Ejercicios detallados del obj 7 mat ii 178 179-

Capitulo II
Matemática II
Objetivo 7. Aplicar el método de Gauss-Jordan en la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.
Ejercicio 1
Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
+ = 
3
5
2 3
x y
x y
x y

- 2
=  + =
Solución
3 2 7
Justificación: Este primer problema lo desarrollaré con mucho detalle, el
resto de los ejercicios, los desarrollare con menos detalles, claro está, siempre
explicando cada paso.
Es importante mencionarte que el método de Gauss-Jordan consiste
básicamente en transformar una matriz, en la matriz identidad, la pregunta
lógica es ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?. Pues, para
responder esta pregunta, primero recuerda que las matrices identidad tienen la
forma:
2
1 0
0 1
I
 
=  
 
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
  =  
 
 
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
=    
 
 
Observa que todas estas matrices son CUADRADAS, sin embargo,
independientemente de la forma de la matriz que nos den en el ejercicio,
siempre se puede aplicar el método de Gauss-Jordan.
Ahora bien, repitiendo la pregunta: ¿Cuál matriz se transformará en la
matriz identidad?, ésta respuesta dependerá del ejercicio, que normalmente
son de 2 tipos en este objetivo 7.
Ejercicios tipo 1:
Buscar la matriz inversa, de una matriz dada.
En este caso te dan una matriz, por ejemplo:
5 0 2
3 1 4
8 2 1
A
 - 
  =  - 
 -   

Primero SE ESCRIBIRÁ LA MATRI AMPLIADA:
 5 0 2
1 0 0

 
 3 1 4
0 1 0

 8 2 1 0 0
1

 
-
-
-
Luego la matriz, que transformaremos en la matriz identidad será:
Ejercicios tipo 2:
Resolver un sistema de ecuaciones.
En este caso te dan un sistema de ecuaciones, por ejemplo:
- + = 
- + + = 
 - + =
2 x 3 y z
9
2 x y 5 z
1
8 y 6 z 7 x
0
Primero, DEBES TENER EL SISTEMA ORDENADO, Y EL QUE TE DI
EN ESTE EJEMPLO NO ESTA ORDENADO EN SU TERCERA FILA,
OBSERVA:
- + = 
- + + =
2 3 9
2 5
8
1
x y z
x y
+ =
6 z
7 0
z
y x

- 
Al ordenarla quedaría:
- + = 
- + + =
2 3 9
2 5
7
1
x y z
x y
- =
8 y
6 0
z
x z

+ 
Segundo, SE ESCRIBIRÁ LA MATRIZ AMPLIADA:

 2 - 3 1
9

 
 -
2 1 5
1

 7 8 - 6 0

 
Luego la matriz, que transformaremos en la matriz identidad será:
Retomando el ejercicio 1 planteado inicialmente, es decir, resolver el
sistema de ecuaciones dado; primero escribiremos la matriz ampliada del
sistema de ecuaciones; es IMPORTANTE recordar siempre, que el sistema
debe estar ordenado, es decir, las equis debajo de las equis, las yes debajo de
las yes, y así sucesivamente, para luego escribir la matriz ampliada y
posteriormente aplicar el método de Gauss-Jordan. En nuestro caso la matriz
ampliada será:
 2 3
3

 
 1 - 2
5

  3 2 7


Observa amiga y amigo estudiante que la matriz que debemos
transformar en la matriz identidad es:

Ahora bien, te preguntaras ¿Cómo transformo esta matriz a la identidad
si no es cuadrada?, pues en estos casos lo que se desea obtener es la
siguiente transformación a matriz identidad:
1 0
0 1
0 0
 
 
 
 
 
Puede que te ayude pensar, que la matriz identidad a encontrar en este
caso, cuando la matriz dada en el ejercicio no es cuadrada, es realmente una
matriz cuadrada identidad pero faltante de la última columna, es decir,
Observa que esta estructura nos indica QUE PRIMERO
CONSEGUIMOS EL UNO EN LA PRIMERA COLUMNA Y LUEGO LOS
CEROS EN LA MISMA COLUMNA, LUEGO DE HABER CONSEGUIDO EL
UNO Y LOS CEROS, PASAMOS A LA SIGUIENTE COLUMNA A EJECUTAR
LO MISMO.
El método de Gauss-Jordan es mecánico y consiste en lo siguiente:

PASO 1: Primero se transforma en 1 (uno) el valor ubicado en la fila 1,
columna 1, es decir, el destacado en la siguiente matriz en azul y aumentado:
Esto se logra dividiendo entre 2, porque 2 entre 2 es igual a 1.
Pero no solamente se dividirá entre 2 únicamente el 2 destacado en azul
y grande, sino toda la fila donde se encuentra el 2 azul, SIEMPRE LAS
OPERACIONES A REALIZAR SE APLICAN A TODA LA FILA NUNCA A LA
COLUMNA, ES DECIR, SIEMPRE SE TRABAJA OPERANDO (SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN) POR FILA.
La forma de escribir la operación que pensamos realizar (dividir entre 2
para lograr el 1) es la siguiente:
F
1
F ®
1 2
Es importante que sepas interpretar esta notación matemática, por eso
la desglosaré:
F ®
1
F
1 2
F
El 1
2
F
denota la operación que se efectuará, es decir, 1
2
quiere decir
que toda la fila 1, se dividirá entre 2.
La parte 1 F ® indica que la operación de división por 2, anteriormente
planteada, quedará en una nueva fila 1 azul.
F
Efectuare la operación 1
2
en nuestra matriz, observa:

Ahora observa que después de dividir nos queda la nueva fila, lo que te
mencione que corresponde a la parte 1 F ®, de manera que obtenemos:
IMPORTANTE: EL OBJETIVO DE ESTO, FUE EL PLANTEADO
INICIALMENTE EN ESTE PASO 1, QUE ES LOGRAR EL NÚMERO 1 EN LA
FILA 1, COLUMNA 1, DESTACADO EN AZUL Y GRANDE, observa la
siguiente matriz donde destaco este 1 al que me refiero:
PASO 2: Después de hacer el uno mencionado en el paso 1, se debe
hacer cero en todos los números debajo del uno azul grande generado en el
paso 1, destacaré los números, donde deben estar los ceros:

Para lograr estos ceros SIEMPRE NOS APOYAMOS EN EL UNO AZUL
QUE GENERAMOS EN EL PASO 1. (Por ésta razón siempre hay QUE HACER
PRIMERO EL UNO Y LUEGO LOS CEROS)
¿Cómo se hacen los ceros en el método de Gauss-Jordan?
Para hacer los ceros en la fila 2 y fila 3 de la columna 1, nos apoyamos
en el 1 azul de la siguiente manera:
· Se cambia el signo del número donde va el cero, en nuestro caso los
ceros van en el 1 y 3 rojos, por lo tanto se les cambia el signo a éstos
números, quedando -1 y -3 .
· Ahora se construye la siguiente operación con el primer número
cambiado de signo, el menos uno:
2 1 2 F ®-1F + F
Observa como use en esta estructura la fila 2, porque es allí donde se
encuentra el 1 y donde quiero colocar el cero.
Explicaré a continuación el detalle de esta estructura, ya que es la que
siempre se usará para hacer los ceros:

Ahora fíjate como se construye la siguiente operación con el segundo
número cambiado de signo, el menos tres:
3 1 3 F ®-3F + F
Observa que la estructura es muy semejante, lo único que varia es la fila
que ahora es tres, porque el número 3 se encuentra e la fila 3 de la matriz
dada.
Ahora aplicare cada una de estas operaciones por separado, para que
veas claramente como se aplica:
Aplicación de la estructura 2 1 2 F ®-1F + F
Recuerda que ya se había hecho el 1 azul en el paso 1, y habíamos
llegado a la matriz:

 3 3

 1

 2 2

 1
- 2 5

 3
2
7

 
 
