ejercicios de optimizacion Asdrubal granados

1. Optimización
de sistemas
Realizado por: Asdrubal
Granados

2. Dada las siguientes ecuaciones

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1
−2𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
Hallar 𝑓 𝑡 = 2𝑦´´ + 𝑧4´´ − 3𝑥2´ utilizando el metodo de gauss-jordan
paso 1: hallar la matriz aumentada del sistema
1 2 −1 −1
−2 2 −6 2
1 1 1 4

3. Paso 2: sumamos la fila 2 con la fila 1 multiplicada por 2
1 2 −1 −1
−2 2 −6 2
1 1 1 4
𝑓2=𝑓2+2𝑓1 1 2 −1 −1
0 6 −8 0
1 1 1 4
Paso 3: restamos la fila 3 con la fila 1
1 2 −1 −1
−2 2 −6 2
1 1 1 4
𝑓3=𝑓3−𝑓1 1 2 −1 −1
0 6 −8 0
0 −1 2 5
Paso 4: dividimos la fila 2 entre 6
1 2 −1 −1
−2 2 −6 2
1 1 1 4
𝑓2=𝑓2/6 1 2 −1 −1
0 1 −4/3 0
0 −1 2 5

4. Paso 5: sumamos fila 3 con fila 2
1 2 −1 −1
0 1 −4/3 0
0 −1 2 5
𝑓3=f3+f2 1 2 −1 −1
0 1 −4/3 0
0 0 2/3 5
Paso 6: multiplicamos la fila 3 por 3/2
1 2 −1 −1
0 1 −4/3 0
0 0 2/3 5
𝑓3=3/2∗f3 1 2 −1 −1
0 1 −4/3 0
0 0 1 15/2
Paso 7: sumamos fila 2 con fila 3 multiplicada por 4/3
1 2 −1 −1
0 1 −4/3 0
0 0 1 15/2
𝑓2=𝑓2+4/3𝑓3 1 2 −1 −1
0 1 0 10
0 0 1 15/2

5. Paso 8: sumamos la fila 1 con la fila 3
1 2 −1 −1
0 1 0 10
0 0 1 15/2
𝑓1=𝑓1+𝑓3 1 2 0 13/2
0 1 0 10
0 0 1 15/2
Paso 9: restamos fila 1 con fila 2 multiplicada por 2
1 2 0 13/2
0 1 0 10
0 0 1 15/2
𝑓1=𝑓1−2𝑓2 1 0 0 −27/2
0 1 0 10
0 0 1 15/2
𝑥 = −
27
2
, 𝑦 = 10, 𝑧 =
15
2

6. Paso 10: hallamos el valor de f(t) en función de sus derivadas parciales
y sustituyendo los valores
𝑓 𝑡 = 2𝑦´´ + 𝑧4
´ − 3𝑥2
´
𝜕𝑓 𝑡
𝜕𝑧
= 4𝑧3
𝜕2 𝑓(𝑡)
𝜕𝑧
= 12𝑧2
= 12
15
2
= 90
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑥
= −6x = −6
−27
2
= 81
𝜕𝑓 𝑡
𝜕𝑦
= 2
𝜕2 𝑓(𝑡)
𝜕𝑦
= 0

7. Sustituyendo:
𝑓 𝑡 = 0 + 90 + 81 = 171