WQF

1. Taller 2 Diseño de Compensadores Basados en la Respuesta en el Tiempo Utilizando la
Herramienta Sisotool.
Julian David Alcala Forero
2420171001
Johan Steven Avila Paramo
2420171062
Taller para obtener calificación en la Materia de Control y Laboratorio
Prof. Oscar Barrero PhD
Universidad de Ibagué
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Electrónica
Ibagué
2020

2. Taller 2 Diseño de Compensadores Basados en la Respuesta en el Tiempo Utilizando la
Herramienta Sisotool.
Para el siguiente taller se requiere diseñar un sistema de control en tiempo continuo y
tiempo discreto para el tanque 1 respecto al flujo de entrada de la figura 1, que cumpla
con un tiempo de elevación tr de 5s y un sobre impulso Mp del 10%.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒𝑠.
𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙 − 𝐼𝑛𝑔. 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑑𝑜𝑧𝑎, 𝑃ℎ𝐷.
Donde g=9.8 𝑚/𝑠2
, 𝑎1 = 3𝑚2
, 𝑎2 = 5𝑚2
, 𝑟1 = 10𝑘
𝑃𝑎
𝑚3 , 𝑟2 = 20𝑘
𝑃𝑎
𝑚3 , 𝜌𝐻2𝑂 = 1000
kg/𝑚3
Para comenzar lo primero que se hará es hallar la función de transferencia del sistema,
utilizando la técnica de balance de masas para el tanque 1 y tanque 2.
𝑓𝑜𝑢𝑡1
(𝑡) = 𝑓12 =
△ 𝑝
𝑟1
=
𝑝1 − 𝑝2
𝑟1
=
𝑝𝑎𝑡𝑚 − 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ ℎ1(𝑡) − 𝑝𝑎𝑡𝑚 − 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ ℎ2(𝑡)
𝑟1
=
𝜌 ∗ 𝑔(ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡))
𝑟1
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1. 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒
𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 . 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Balance de masas para 𝑇1
𝑑
𝑑𝑡
𝑚1(𝑡) = 𝑚
̇ 𝑖𝑛1
-𝑚
̇ 𝑜𝑢𝑡1

3. 𝜌 ∗ 𝐴1
𝑑
𝑑𝑡
ℎ1(𝑡) = 𝜌 ∗ 𝑓𝑖𝑛(𝑡)−𝜌 ∗ 𝑓𝑜𝑢𝑡1
(𝑡)
𝐴1
𝑑
𝑑𝑡
ℎ1(𝑡) = 𝑓𝑖𝑛(𝑡)−𝑓𝑜𝑢𝑡1
(𝑡)
𝑎1
𝑑
𝑑𝑡
ℎ1(𝑡) =
𝑓𝑖𝑛(𝑡)
𝑎1
−
𝜌 ∗ 𝑔(ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡))
𝑅1 ∗ 𝑎1
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 . 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇1
𝑓𝑖𝑛(𝑡) = 𝑎1
𝑑
𝑑𝑡
ℎ1(𝑡) +
𝜌 ∗ 𝑔(ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡))
𝑎1
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3. 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3. 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Balance de masas para 𝑇2
𝑑
𝑑𝑡
𝑚2(𝑡) = 𝑚
̇ 𝑜𝑢𝑡1
-𝑚
̇ 𝑜𝑢𝑡2
𝜌 ∗ 𝑎2
𝑑
𝑑𝑡
ℎ2(𝑡) = 𝜌 ∗ 𝑓𝑜𝑢𝑡1
(𝑡)−𝜌 ∗ 𝑓𝑜𝑢𝑡2
(𝑡)
𝑎2
𝑑
𝑑𝑡
ℎ2(𝑡) = 𝑓𝑜𝑢𝑡1
−𝑓𝑜𝑢𝑡2
(𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
ℎ2(𝑡) =
𝜌 ∗ 𝑔(ℎ2(𝑡))
𝑅1 ∗ 𝐴2
−
𝜌 ∗ 𝑔(ℎ2(𝑡))
𝐴2
[
1
𝑅1
+
1
𝑅2
]
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4. 𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇2
Para esté sistema la acción de control va a ir centrada a manejar el tanque 1, así que a
continuación se despeja ℎ2 con el fin de incluirla dentro la ecuación de 𝑓𝑖𝑛.
Aplicando LaPlace
ℎ2(𝑠) ∗ [
𝑠 ∗ 𝑟1 ∗ 𝑎2
𝑝 ∗ 𝑔
+ 1 +
𝑟1
𝑟2
] = ℎ1(𝑠)
ℎ2(𝑠) =
ℎ_1 (𝑠)
[
𝑠 ∗ 𝑟1 ∗ 𝑎2
𝑝 ∗ 𝑔
+ 1 +
𝑟1
𝑟2
]
ℎ2(𝑠) =
ℎ1(𝑠) ∗
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟1 ∗ 𝑎2
[𝑠 +
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟1 ∗ 𝑎2
+
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟2 ∗ 𝑎2
]
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4. 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2
Reemplazando ℎ2(𝑠) en 𝑓𝑖𝑛 y factorizando ℎ1(𝑠)

4. 𝐺𝑝(𝑠) =
ℎ1(𝑠)
𝐹𝑖𝑛(𝑠)
=
𝑠
1
𝑎1 +
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟1𝑟2𝑎1𝑎2
∗ (𝑟1 + 𝑟2)
𝑠2 + 𝑠 (
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟1 ∗ 𝑎2
+
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟1 ∗ 𝑎1
+
𝑝 ∗ 𝑔
𝑟2𝑎2
) +
𝑝2 ∗ 𝑔2
𝑟1 ∗ 𝑟2 ∗ 𝑎1 ∗ 𝑎2
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐺𝑝(𝑠)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3. 𝑚𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎
Dado que la arquitectura de la arquitectura del sistema de control en lazo cerrado que se
quiere diseñar es el mostrado en la siguiente figura:
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4 − 𝐴𝑟𝑞𝑢𝑖𝑡𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜
Y Con la función de transferencia de la planta Gp(s) calculada se procede a comenzar con
el desarrollo del diseño del controlador.
Seguidamente, con base al requerimiento inicial de un tiempo de elevación 𝑡𝑟 de 5s, el
cual permite relacionarlo directamente con la frecuencia normal no amortiguada ω𝑛, con
la siguiente expresión aproximada que logra garantizar un ω𝑛 para el tiempo de elevación
que se solicitado:
𝜔𝑛 ≈
1.8
𝑡𝑟
= 0.36 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Y con el fin de que el sistema tenga un sobre impulso del 10%, se procede a calcular zita
el coeficiente de amortiguamiento del sistema 𝜁 :

5. 𝜁 = −
𝑙𝑛|𝑀𝑝|
√𝑙𝑛2|𝑀𝑝| + 𝜋2
= −
𝑙𝑛|0.1|
√𝑙𝑛2|0.1| + 𝜋2
= 0.5912
Ya con la zeta y 𝜔𝑛 se deben calcular la frecuencia natural amortiguada ω𝑑 y el tiempo
de establecimiento
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 = 0.36√1 − 0.59122 = 0.2904 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑡𝑠 =
4.6
𝜁 ∗ 𝜔𝑛
= 21.6 𝑠
Con estos valores calculados ya se puede comenzar con el planteamiento
En primer lugar, se va a diseñar el controlador en tiempo continuo, como ya se tiene la
planta en tiempo continuo y no se debe de discretizar se procede a hallar los polos
deseados 𝑠𝑑 de la siguiente manera:
𝑠𝑑 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑑 = −(0.5912)(0.36) ± 𝑗(0.2904) = −0.2128 ± 𝑗0.2904
Con los polos deseados se pasa a hacer cumplir la condición de fase, para lo cual lo
primero que se debe tener en cuenta es que si la planta posee por lo menos un polo en s=0
con el fin de garantizar un error cero en estado estable ante una entrada step.
En función de la ecuación característica de sistema de control en lazo cerrado
1 + 𝐶(𝑠)𝐺𝑝(𝑠) = 0
Se toma la forma más simple de un compensador:
𝐶(𝑠) =
𝑘(𝑠 + 𝑧1)
𝑠 + 𝑝1
Como la planta no contiene un polo en s=0, se le debe agregar dentro del controlador,𝑝1 =
0
𝐶(𝑠) =
𝑘(𝑠 + 𝑧1)
𝑠
𝐶′
(𝑠) = (𝑠 + 𝑧1)
𝐶(𝑠) =
𝑘𝐶′(𝑠)
𝑠
La condición de fase exige que la fase del producto entre el controlador y la planta sea de
± 180 grados.
∠𝐶(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)|𝑠=𝑠𝑑
= ±180°
Se reemplaza
𝐶(𝑠) = ∠
𝐶′(𝑠)
𝑠
|𝑠=𝑠𝑑