Aplicare a ésta matriz la operación 2 1 2 F ®-1F + F , en detalle:
Observa como la fila 1 y 3 quedaron intactas, es decir, no cambiaron,
pues solo se ve afectada la fila 2.
Aplicación de la estructura 3 1 3 F ®-3F + F
Ahora aplicaremos esta operación a la matriz:
 3 3

 1

 2 2

 - 7 7
  0
2 2

 
 3
2
7

 
 
En este caso se afectara solo la fila 3, aplicare esta operación en forma
un poco más directa:

 
 3 3   3 3

   2 2  2 2

 7 7  
 -   7 7
  2 2  ® - ®- 3 3
 2 2

  2 7
   3 ® - 3 F 1 + 3 3 ®
- 3
F
+

1
3
   3 ®
- 3
1
+
® 3

+ ® + ® +  3 3 3
1 0 3
3 3
.
1 1
1
0
3
- 
3 3 3. 2 3. 7
2 2
F
F F F F
F F
F F F
F F F
+
  - -
 
 3 3   3 3

 1   1

 2 2   2 2

 - 7 7  0   ® - +
® - 7 7
3
 2 2 3 1 3  2 2

   
 2 7   + - 9 + - 9
3 2 7

2
0
3
3
2
F F F
  - + 
   
 3 3   3 3

 1   1

 2 2   2
2

  0 - 7 7   ® -
7 7
3
+
® 0
-  2 2 3 1 3  2 2

   
 3
2 7   - 9 + 4 - 9 + 14

  
2 2
0
F F F

  

 3 3   3 3

 1   1

 2 2   2
2

 7 7   0 -  ® -
3 +
® 7 7
 0
-  2 2 3 1 3
2 2

   
 3
2 7   - 5 5
  
0

2 2
F F F
 

 
Hasta ahora tenemos la matriz:
 3 3

 1

 2 2

  0
- 7 7
 2 2

 
 - 5 5

 0
 2 2



PASO 3: Ahora prácticamente repetiremos los pasos anteriores, pero
aplicados a la columna 2, RECUERDA QUE PRIMERO CONSEGUIMOS EL
UNO EN LA COLUMNA Y LUEGO LOS CEROS DE LA MISMA COLUMNA.
Si recuerdas que debemos llegar a la estructura:
1 0
0 1
0 0
 
 
 
 
 
Sabrás que en este tercer paso debemos hallar el UNO de la segunda
columna, y éste, se ubica en el número destacado en azul, observa:
 3 3

 1

 2 2

 7
7
 0

2
2

 
 - 5 5

0
2 2


-

Para lograr este uno multiplicamos toda la fila 2 por el reciproco de esta
fracción. Recuerda que reciproco significa invertir la fracción, en nuestro caso
tenemos la fracción 7
- y su reciproco es: 2
2
- . Observa que ciertamente al
7
multiplicarlas obtenemos el uno: 7 2 14
    -   -  = =
   
. 1
2 7 14
2
7
F ®- F
La operación que efectuaré se denota por 2 2
Aplicando esta operación a la matriz, obtenemos:

 3 1
3 
  2 2    3 
 1
3 
 2 2 F ®- F F 2 ®- F 2
 2 2
2 2 F ®-
F
 7 2 7 2 7
2
 
  F ® - 2 ® - 2  - 7  ® - 2 7  2 2  - 7  2 7
 .(0) F .   F
. ® - .(0) - . -
.
2 7 2  7 2 2
7 2 
  7

 - 5 5   - 5 5

 0   0
 2 2   2 2



 3

 1
  
 2
  
     ® 
   -   -   
   

7 2 7 2
14
0
14

 
  



 



3
3 3
2 1
2 2
- 14
-
0 1 1
14
5 5 5 5 0
0 2 2 2 2

PASO 4: Finalmente hacemos los ceros de esa columna, destacaré en
rojo, donde van los ceros en esta matriz:
 3

3

 1

 2

 1
- 
  5
5

0
 
2
2
0 1
2
-

Las operaciones para hacer los ceros, serán de la forma:
F F F
® - + y 3 2 3
3
2
1 2 1
5
2
F ® F + F
Aplicando éstas operaciones, tenemos:

 - 3 - 3 -
3


1 + + 2 2 1 1 2 2 1 1 2
2
1
- + - + - + - +
   ® ® ®   ®      -  ® -
  ® 
  
   ® ® ®
3 3 3 3 3 3
( ) ( )
3 1
0 1 1
F F F
2 2 2 2 2 2
1 0 1 1
® + +
3 2 3 3 2 3 3 2
3
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
1 1
5 5 5
3 3
2 2 2
0 1 1
3 3 3
2
2
2
5
5
2
2 5 5 5 5 5
0
3
1
2
0 1
2
0
2 2
5
2 2
2
F F F F F F F F F
F F F F F F F F F
F F
F F
F F
F
F
F
® ® ®
®
+
+ ®
- +
 -  + +   +
  
-
 -


 - 3 ( ) + - 3 ( )
+ 3 - 3   -
+ 3 - 3 + 3 3 3

 0 1 1 1
  1
+

 2 2 2 2 2   2 2 2 2

® 0 1 - 1 ® 0 1 - 1

   
 5 5  ( ) ( )
 - 5  5 + 5   5  - 5  - 5   +
5


   
( )
( -
)
+ +   + 
0 1 1
0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 6
1 0 2 1 0 2 1 0
0 0 0 0
3
0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0
0
   
    
 
 
® - ® - ® -
   
    
  

   
+


 
 
 

Una vez que se obtiene la matriz identidad posible en el ejercicio, en el
caso de sistema de ecuaciones, se rescribe el sistema original, recordando que
la primera columna corresponde a la variable equis y la segunda columna a la
variable ye.
En este caso obtendríamos:
NOTA: Una manera de saber si vas por buen camino, es que no se
altere ningún valor ya encontrado, es decir, si aplicas una operación y el 1 o el
cero que ya habías conseguido, se transforma en otro valor diferente, es que
dicha operación aplicada no es la correcta.

Respuesta: x = 3, y = -1
Ejercicio 2
Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 Bs y un total de
2000 Bs. Si el número de billetes de 10 Bs es el doble que el número de billetes
de 20 Bs.
a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos billetes
hay de cada tipo.
b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan.
Solución
Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que debemos
resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle nombre a
las variables, en este caso:
Sea x el número de billetes de Bs. 10
Sea y el número de billetes de Bs. 20
Sea z el número de billetes de Bs. 50
Observamos que hay 3 variables, es de esperar que necesitemos 3
ecuaciones para resolver el problema planteado, en este caso:
· En la frase: Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 Bs
nos lleva a escribir la ecuación: x + y + z = 95.
· En la frase: un total de 2000 Bs nos permite escribir la ecuación:
10x + 20y + 50z = 2000 .
· La frase: el número de billetes de 10 Bs es el doble que el número de
billetes de 20 Bs, nos permite escribir: x = 2y .
Así le damos respuesta al apartado “a” escribiendo el sistema de
ecuaciones que permite resolver el problema planteado:
+ + =
x y z
+ + =
10 20 50 2000
2
95
x y
z
x y

=

Para dar respuesta al apartado “b” de la pregunta, debemos ordenar el
sistema, para poder aplicar el método de Gauss-Jordan, así:

95
+ + = 
x y z
x y z
x y z
+ + = 
 - + =
10 20 50 2000
2 0 0
Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:
 1 1 1 95

 
 10 20 50 2000

  1 - 2 0 0
 
Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.
PASO 1: En este caso ya en la primera columna esta el número 1,
obsérvalo destacado en azul:
 1
1 1 95

 
 10 20 50 2
000

   1 - 2 0 0

De manera que pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del
uno azul, es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:
 1
1 1 95

 
 10
20 50 2000

  1
- 2 0 0
 
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
( ) 2 1 2 F ® -10 F + F y ( ) 3 1 3 F ® -1 F + F
Así se obtiene:
 1
1 1 95

