geometria analitica

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión-Porlamar
Geometría
Analítica
Integrante:
Paul Marcano
C.I.27.335.542
Ing. Eléctrica
4 A

2. Cosenos directores deuna recta enelespacio.
La dirección de una recta cualquiera en el espacio se determina por los ángulos que forma con los ejes
coordenados.
Ejemplo:
Sea l cualquier recta dirigida en el espacio que
no pasa por el origen ( 0 ), y tenemos otra recta
l’que si pasa por el origen, es paralela a l y
en el mismo sentido, entonces los ángulos α, β
, y y formados por las partes positivas de los ejes X, Y y Z, y la
recta se llaman ángulos
directores de la recta dirigida l.

3. En la resolución de nuestros problemas, veremos que generalmente es mas conveniente usar los cosenos de los
ángulos directores en lugar de los ángulos mismos. Estos cosenos, cos a , cos β , cos y , se llaman cosenos directores de
la recta dirigida l.
Si las rectas fuesen de sentido opuestos sus valores serian iguales pero con el signo opuesto en este caso serian -cos a
, -cos β y -cos y.
Si determinamos los cosenos directores de una recta l que pasa por los puntos
P1 (x1, y1, z1 )
P2 (x2, y2, z2).
Por cada uno de los puntos P1 y P2, debemos pasar planos paralelos a los coordenados, formando así un
paralelepípedo recto rectangular cuya diagonal es P1 P2 , y cuyas aristas paralelas a los ejes X, Y y Z son,
respectivamente, P1V1, P1 V2, P1V3 ,. Si cada arista tiene el mismo sentido que el eje a que es paralela, los ángulos
directores son:
α= ángulo P2 P1 v1 β=
ángulo P2 P1 V2 y=
ángulo P2 P1 V3

4. Ahora consideremos ( b ) , (c) y ( d ) ] los tres triángulos
rectángulos formados por los dos puntos P1 y P2 y cada
uno de los vértices V1 , V2 y V3. Para cada uno de estos
triángulos sea d = lP1 P2l, en que d se determina según
el siguiente teorema:
P1V1 = x2 - x1 P1
V2 = y2 - y1 P1 V3
= Z2 - Z1
Por tanto, de los tres triángulos, tenemos, para los cosenos directores:
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una de las ecuaciones y sumamos, obtenemos:

5. También tenemos que:
Por lo tanto aplicamos un teorema muy importante que dice:
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de cualquier recta es igual a la unidad
COROLARIO: De los cosenos directores de una recta uno, cuando menos, es diferente de cero.

6. Angulos Formados por2rectas.
Vamos a determinar el ángulo θ formado por dos rectas cualesquiera dirigidas , l1 y l2 , en el espacio . Sean l’1 y l’2 dos
rectas trazadas por el origen y paralelas, y del mismo sentido, a l1 y l2, respectivamente. Por definición, el ángulo formado
por las rectas dirigidas l1 y l2 , es el ángulo θ . Sea P1 (x1, y1, z1 ) un punto cualquiera , distinto del origen , sobre l’1 , y
P2 (x2, y2, z2). otro punto cualquiera, distinto del origen sobre l’2 .
También , sea:
Por ley de cosenos tenemos para el triangulo OP1P2,:
Y por teoremas tenemos que:

7. Si sustituimos estos últimos valores en el numerador del segundo miembro de la primera ecuación, y
simplificamos , obtenemos:
Sean α1, β1 , y y1, los ángulos directores de l1 y , por tanto, de l’1 , y , α2, β2 , y y2 los
ángulos directores de l2 , por tanto, de l’2. por el teorema, tenemos:
Sustituyendo en la siguiente ecuación tenemos la
relación buscada:

8. Esta igualdad nos dice :
Teorema .El ángulo θ formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en el espacio, cuyos ángulos directores son α1, β1
, y y1 y α2, β2 , y y2 , respectivamente, se determina por la relación:
Corolario 1: Para que dos rectas sean paralelas y del mismo sentido es condición necesaria y suficiente que sus
ángulos directores correspondientes sean iguales; para que sean paralelas y de sentidos opuestos es necesario y
suficiente que sus ángulos directores correspondientes Sean suplementarios .
Corolario 2: Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares es necesario y suficiente que la suma de los productos
de sus cosenos directores correspondientes sea igual a cero.
Ahora vamos a obtener los resultados del
teorema y sus dos corolarios en función de
los números directores de las dos
rectas.Sean [a1 , b1 , c1] y
[a2 , b2 , c2 ] los números directores de
las dos rectas, l1 y l2
Respectivamente tenemos:

9. Sustituyendo estos valores obtenemos:
Teorema. El ángulo θ formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en el espacio , cuyos
números directores [a1 , b1 , c1] y [a2 , b2 , c2
], respectivamente , esta determinado por la relación.

10. Corolario 1: Para que dos rectas dirigidas sean paralelas es necesario y suficiente que sus números directores
correspondientes sean proporcionales.
Corolario 2: Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares es necesario y suficiente
que la suma de los productos de sus números directores correspondientes sea igual a cero.
Ecuación General del Plano.
La ecuación puede escribirse en la forma:
y como la expresión encerrada entre paréntesis es una constante y , por tanto , puede reemplazarse por el termino
constante - D , resulta que la ecuación es de la forma:
Reciprocamente, si P2 (x2, y2, z2). es un punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y por tanto, a la ecuación
anterior , se verifica que:
La ecuación general de un plano es de la forma:
en donde A, B , C y D son constantes, y [ A , B , C] son los números
directores de su normal.