El documento explica el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método implica realizar operaciones como restar ecuaciones multiplicadas por números para simplificar el sistema hasta obtener una forma triangular superior o inferior donde se pueden leer directamente las soluciones. Se proveen varios ejemplos ilustrativos del proceso de aplicar el método de Gauss paso a paso.

1. MÉTODO DE GAUSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Tema 3.6 * 1º BCS

2. Repasemos… Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y sumarlas. Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: Se multiplica una ecuación por un número. Se cambia el orden de las ecuaciones. Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número.

3. Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g + e’.y + f’z = g’ Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales. MÉTODO DE GAUSS

4. Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h =0 , j <> 0  S. INCOMPATIBLE La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a , en ese orden. Este método sirve cualquiera que sea el número de incógnitas. … MÉTODO DE GAUSS

5. Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 y - 4.z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = 1 , en ese orden. EJEMPLO_1 DEL MÉTODO DE GAUSS

6. Sea: x - y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1 Sea: x - y + 2.z = 4 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila Y obtengo finalmente: x - y + 2.z = 4 8.y - 7.z = - 10 5. z = 10 La solución del sistema será: z = 10 / 5 = 2 y = ( - 10 + 7.2 ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – 2.2 + (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2 , en ese orden. EJEMPLO_2 DEL MÉTODO DE GAUSS

7. Sea: 3x - 6y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3 ,, F2 = F2 : (-2) ,, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1 ,, F3 = F3 – F1 Y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15 EJEMPLO_3 DEL MÉTODO DE GAUSS

8. El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea: a .x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Clave práctica del Método de Gauss