 - +
- + - + - +   10 10
10 20 10 50 10(95) 2000

  -
1 + 1 - 1 - 2 - 1 + 0
- 95
+ 0
 
 1
1 1 95   1
1 1 95

     0 10 40 - 950 + 2000  =  0
10 40 1050

  0 - 3 - 1 - 95      0 - 3 - 1 - 9
5

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda
columna, destacare en azul donde ira este uno:

 1 1 1 95

 
 0 10
40 1050

  0 - 3 - 1 - 95
 
Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 2 entre 10, esto se denota
así:
F
2
F ®
2 10
Así nuestra matriz queda:
 1 1 1 95

   1 1 1 95

 0 10
40 1050
 =   0 1
4 105
 10 10
10 10
  
   0 - 3 - 1 - 95
  0 - 3 - 1 - 95
  
PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
 

1 1
1 95
0 1
4 105
0 3
1 95
-

 
 - -   
( ) 1 2 1 F ® -1 F + F y 3 2 3 F ®3.F + F
Así se obtiene:
 - 1.0 + 1 - 1. 1
+
1
- 1.4 + 1 - 1.105 + 95

 
 0 1
4 105

  3.0 + 0 3.1 -
3 3.4 - 1 3.1
05 - 95
 
1 4 1 105 95 1 3 10
0 4 105 0 4 105
0 12 1 315 95 0 11 220
 - 1 +
1 - + - +   0
- - 

    1  =  1

 3 -
3 - -      0
 
PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

 1 0 - 3 - 10

 
 0 1 4 10
5

  0 0 11 2 2
0


así:
F
3
F ®
3 11
 
 1 0 - 3 - 10   1 0 - 3 - 10   1 0 - 3 - 10

       0 1 4 105 ® 0 1 4 105 ® 0 1 4 105

  0 0 11 220   11 220     0 0 1
20

   0 0
 
11
11
 
 - 
 
 

1 0 3
10
0 1 4 10
5
0 0 1 2
0

-


1 3 1 F ®3F + F y ( ) 2 3 2 F ® -4 .F + F
Así se obtiene:
 + + -
- 
 - + - + -
 3.0 1 3.0 0 3. 1
3
3.20 10
4.0 0 4.0 1 4. 1
4
4.20 105
0 0 1
20
 - + + 
 
 
 1 0 0
50

 
 0 1 0
25

 
 0 0 1
20

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la
segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:
Respuesta: x = 50, y = 25 y z = 20 .
Ejercicio 3

En la semana aniversario de un supermercado, un cliente ha pagado un
total de 156 Bs por 24 kg de azúcar, 6 kg de queso blanco y 12 kg de papa.
Además, se sabe que 1 kg de papa cuesta el triple que 1 kg de azúcar y que 1
kg de queso cuesta igual que 4 kg de papa más 4 Kg de azúcar.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar el precio en Bs.
de cada artículo.
b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan
Solución
Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que
debemos resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle
nombre a las variables, en este caso:
Sea x el precio del azúcar en bolívares
Sea y el precio del queso en bolívares
Sea z el precio de la papa en bolívares
· En la frase: un total de 156 Bs por 24 kg de azúcar, 6 kg de queso
blanco y 12 kg de papa nos lleva a escribir la ecuación:
24x + 6y +12z =156 .
· En la frase: 1 kg de papa cuesta el triple que 1 kg de azúcar nos permite
escribir la ecuación: z = 3x .
· La frase: 1 kg de queso cuesta igual que 4 kg de papa más 4 Kg de
azúcar, nos permite escribir: y = 4x + 4z .
+ + =
24 x 6 y 12 z
156
3
z
x
x z
4 4
y
=

= +


+ + = 
24 6 12 156
x y z
x y z
x y z
- + + = 
 - + - =
3 0 0
4 4 0
 24 6 12 156

   - 3 0 1 0

  - 4 1 - 4 0
 
PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,
esto lo logramos dividiendo toda la fila 1 entre 24, así:
F
1
F ®
1 24
 24 6 12 156

 
 24 24 24 24

 - 3 0 1 0

 - 4 1 - 4 0
  
 
Efectuando las divisiones, obtenemos:
 1 1 13

 1

 4 2 2

 - 3 0 1 0

 - 4 1 - 4 0
  
 
24

 =  1
24
= = ¸
¸
¸
¸
¸
¸
6 6 6
1
24 24 6
4
12 = 12 12
=
1
24 24 12
2
156 156 12
13
24 2
4 12 2

= = 
Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,
es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

 1 1 13

 1

 4 2 2

 -
3 0 1 0

 -
4 1
- 4 0
  
 
2 1 2 F ®3.F + F y 3 1 3 F ®4.F + F
Así se obtiene:
 1 1 13

 1

 4 2 2

 -
3 3 39
 3
3
+ 0 + 1 + 0
 4 2 2

 
 4  4
-
4
+ 4 - 52
1 4 + 0

4 2 2



 1 1 13   1 1 13

 1
  1

 4 2 2   4 2 2

 3 3 + 2 39   3 5 39
  0  = 0
4 2 2  4 2 2

   
 0
1 + 1 2 - 4 26 + 0   0 2 - 2
2
6

   
   
 1 1 13

 1

 4 2 2

 3
5 39

 0
4
2 2

 
 0 2 - 2 26

 
 
Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción
3
4
,
es decir,
4
3
toda la fila 2, esto se denota así:

4
3
F ® F
2 2
   
   
   
      =  
   
 -   - 
       
1 1 13 1 1 1 1
 
 
 
    =
 
 - 
 
 
4 2 2 4 2
4 5 4 39 4
3 3
4
0 . . . 0
3 2 3 2 3
0 2 2 26
4
4
.
3
13 1 1
1 13
2 4 2
2
5.4 39.4 10
0 26
2.3 2.3 3
26
2
1
0 2 2 6 0 2 2
 1
1

 1 13

 4
2
2

 10
 0 1
26

3

 - 26

 0 2 2

 
 
 -    +
 
1
4
® y ( ) 3 2 3 F ® -2 .F + F
F F F
1 2 1
Así se obtiene:
 - 1 + 1 
 1 - 1
10 + 1
. 4 4 4
3 2 -
1
13
.26
+   4
2

 10

 0 1
2
6
3

 -
2.
26
+ 26

  0 - 2 + 2 -
10
2.
- 2
 
 3


 - 10 1   - 5 1   - 10 + 6

 1 0 + - 26 + 13   1 0 + - 13 + 13   1
0
  12 2   6 2 4 2 2 2
  12 0 
 10   10  10
 0 1 26  =  0 1 26 =  0 1
26
 =
3 3   3
  - 52 + 26   - - - - 26   - 26
  20 -   20 6   - 26
 0 0 2 0 0
 3   3   0
     3


 4
  - 
 1
  
 12
  
 10
 =    0 1
3
  
 -   -   2
  - 
   
   
0
6
0
0
0
-
-
1
1
0 3 0
10
26 0 26
3
1
26 26
26
0
0
0
3 3
 - 1

 1 0

 3 0

 10

 0 1 26
3

 - 26

 - 2
6
 0
0



3

-
26
3
, es decir,
3
26
- toda la fila 3, esto se denota así:
F F
® -
3
26
3 3
 - 1   - 1

 1 0   1 0

 3 0   3 0

 10   0 1 26 =
 10
 0 1 26
3 3
3
 -  -  -   
3 1 26 3
2 0 0
. 26
3 2
6
0 0
6
.
 
