ángulos alternos externos.
3) d y f; e y g se les llama ángulos alternos internos.
4) b y l; a y q se les llama ángulos conjugados externos.
5) d y g; e y f se les llama ángulos conjugados internos.
ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS

5. Sean l 1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las
0
rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b1 = b2 = q1 – q2 y a1 = a2 = 180
- b 1.
Se define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
b1 = q1 - q2 (1)
Fig. 4.14
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)
, (2)
También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
, (3)
Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1 , (2)’
cot b1 , (3)’
Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de
sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre
rectas, como la afirma el siguiente teorema.
TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:
i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1

6. Demostración
En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones
fig. 4.15.
i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 ||l2, entonces los ángulos q1 y q2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tan q1 =
tanq2, es decir, m1 = m2 .
Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tanb1 = 0, y de aquí, b1 = q1 - q2 = 0, de donde
q1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot b1 = cot Sustituyendo
este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1. m2
= -1.
Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces y como m2=tanq2 y m1=tanq1 , se tiene
que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor
0
inclinación q1. Teniendo en cuenta que tanto q1 como q2 son ángulos positivos y menores que 180 , concluimos
0 0
que: q1 = 90 + q2, de donde q1 – q2 = 90 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares.
Observaciones
i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0
y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones
de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente
forma:
l1 || l2
l1 l2
Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición nece-
saria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es
decir, las rectas de ecuaciones
Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes