1. MÉTODO DE GAUSS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Tema 3.6 * 1º BCS

2. • Repasemos…
• Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación
que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y
sumarlas.
• Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas
son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o
varias de las siguientes operaciones:
– Se multiplica una ecuación por un número.
– Se cambia el orden de las ecuaciones.
– Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de
otras.
– Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número.

3. • Sea: a.x + b.y + c.z = d
• a´.x + b’.y + c’.z = d’
• a”.x + b”.y + c”.z = d”
• Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a
• Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a
• Queda: a.x + b.y + c.z = d
• + e.y + f.z = g
• + e’.y + f’z = g’
• Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales.
MÉTODO DE GAUSS

4. • Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e
•
• Y obtengo finalmente:
• a.x + b.y + c.z = d
• + e.y + f.z = g
• h.z = j
• Si h =0 , j <> 0  S. INCOMPATIBLE
• La solución del sistema será:
• z = j / h
• y = ( g – f.z ) / e
• x = ( d – c.z – b.y ) / a , en ese orden.
• Este método sirve cualquiera que sea el número de incógnitas.
… MÉTODO DE GAUSS

5. • Sea: x - y + z = 1
• - x + 2 y + z = 2
• 3.x – 2.y - z = 0
• F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1
• Queda: x - y + z = 1
• y + 2.z = 3
• y - 4.z = -3
• F3 = F3 – F2
•
• Y obtengo finalmente:
• x - y + z = 1
• y + 2.z = 3
• -6.z = -6
• La solución del sistema será:
• z = -6 / -6 = 1
• y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1
• x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = 1 , en ese orden.
EJEMPLO_1 DEL MÉTODO DE GAUSS

6. • Sea: x - y + 2.z = 4
• - 2.x + 2 y + z = 2
• 3.x + 5.y - z = 2
• F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1
• Sea: x - y + 2.z = 4
• 5. z = 10
• 8.y - 7.z = - 10
• Permuto la 2º y 3º fila
•
• Y obtengo finalmente:
• x - y + 2.z = 4
• 8.y - 7.z = - 10
• 5. z = 10
• La solución del sistema será:
• z = 10 / 5 = 2
• y = ( - 10 + 7.2 ) / 8 = 1 / 2
• x = ( 4 – 2.2 + (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2 , en ese orden.
EJEMPLO_2 DEL MÉTODO DE GAUSS

7. • Sea: 3x - 6y + 2.z = 4
• - 2.x + 2 y + z = 2
• 5.x + 5.y - z = 2
• F1 = F1 : 3 ,, F2 = F2 : (-2) ,, F3 = F3 : 5
• Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3
• x - y - ½ z = - 1
• x + y - 1/5 z = 2 /5
• Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila
• F2 = F2 – F1 ,, F3 = F3 – F1
•
• Y obtengo:
• x - 2y + 2/3.z = 4/3
• y - 7/6. z = - 7/3
• 3y - 13/15 z = - 14 /15
• F3 = F3 – 3xF2
x - 2y + 2/3.z = 4/3
• y - 7/6. z = - 7/3
• 79/30 z = 91 /15
EJEMPLO_3 DEL MÉTODO DE GAUSS

8. • El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer
coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1).
• Sea: a.x + b.y + c.z = d
• a´.x + b’.y + c’.z = d’
• a”.x + b”.y + c”.z = d”
• Divido toda la primera fila (ecuación) entre a.
• Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”
• Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’
• Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e
Clave práctica del Método de Gauss