  
  
 


 -   
        

 - 1

 1 0

 3
0

 10

 0 1 26
3

 3

 0 0 1

 
 
1
3
 -    +
 
F ® F + F y 1 3 1
2 3 2
10
.
F F F
3
®
Así se obtiene:
 1 1
1

 1 0 .3 + 0

 3 3
3

 10 1
0
- 10
  0 1 .3 + 26
3
3
3

 
 0 0 1
3



-
+

-

 1 0 0 1 + 0   1 0 0
1

     0 1 0
- 10 + 26  =  0 1 0
16

  0 0 1 3     0 0 1
3


Respuesta: x =1, y =16 y z = 3.
Ejercicio 4
Usar el método de Gauss-Jordan, para calcular si existe, la inversa de la
matriz:
2 1 2
1 1 2
1 0 1
A
 - 
  =  - 
 -   
Solución

Justificación: En este ejercicio, explicare algunas variantes en las
operaciones del método de Gauss-Jordan, sin embargo, puedes seguir
trabajando éste método tal como lo veníamos haciendo y llegarás al mismo
resultado. En este caso, donde se nos pide conseguir la matriz inversa
escribiremos la matriz ampliada así:
 2 1 - 2 1 0 0

   1 1 - 2 0 1 0

  - 1 0 1 0 0 1
 
Fíjate bien en lo siguiente:
y se procede, tal como explique detalladamente en el ejercicio 1 de este
objetivo 7, a reducir la matriz de la izquierda a la matriz identidad, aplicando
claro está, el método de Gauss-Jordan, observa:
aplicare una variante válida, de cómo hacer el uno, y se puede aplicar esta
variante porque existe al menos un número 1 en la segunda fila de la primera
columna, denotaremos esta operación así:
1 2 F « F
Esto significa, que la fila 1 y la fila 2 se intercambian, aplicando esta
operación a nuestra matriz ampliada, obtenemos:

 1 1 - 2 0 1 0

   2 1 - 2 1 0 0

  - 1 0 1 0 0 1
 
Claro está, que si procedes hacer el uno como lo veníamos haciendo,
llegaras al mismo resultado final, compruébalo.
 
1 1 - 2 0 1 0

 -  2
1 2 1 0 0
 - 1
0 1 0 0 1


( ) 2 1 2 F ® -2 .F + F y 3 1 3 F ®1.F + F
Así se obtiene:
 - 
   - + - - - - + - + - + 

1 1 2 0 1 0
2 2 2 1 2 ( 2 )
2 2.0 1 2.1 0 2.0 0
0 1 1 0 1 1
- +
-   
 1 1 - 2 0 1 0   1 1 - 2 0 1 0

  0
- 1 4 -    2 1 - 2 0  =  0
- 1 2 1 - 2 0

  0 1 - 1 0 1 1     0 1 - 1 0
1 1
 
 1 
 1 - 2 0 1 0

 -  0 1
2 1 - 2 0
 0 1 - 1 0 1
1

Para hacer este uno, multiplicaremos por -1, toda la fila 2, esto se
denota así:
2 2 F ®-1.F

 1 1 - 2 0 1 0

   0 1
- 2 - 1 2 0

  0 1 - 1 0 1 1
 
 1 1
- 2 0 1 0

   0 1
- 2 - 1 2 0

   0 1 - 1 0 1 1

Una vez que hayas tomado destreza en el método de Gauss-Jordan, podrás
hacer los ceros de la siguiente manera:
· Para el cero de la fila 1, SE RESTA LA FILA 1 MENOS LA FILA 2, ya
que en este caso el uno rojo de la primera fila es IGUAL al uno azul de
la segunda fila, esto se denota: 1 1 2 F ® F - F
· Para el cero de la fila 3, SE RESTA LA FILA 3 MENOS LA FILA 2, ya
que en este caso el uno rojo de la tercera fila es IGUAL al uno azul de la
segunda fila, esto se denota: 3 3 2 F ®F - F
Esto es equivalente a lo que veníamos haciendo, es decir:
( ) 1 2 1 F ® -1 F + F y ( ) 3 2 3 F ® -1 .F + F
Observa como:
( ) 1 2 1 F ® -1 F + F es equivalente a: 1 2 1 1 2 F ®-F + F = F - F
y
( ) 3 2 3 F ® -1 F + F es equivalente a: 3 2 3 3 2 F ®-F + F = F - F
Aplicando las operaciones anteriores, se obtiene:
( )
( )
( )
( )
 - - - - - - - 
- -
-
1 0 1 1 2 2 0 1 1 2 0
0
0 1 2 1 2 0
 
 -

 - - - - - - -

 0 0 1 -
1 1 - 2 0 1 1 2
1 0

 - + + - 
 - 
1 0 2 2 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0
     0 1 - 2 -
1 2 0  =  0 1 -
2 -
1 2 0

 - + + -   
 - 
0 1 2 0 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1
 

 1 0 0 1 - 1 0

 - -   0 1 2 1 2 0

  0 0 1 1 - 1 1
 
Puedes observar claramente que afortunadamente, ya en la columna 3
se encuentra el uno azul que destaque y que necesitamos, pues siendo así las
cosas, no haremos ninguna operación para conseguir el uno azul.
PASO 5: Como ya existe el uno, procederemos a hacer los ceros en la
 1 0 0
1 - 1 0

  0 1 -
 2
- 1 2 0

  0 0 1 1 - 1 1
 
Observa que ya existe uno de los ceros, por lo tanto la fila 1, NO LA
MODIFICAREMOS, es decir, no se ejecutará ninguna operación.
Procederemos a construir el cero correspondiente a la tercera
columna en la segunda fila, así:
2 3 2 F ®2.F + F
Así se obtiene:
 1 0 0
1 - 1 0

   0 1 2 -
2
2.1
- 1 2. ( - 1 )
+ 2 2.1 + 0

 0 0 1
1 - 1 1

 
 1 0 0 1 - 1 0   1 0 0
1 - 1 0

  0 1 0
2 - -    1 2 + 2 2 + 0  =  0 1 0
1 0 2

     0 0 1 1 - 1 1   0 0 1
1 - 1 1

En este tipo de ejercicio, donde se nos pide conseguir la matriz inversa,
después de haber transformado con el método de Gauss-Jordan la matriz de la
izquierda, hasta transformarla a la matriz identidad:

Resulta siempre, que la matriz que queda a la derecha, es precisamente
la matriz inversa, es decir:
Por lo tanto, la matriz inversa de la matriz A dada, es:
Respuesta:
1
1 1 0
1 0 2
1 1 1
A-
 - 
  =  
 -   
NOTA: En las evaluaciones, si tienes tiempo, puedes comprobar s tu respuesta
es correcta, porque SIEMPRE el producto de una matriz por su inversa, genera
como resultado la matriz identidad, es decir:
A.A-1 = I

Observa que ciertamente esto SIEMPRE SE CUMPLE:
2 1 2
1 1 2
1 0 1
= =
. 1 .
 1 - 1 0

 
 1 0 2

   1 - 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 2 . 1 + 1 . 1 + 2 . 1 2 . 1 + 1 . 0 + 2 . 1 2 . 0 + 1 . 2 + 2
.
1

  1 + 1 + 2 1 + +  1 2 1 + 1 + 2
 =
 1 + 0 + 1 1
+ + 
. . . . . . . . .
. . . . 0. 1. 1. 0. 1.
2 1 2
1 1 1 1 0 1 0 2 1
1 1 1 1 0 1 0 2 1
( ) ( )
A A-
 - 
   - 
-   
- -
- -
-
+ +
-
- - - -
 - - - 
 +
- + + + -   - + - 
 + - - + + + -  =      - - + -  =
  - + + + - + +     - + - +  
-
-
-
2 0 2 0 2 2 1 2 2 2 2
1 1 2 1 0 2 0 2 2 2 2 1 2 2 2
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
    =
 
 
Ejercicio 5
ecuaciones:
1 1
3
 - - = 
2 3
4
- + = - 
2 4
5
6
- + = 
2 1
7
x y z
x y z
x y z
Solución
Justificación: Antes de aplicar el método de Gauss-Jordan, eliminare las
fracciones existentes, para obtener números enteros como coeficientes de las
variables, esto se logra multiplicando por el mínimo común múltiplo de los
denominadores de la ecuación; si hay una sola fracción en la ecuación,
simplemente se multiplica toda la fracción por el denominador de la misma,
observa:
En la primera ecuación, se encuentran las fracciones:
1 1
y
2 3
- , por lo
tanto, el m.c.m (2,3)=6, por lo tanto se multiplica la primera ecuación por 6.

En la segunda y tercera ecuación del sistema, solo existe una sola
fracción, por lo tanto se multiplica toda por el denominador
correspondientemente, es decir, la ecuación 2 se multiplica por 5, por ser el
denominador de la fracción
4
5
y la tercera ecuación por 7, por ser el
denominador de la fracción
6
7
, aplicando lo mencionado, se obtiene:
      - -  =  - - = - - =    
      - +  = - ®  - + = - ®
   
      - +  =  - + =    
1 1 3 6 6 2 3 6 18 3 2 6 18 2 3
4 5.4 5
( )
( )
( )
6
x y z x y z x y z
5 5
2 4 5.2 5 20
x y z x y z
5 5
6 7.6 2 1 7.2 7 7
6
x y z x y z
7 7
7 7
.4
5
10 5 20
7
x - y + z = -
.6
7
14 7 7
3 2 6 18
4 10 5 20
6 14 7 7
x y z
x y z
x y z
x y z

- + =

- - = 
- + = - 
 - + =
Ahora en este último sistema, procederemos a escribir la matriz
ampliada, así:
 3 - 2 - 6 18

 
 4 - 10 5 - 20

   6 - 14 7 7

Luego procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.
esto lo logramos dividiendo toda la fila 1 entre 3, así:
F
1
F ®
1 3
 3 - 2 - 6 18

 
 3 3 3 3

 4 - 10 5 - 20

 6 - 14 7 7
  
 
Efectuando las divisiones, obtenemos:

 2

 1 - - 2
6

 3 
 4 - 10 5 - 20

 6 - 14 7 7
  
 
 - 2

 1
- 2

 3 6

 4
- 10 5 - 2
0

 6 - 14 7
7
  
 
( ) 2 1 2 F ® -4 .F + F y ( ) 3 1 3 F ® -6 .F + F
Así se obtiene:
 2

 1
- - 2

 3 6

  2
   - 4 +
4
- 4 -  - 10 - 4 ( - 2 )
+ 5 - 4 ( 6 )
- 20

  3
 (  - 6 6 )
+ 7
   - 6 +
-  2
 6 6 -  - 14 - 6
( - 2
)
+ 7
 3
   
 - 2   2   2   2

 1 - 2   1 - - 2   1 - - 2   1
- - 2

 3 6   3 6   3 6   3 6

 8 - + - -  =  8 - 30   22   22
  0 10 8 5 24 20   0 13 - 44 = 0 - 13 - 44 = 3 3   3   0
- 13 - 44
3

 - 36 + 7   - 29   - 29     12 - +   12 - 42   - 30   0
- - 10 19 29
0 1
4 12 7 0
19 0
19
        
 3   3
  3
  

 2

 1 - - 2

 3 6

  0 -
2
2
-  13 44
3

   0
- - 29
10 19

 
 
22
3
- , es decir,
3
22
3
22
F ®- F
2 2
 - 2

 1 - 2
6

 3 
  - 3  - 22
 - 3   - 3  -  - 3
   0.    13.   44.
 
  22  3  2
2   22 
22


- -
0 10 19 29




 
 
 - 2

 1 - 2

 3 6

 -
39

 0
1 6
22

  0 - - 10 19
29

 

 -
2

 1 - 2

 3

   1
- 
 - 
- 10

6
39
0 6
22
0 19 29

 

2
3
    +
 
® y 3 2 3 F ®10.F + F
F F F
1 2 1
Así se obtiene:
 2 2
2   1 . - 39  - 2  13     2  1 0
- - 2
 3 3
3  22  .6 + 6   3
  11 4 + 6 
   0 1 - 39 =  39
6   0 1
- 6
 22 22

 10.6 - 2
9   6
0 - 29     195  0 10 10 10  - 39   + 19
  0 0
- + 19    
 22 11
-
-
   
 - 13   - - 13 - 22   - 35

 1 0 2   1 0   1
0

 11 4 + 6   11 10   11 10

 - 39  =  - 39  =  - 39
 0 1
6   0 1
6  22 22   0 1
6
22

 195 60 - 29       - +   - 195 + 209 31 31
  14   0 0
19 11   0 0
  0
0

   11
  11

 - 35

 1 0

 11 10

 39
 0 1 - 6
 22

 31

 14
 0 0

 11


14
11
,
es decir,
11
14
toda la fila 3, esto se denota así:
11
14
F ® F
3 3

 - 35   - 35

 1 0   1 0

 11 10   11 10

 0 1 - 39 6  =  39
 0 1 - 6
 22   22

 11   341 
 14 11 0 0 1
 0 0 .
3 1
.14   
 11 1
4
  14

  
-
 35

 1 0

 11
10

  0 1 -
3
9
6

22

 0 0 1
341

 
 14

 
35
11
    +
 
F ® F + F y 1 3 1
2 3 2
39
22
®
F .F F
Así se obtiene:
 -
35 341

 1 0 . + 10

 11 14

 39 341
+
  0 1 - . 6
22

 
 
 
 
35 35
11 11
14
0 0 341
1
39 39
1
2
4
2 22

 1085 +   1085 + 140   1225
  10
14   14   
 1 0 0   1 0 0   1 0 0
14

 1209 +  =  1209 + 168 0 1 0 6 0 1 0      =  1377
 0 1
0
 28 28 28

 0 0 1   0 0 1   0 0
1

     
     
341 341 341
14 14 14
175
 
 
 1 0 0
2

 13
0 1
0

 
 0 0 1

 
 
77
28
341
14
Respuesta:
175 1377 341
x = y = z = .
, y
2 28 14
Ejercicio 6
ecuaciones:
- - = 
3 2 6
x y z
x y z
x y z
- + = - 
 - - =
5 2 2
7 2 1
Solución
Justificación: Procederemos a escribir la matriz ampliada:
 1 - 3 - 2 6

 
 5 - 2 1 - 2

   7 - 2 - 1 1

PASO 1: En este caso ya existe el uno, correspondiente a la primera
columna, por lo que, pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del

 1 - 3 - 2 6

 
 5
- 2 1 - 2

  7 - 2 - 1
1
 
( ) 2 1 2 F ® -5 .F + F y ( ) 3 1 3 F ® -7 .F + F
Así se obtiene:
 - - 
 
 - - - - - + - - 
 - - - - 
- 5 +
5
 - 7 + 7
- - - + 
3 2 6 3 2 6
15 2 10 1 30 2 13 11 32
21 2 14 1 42
3 2 6
5( 3) 2 5( 2) 1 5(6) 2
7( 3) 2 7( 2) 1 7( )
1
6 1
 1 - -   1
- - 
   
 0 - + - -  =  0
- 
 0 - - - + 1      0 19
13 - 41
 
 1 - 3 - 2 6

 
 0 13
11 - 32

  0 19 13 - 4
1
 
Para hacer este uno, dividiremos entre 13 , toda la fila 2, esto se denota
así:
F
2
F ®
2 13
 1 - 3 - 2 6   1 - 3 - 2 6

 -     13
11 32 0  =  11 - 32
0
1
  1
3
13 13   13 13

  0 19 13 - 41      0 19 13 - 4
1


 1 -
- 2 6


-   11 32
0

 13 13

  -  
3
1
19
0 13 41
1 2 1 F ®3F + F y 3 2 3 F ®-19.F + F
Así se obtiene:
 -
 11   - 32
   1 3   - 2 3   + 6

  13   13
 
 11 - 32

 0

 13 13

  11   - 32
   0 - 19   + 13 - 19   - 41

 13
3 3
19 1
1
1
3
9
-

+
   
 33 - - 96   + 33 - 26 - 96 + 78   7 - 18

 1 0 2 6   1 0   1
0

 13 13   13 13   13 13

 11 - 32   11 - 32   11 - 32
  0 1  =  0 1 = 0
1
13 13 13 13   13 13

     
 - 209 + 608 - - 209 + 169 608 - 533 - 40 75
 0 0 1
3 41      13 13   0 0   0
0

   13 13   13 13

 7 - 18

 1 0

 13 13

 11 - 32


0 1
13 13
75
0 0
13
-
40
13

 
 
 
 
40
13
- , es decir,
13
40
13
40
F ®- F
3 3

 7 - 18   7 - 18

 1 0   1 0

 13 13   13 13

 11 - 32   0 1 =
 11 - 32
 0 1
13 13 13 13
-     -  -
40 13 13 1
75 0 0 75
0 0 .
    13   40

.
13 40 40
  
   
   -    
   
 7
- 18

 1 0

 13
13

 11
- 32

 0 1
1
3
13

 
 0 0 1 - 1
5
   8


 -    +
 
7
13
  -  +
 
® y 2 3 2
F F F
1 3 1
11
22
®
F .F F
Así se obtiene:
 7 7
- 7  - 15  18   105 18   1 0 .   -   13 13 13  8  13  -    1 0
0
8.13 13 
 11 11
11  - 15  32   165 32
  0 1 -
- .   -  = 0 1
0
-  13 13
13  8  13    8.13 13
 0 0
1

 0
0 1 15  
1
5
8 8
- +
-  -     

+

 105 - 18   105 - 144   - 39   3
        - 
 1 0 0
8.13 13   1 0 0 8.13   1 0 0 8.13   1 0 0
8

 165 - 32  =  165 - 256  =  - 91  =  - 7
0 1 0   8.13 13   0 1 0
0 1 0
8.13   8.13   0 1
8

 0 0 1   0 0 1
  0 0   0 0

- 15 - 15      - 15 - 15
  
       
8 8
1
8
1
8
0

Respuesta:
3 7 15
, y
8 8 8
x = - y = - z = - .
Ejercicio 7
Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema d ecuaciones:
+ - + = 
3 x 2 y 2 z 3 w
1
3 x y z 2 w
3
3 x 3 y 3 z 3 w
5
+ - + = 
 + + - =
Solución
Justificación: Procederemos a escribir la matriz ampliada:
 3 2 - 2 3 1

 
 3 1 - 1 2 3

  3 3 3 - 3 5
 
PASO 1: En este caso, como hay varios 3 en la fila 3, dividiré toda la fila
3, entre 3, para generar el uno en la primera columna, luego intercambiaré las
filas para que nuestro uno quede donde corresponde, es decir, en la posición
fila 1 con columna 1, todo esto se denota así:
F
3
F «
1 3
Aplicando esta operación se tiene:
 3 3 3 - 3 5   5

 3 2 - 2 3 1    3 3 3 3 3  1 1 1 - 1 3
        3 1 - 1 2 3  =  3 1 - 1 2 3  =  3 1 - 1 2 3

  3 3 3 - 3 5     3 2 - 2 3 1    3 2 - 2 3 1
  
     
5
 
 1
1 1 - 1 
 3

 3 1 - 1 2 3

 3 2 - 2 3
1
  
 

2 ( ) 1 2 F ® -3 .F + F y ( ) 3 1 3 F ® -3 .F + F
Así se obtiene:
5

 
 
 1
1 1 - 1 3

 5
 3 3
- 3 + 1 - 3 - 1 - 3( - 1) + 2 - 3 + 3
 3

 3 3
- 3 + 2 - 3 - 2 - 3( - 1) + 3

 - 5
3
+ 1
 
3
-
+
- +

5 5
   
 1
1 1 - 1 3   1
1 1 - 1    3


 0 - 2 - 4 3 + 2 - 5 + 3  =  0
- 2 - 4 5 - 2

 0 - 1 - 5 3 + 3 - 5 + 1
  0 - 1 - 5 6
- 4
    
   
5
 
 1 1 1 - 1 
 3

 0 -
2
- 4 5 - 2

 0 - 1 - 5 6
- 4
  
 
Para hacer este uno, dividiremos entre -2 , toda la fila 2, esto se denota
así:
F
2
F ®-
2 2
5
 
  5
 1 1 1 - 1 3   1 1 1 - 1
  -
- 3

 2
4 5 - 2   5
  0 = 0 1
2 - 1
-
2
- 2 - 2 - 2    2
 -   -   0 1 - 5 6 - 4   0 - 1 - 5 6
4
  
 
 

5
   1 1
1 - 1
3

 5

 0 1 2 - 1

 2
-   0 -
1 - 5 6
4

 
1 2 1 1 2 F ®-1F + F = F - F y 3 2 3 3 2 F ®1.F + F = F + F
Así se obtiene:
  5
   1 1 1
1 - 2 - 1 -  -  5
   2  - 1
3

 
 0 2 - 5
1

 2
- 4 + 1
  - + -
5  0 1 5 2
6
2
1
1
-
 - + 
 
5 2 5 3
   - +   
 1 0 - 1 - 1 + 5 - 3   1 0 - 1 2   1 0
- 1 2

 2 3   2   2
3 3

 - 5   0 1 2 1 =  0 1
2 - 5   5
 1 = 0 1
2 - 1
2   2   2

       - 12 - - 3 - - 5 7 3 3
0 0
3   0 0 - 3
  7   2   2
  0 0
- 3
     2


 3

 1 0 - 1 2

 2
3

 5
  0 1 2 - 1
2

 - 3

  0 0
-
7 3


 2

Para hacer este uno, dividiré entre -3 , toda la fila 3, esto se denota así:
F
3
F ®-
3 3

 
 - 3   3

 1 0 1 2   1 0 - 1 2

 2   2
3 3

 - 5   5
  0 1 2 1
2  =  0 1 2 - 1
2

 - 3   1

 7 -
  7 - 3 3  0 0
1
-      0 0 2   6

 - 3 - 3

 
 1 0 -
3
1
2

 2
3

 5
  0 1 2
- 1
2

 7 1

  0 0 1
-  6

 
1 3 1 1 3 F ®1.F + F = F + F y ( ) 2 3 2 F ® -2 .F + F
Así se obtiene:
 3 7

 1 0 1
- 2
  2 6 + 1
3

  7  5
  0 1 2
- 2 -  - - 2 + 1
6 2

   1

 7
  0 0
1
-
6
1
2

-
- +

+

 18 - 14   4   1   1

 1 0 0 2 + 3   1 0 0 5   1 0 0 5   1 0 0
5

 12   12   3 3
3 3 3   3

 14 5   7  0 1 0
- - 1  =  0 1 0 - 5 -  =  14 - 15 -   1
 1   0 1 0 1  =  0 1 0
- - 1
6 2 3 2
6 6

 1   1   1   1

 - 7   - 7   - 7   - 7
 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1
  6   6       6
  
  6

Observa como nos queda la matriz, ya reducimos la matriz izquierda
todo lo que podíamos a la matriz identidad, sin embargo, no podemos seguir
reduciendo, cuando esto sucede, se debe rescribir el sistema original,

recordando que la primera columna corresponde a las equis, la segunda
columna a las yes, la tercera columna a las zetas y la cuarta columna a las w,
así:
Observa que las variables x, y y z , quedan dependiendo de w al
despejarlas:
1 5
3 3
1
= - +
1
x w
= -
y w
6
7
1
= +
z w
6
Cuando esto sucede, se dice que el sistema tiene INFINITAS
SOLUCIONES, ya que se puede escribir:
1 5
3 3
1
= - +
= - 1
Î
x w
y w w
6
7
1
= +
z w
6
ℝ
es decir para cada valor real de w , obtenemos valores de x, y y z que
satisfacen el sistema planteado.
Respuesta:

1 5
3 3
1
= - +
= - 1
Î
x w
y w w
6
7
1
= +
z w
6
ℝ
Ejercicio 8
Usar el método de Gauss-Jordan, para calcular si existe, la inversa de la
matriz:
2 4 6
4 5 6
3 1 2
A
 
  =  
 -   
Solución
Justificación: En este caso, donde se nos pide conseguir la matriz
inversa escribiremos la matriz ampliada así:
 2 4 6 1 0 0

 
 4 5 6 0 1 0

  3 1 - 2 0 0 1
 
esto se logra dividiendo toda la fila 1 entre 2, esto se denota así:
F
1
F ®
1 2
 2 4 6 1   1

 0 0   1 2 3 0 0 
 2 2 2 2   2

 4 5 6 0 1 0  =  4 5 6 0 1 0

 3 1 - 2 0 0 1   3 1 -  2 0 0 1
   
   

1
 
 1
2 3 0 0 
 2

 4
5 6 0 1 0

 3
1 - 2 0 0 1
  
 
( ) 2 1 2 F ® -4 .F + F y ( ) 3 1 3 F ® -3 .F + F
Así se obtiene:
1
 
 0 0

 1
2 3 2

 1
 4 4
- 4.2 + 5 - 4.3 + 6 - 4. + 0 - 4.0 + 1 - 4.0 + 0
 2

 3 3
- 3.2 + 1 - 3.3 - 2 
 - 1
3. + 0 - 3.0 + 0 - 3.0 + 1
 

2
- +
- +

1 1
   
 1 2 3 0 0 2   1
2 3 0 0    2


 0 - 8 + 5 - 12 + 6 - 2 + 0 1 0  =  0
- 3 - 6 - 2 1 0

 0 - 6 + 1 - 9 - 2 - 3   + 0
- 5 - 11 - 3
  0 0 1   0 1

 2   2

1
 
 1 2 3 0 0 2

 
 0 - 6 - 2 1 0

 0 - 5 - 11 - 3
 
0 1
3
2
-

 
Para hacer este uno, dividiremos entre -3 , toda la fila 2, esto se denota
así:
F
2
F ®-
2 3

1 1
   
 1 2 3 0 0 2   0 0 
   1 2 3 2

 - 6 - 2 - 1 - 0  =  2 - 1
  0 0 2 0
- 3 - 3 3 3   3 3

 - - -   0 - 5 - 11
 0 5 11 3 - 3
  0 1   
 0 1
 2 2
3
1
3
-
-

   
1

 
 0 0
 1 3 2


 2 1
 0 1
2 - 0
 3 3

 0
- 11
-  3
0 1

2
2
5
-

Ahora haremos los ceros:
( ) 1 2 1 F ® -2 F + F y 3 2 3 F ®5.F + F
Aplicando las operaciones anteriores, se obtiene:
 - 2 + 1  1
   2. - 2.  -  + 0 - 2.0 + 0

 - +
- + 3 2 3
1 2 2 2.
2 3
  
 2 - 1

 0 2 0

 3 3
0 5 -
5
5.2 - 11
 
2 3 1
5. 5. 0 5.0 1
3 2 3
1
    - -  + +     
 - 4 + 1 2   - 8 + 3 2   - 5 2
  0   0   0

 1 0 - 4 + 3 3 2 3   1 0 - 1 6 3   1 0
- 1 6 3

 2 - 1  =  2 1 2 1
 0 1 2 0   0 1 2 - 0    =  0 1
2 - 0
 3 3 3 3 3 3

 0 0 10 - 11   0 0 - 1   0 0
- 1
  10 - 3 - 5   20 - 9 - 5   11 5
 1   1   - 1
 
     
3 2 3 6
3 6 3

 - 5 2

 0

 1 0 - 1 6 3

 2  0 1 2 - 1
0
 3 3

 0 0

 - 
11 5
6
1
1
3
-
 
 
Puedes observar claramente que este uno se logra multiplicando la fila 3
por menos uno, así:
( ) 3 3 F ® -1 F
 - 5 2

 0

 1 0 - 1 6 3

 2 0 1 2 - 1
0
  3 3

 0 0

 - 11 5
- 1

 
6 3
1
PASO 5: Como ya existe el uno, procederemos a hacer los ceros en la
 - 5 2

 0
 1 0 - 6 3


 2 - 1
 0 1 2
0
 3 3

 0 0
1

11 5
 - - 1

 
3
1
6
Ahora haremos éstos ceros:
1 3 1 F ®1.F + F y ( ) 2 3 2 F ® -2 .F + F
Así se obtiene:
11 5 5 2
  - - + -  1 + 0

 1 0 1
1
6 6 3 3

 -  - 11  2  5  1
  0 1 2 2
2   + - 2   - - 2( - 1) + 0
 6  3  3 
3
  0 0
1

 - 11 5
-   1


6 3
-
+

-

 - 11 - 5 5 + 2 -   - 16 7   - 16 7
  1   - 1   - 1

 1 0 0 6 3   1 0 0 6 3   1 0 0
6 3

 11 + 2 - 10 - 1  =  11 + 2 - 11 13 - 11
 0 1 0 2   0 1 0 2   =   0 1 0
2
 3 3 3 3 3 3 3 3

 0 0 1   0 0 1
  0 0

- 11 5 11 5 11 5
 - 1   - - 1   - - 1

     
6 3 6 3
1
6 3
 - 8 7
-   1

 1 0 0
3 3

 13 - 11
 0 1 0
2

3 3

 0 0

 - 1
1 5
- 1

 
6 3
1
Respuesta:
1
8 7
1
3 3
13 11
2
3 3
11 5
1
6 3
A-
 -   - 
 
=  -   
   - -   
 
Ejercicio 9
Cierto estudiante obtuvo, en un examen de Matemática que constaba de
3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos
puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida
en cada una de las preguntas.
Solución
Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que debemos
resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle nombre a
las variables, en este caso:
Sea x el puntaje obtenido en la pregunta número 1
Sea y el puntaje obtenido en la pregunta número 2
Sea z el puntaje obtenido en la pregunta número 3

· En la frase: en un examen de Matemática que constaba de 3 preguntas,
una calificación de 8 puntos nos lleva a escribir la ecuación:
x + y + z = 8.
· En la frase: En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la
primera nos permite escribir la ecuación: y = x + 2 .
· La frase: En la segunda pregunta sacó un punto menos que en la
tercera, nos permite escribir: y = z -1.
+ + =
=
2
8
1
x
y
y
z
y
z
x
=
+
-

=
=
0 2
 + +
- +
+ 0

8
1
x y
x
x
z
y
y z
z
+ - = -
 1 1 1 8

  -  1 1 0 2

  0 1 - 1 - 1
 
PASO 1: En este caso ya en la primera columna esta el número 1,
obsérvalo destacado en azul:
 1
1 1 8

 -   1 1 0 2

  0 1 - 1 - 1
 
De manera que pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del

 1
1 1 8

 -

 1
1 0 2

0 1
- 1 - 1

 
Como ya hay un cero, y solo falta el cero de la fila 2, aplicaremos:
2 1 2 F ®1.F + F
Así se obtiene:
 1 1 1 8   1
1 1 8

  1 1 + +    1 1 0 8
+ 2  =  2 1 10

 - -   - - 
-
1
0
 0 1 1 1   0
1
1 1

 1 1 1 8

 
 0 2
1 10

  0 1 - 1 - 1
 
Para hacer este uno, intercambiaré la fila 2 por la fila 3, así:
2 3 F « F
 1 1 1 8

   0 1
- 1 - 1

  0 2 1 10


 1 1 1 8

 - -   0 1
1 1

  0 2 1 1
0


( ) 1 2 1 F ® -1 F + F y ( ) 3 2 3 F ® -2 .F + F
Así se obtiene:

1 1 ( 1) 8 ( 1)
0 1 1
0 2( 1) 1 2( 1)
 1
-
1
- - - - 
 
 1
- - 
 
- 2 + 2
- - + - - + 10
 
 1 0 1 + 1 8 + 1   1 0
2 9

 - -  =   0 1 1 1   0 1
- -  1 1

 0 0 2 + 1 2
+ 1 0      0 0
3 12
 
 1 0 2 9

   0 1 - 1 - 1

  0 0 3 12


así:
F
3
F ®
3 3
 
   
     - -  =  - - 
   
     
 
1 0 2 9 1 0 2 9
0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 3 12 0 0 1
4
3 3 3
3
 1 0 2
9

  0 1 -
1
-  1

  0 0 1
4


( ) 1 3 1 F ® -2 F + F y 2 3 2 F ®1.F + F
Así se obtiene:

 - +   - +   
       -  =   =  
 
1 0 2 2 2(4) 9 1 0 0 8 9 1 0 0
1
0 1 1 1 4 1 0 1 0
3 0 1 0
3
0 0 1
4 0
0 1 4 0 0 1 4
- +
-
   
     
Respuesta: x =1, y = 3 y z = 4
Ejercicio 10
Determine usando el método de Gauss-Jordan la solución del siguiente sistema
de ecuaciones:
+ = + 
3 2 1
3 2 8 5
3 1 2
y x z
x z y
z x y
+ = - 
 - = -
Solución
Justificación: Para dar respuesta, ordenamos el sistema, para poder
aplicar el método de Gauss-Jordan, así:
+ - = 
2 3 1
3 5 2 8
x y z
x y z
x y z
+ + = 
- + + =
2 3 1
 2 3 - 1 1

 
 3 5 2 8

  - 1 2 3 1
 
PASO 1: En este caso intercambiare la fila 1 con la 3, pero multiplicando
por menos uno la fila 3, es decir:
1 3 F «-F
 1 - 2 - 3 - 1

 
 3 5 2 8

  2 3 - 1 1
 

 1
- 2 - 3 - 1

 
 3
5 2 8

   2 3 - 1 1

Para ejecutar estos ceros, aplicaremos:
( ) 2 1 2 F ® -3 .F + F y ( ) 3 1 3 F ® -2 .F + F
Así se obtiene:
 1
- 2 - 3 - 1

  - 3 +
- - + - - + - - +  3
3( 2) 5 3( 3) 2 3( 1) 8

  - 2 + 2 - 2( - 2) + 3 - 2( - 3) - 1 - 2
( - 1)
+ 1
 
 1
- 2 - 3 - 1  1 - 2 - 3 - 1

 +     0 6 5 9 + 2 3 + 8  =  0
11 11 11

  0 4 + 3 6 - 1 2 + 1      0
7 5 3

 1 - 2 - 3 - 1

 
 0 1 1
11 11

  0 7 5
3


Para hacer este uno, dividiré toda la fila 2 entre 11, así:
F
2
F ®
2 11
 1 - 2 - 3 - 1

   1 - 2 - 3 - 1

 11
11 11
0  =   0 1
1 1
 1
1
11 11
  
    0 7 5 3
  0 7 5 3


 2 - - 
1 3 1
0 1
1 1
0 7 5 3

-


1 2 1 F ®2.F + F y ( ) 3 2 3 F ® -7 .F + F
Así se obtiene:
 1 2
-
2
2.1 - 3 2.1 - 1

 
 0 1
1 1

  0 - 7
+
7 - 7.1 + 5 - 7.1
+ 3
 
 1 0 2 - 3 2 - 1   1 0
- 1 1

   0 1 1 1  =    0 1
1 1

    0 0
- 7 + 5 - 7 + 3   0 0
- 2 - 4
 
 1 0 - 1 1

 
 0 1 1 1

  0 0 - 2 - 4
 
Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 3 entre -2 , esto se denota
así:
F
3
F ®-
3 2
 
 1 0 - 1 1   1 0 - 1 1

  =    0 1 1 1   0 1 1 1

 -
2 - 4    0 0 1 2
    0
0
  - 2 -
 2

-
 1 0 1
1

 
 0 1 1
1

  0 0 1 2


1 3 1 F ® F + F y 2 2 3 F ®F - F

Así se obtiene:
 1 0 - 1 +
1
1 + 2   1 0 0
3

  0 1 1 -
   1
1 - 2  =  0 1 0
- 1

  0 0 1 2
  
  0 0 1
2

Respuesta: x = 3, y = -1 y z = 2
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Usa el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:



- + + =
2x y z 1
+ + =
7x 4y 3z 2
+ + =
2x 7y 6z 3
Ejercicio 2

Usa el método de Gauss-Jordan para determinar el valor del número
xÎIR, tal que la matriz:
1 0 1
0 0 x
1 1 0
M
 
  =  
 -   
sea invertible y halla la matriz inversa.
Ejercicio 3
Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado con el método de
Gauss-Jordan:
- + + = - 
3 2 4 4
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
+ - - = 
5 9 0
- + + = 
 + - - = -
Ejercicio 4
2 2 2
5 4 3 5
Determina, en caso de ser posible, la inversa de la matriz:
1 2 3
1 4 9
1 1 0
M
 
  =  
 -   
utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan.
Ejercicio 5
A continuación se dan dos columnas clasificadas de la siguiente manera:
en la primera se presentan tres matrices matriz obtenidas al aplicar el método
de Gauss-Jordan , en forma incompleta, para hallar la matriz inversa de una
matriz y en la segunda se indica las posibles matrices inversas. Indica con una
flecha, la correspondencia entre los elementos de la primera y segunda
columna.

 -
0 1 2 0
a.  

 

1 1 1 1

 

 -
3 2
 

1 1


1 0 1 1
b.   
 

- -
-
0 1 2 0

 

- -
2 0
 

1 1

 -
2 1 5 0
c.  

 

1 0 1 1

 

 -
2 0
 

1 1

 

- -
 

1 1
1 0
Ejercicio 6

Usa el método de Gauss-Jordan para determinar la inversa de la
siguiente matriz:
0,8 0,5
0,6 0,7
A
 - 
=   - 
Ejercicio 7
Mediante el método de Gauss-Jordan determina la inversa de la matriz:
1/ 2 1/ 4
1/ 4 2
A
 
=  
 
Ejercicio 8
A continuación hacemos una serie de afirmaciones en relación al
método de Gauss-Jordan. Indica con una V o una F, en el espacio
correspondiente, según que la afirmación hecha sea verdadera o falsa,
respectivamente .
a. El método de Gauss-Jordan sirve para determinar la inversa, en caso de
existir, de una matriz cuadrada_________
b. Al aplicar el método Gauss-Jordan para determinar la inversa de una matriz

 -
0 0 2 0
M, se obtuvo la matriz  

 

1 0 1 1
, entonces la matriz M tiene inversa
________
c. En el proceso de aplicación del método Gauss-Jordan para determinar la

 - -
0 2 2 8
inversa de una matriz M, se obtuvo la matriz  

 

1 0 4 1
, entonces
- 4 3

M- 1 =  
 1 4

________
Ejercicio 9
Usa el método de Gauss-Jordan para determinar los valores de x,yÎIR,
tales que la matriz:
1 y y
x 1 1
2 1 0
M
 
  =  
 -   
sea invertible y halla la matriz inversa.
Ejercicio 10
En una fábrica de camas se producen dos modelos de camas de
madera: m1 y m2. Para la fabricación de una cama del modelo m1 se utilizan

125 tornillos y 100 clavos, mientras que para la elaboración de una cama del
modelo m2 se necesitan 300 tornillos y 200 clavos. Si se disponen de 35000
tornillos y 75000 clavos.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que te permita determinar, el
número de camas de los modelos m1 y m2, que se pueden fabricar de manera
que se utilicen todos los tornillos y todos los clavos.

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