6. ∠
𝐶′(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)
𝑠
|𝑠=𝑠𝑑
= ±180°
Como lo que se desea conocer es la fase de 𝐶′(𝑠), se halla el aporte de fase de 𝐺𝑝(𝑠) y
1
𝑠
∠𝐶′(𝑠)|𝑠=𝑠𝑑
+ ∠𝐺𝑝(𝑠)|𝑠=𝑠𝑑
+ ∠
1
𝑠
|𝑠=𝑠𝑑
= ±180°
∠𝐶′(𝑠)|𝑠=𝑠𝑑
= ±180° − ∠𝐺𝑝(𝑠)|𝑠=𝑠𝑑
− ∠
1
𝑠
|𝑠=𝑠𝑑
∠𝐶′(𝑠𝑑) = ±180° − (−83.4676°) − (−126.239°)
∠𝐶′(𝑠𝑑) = ±180° + 209.7066°
Por facilidad de cálculos, se aconseja trabajar ángulos menores a 180°, por lo tanto, en
este caso se tomó −180° :
∠𝐶′(𝑠𝑑) = −180° + 209.7066°
∠𝐶′(𝑠𝑑) = 29.7066°
Ya conocida la fase de C’(s) se procede a calcular el cero correspondiente a
𝐶′
(𝑠) = (𝑠 + 𝑧1)
tan ∠𝐶′(𝑠) =
𝑖𝑚𝑔(𝑠 + 𝑧1)
𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑠 + 𝑧1)
tan ∠𝐶′(𝑠) =
𝑖𝑚𝑔(𝑠)
𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑠 + 𝑧1)
|𝑠=−0.2128+𝑗0.2904
𝑡𝑎𝑛 (29.7066°) =
0.2904
−0.2128 + 𝑧1
𝑧1 =
0.2904
𝑡𝑎𝑛 (29.7066°)
+ 0.2128
𝑧1 = 0.7217

7. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒
Luego de realizar la condición de fase se puede pasar a hacer la condición de magnitud,
la cual dice que la magnitud entre el producto del controlador por la planta debe ser igual
a 1.
⌊𝐶(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)⌋ = 1
Teniendo en cuenta que el controlador está expresado por la siguiente función:
𝐶(𝑠) =
𝑘(𝑠 + 0.7217)
𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
Se evaluando s=sd
|
𝐶′(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)
𝑠
| |𝑠=𝑠𝑑
= 1
|
0.3333𝑘(𝑠 + 0.294)(𝑠 + 0.7217)
𝑠(𝑠 + 0.5639)(𝑠 + 0.0568)
| |𝑠=𝑠𝑑
= 1
0.3333𝑘 |
(𝑠 + 0.294)(𝑠 + 0.7217)
𝑠(𝑠 + 0.5639)(𝑠 + 0.0568)
| |𝑠=𝑠𝑑
= 1
𝑘 =
1
0.3333 |
(𝑠 + 0.294)(𝑠 + 0.7217)
𝑠(𝑠 + 0.5639)(𝑠 + 0.0568)
| |𝑠=𝑠𝑑
𝑘 = 0.9182
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑
Finalmente, la función de transferencia de controlador es la siguiente:

8. 𝐶(𝑠) =
0.9181(𝑠 + 0.7217)
𝑠
Para validar el diseño se calcula la función de transferencia pulso en lazo cerrado 𝐺𝑐𝑙(𝑠)
𝐺𝑐𝑙(𝑠) =
𝐶(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)
1 + 𝐶(𝑠)𝐺𝑝(𝑠)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Como se puede notar los polos resultantes son exactamente los mismo que los polos
deseados por lo tanto se puede decir que el diseño en cuanto a calculos está de forma
correcta.

9. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜
Como se observa en la gráfica, se tiene un sobre impulso mayor al 10% y un tr menor al
que se solicita. Así que para lograr ajustar estos parámetros más a lo real o a lo que se
tiene en los requerimientos, se va a emplear la herramienta de Matlab llamada sisotool.
Para lograr acceder a está interfaz lo primero que se debe hacer es escribir sisotool en
Command Window el cual abrirá la siguiente ventana.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 10. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜
La arquitectura del controlador que se va a seleccionar es la primera, que en esté caso es
la que viene predetermina y que coincide con el modelo que se está haciendo:

10. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 11. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑜, 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝐴𝑟𝑐ℎ𝑖𝑡𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒
Siguiendo las opciones para ingresar los datos que se van a modelar que en esté caso serán
la planta Gp(s) y el controlador C(s) en tiempo continuo, se escoge el recuadro “System
Data” el cual desplegará la siguiente ventana y se ingresarán los datos correspondientes.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜, 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
La siguiente pestaña es “Compensador Editor”, aquí se puede observar el compensador
calculado en el workspace expresado de una manera un poco distinta, pero sin perder sus
componentes. Además, del el valor de la ganancia k y los valores del cero.

11. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 13. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐸𝑑𝑖𝑡𝑜𝑟
Luego se dirige a la pestaña “Graphical Tuning” donde se escoge la cantidad y el tipo de
graficas que se quiere desplegar, por el momento y para el sentido de esté taller solamente
se va a acceder al plot 1 denominado “Root Locus” o lugar geometrico de las raices, el
cual se abrirá luego de hacer click en “Show Design Plot”.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 13. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐺𝑟𝑎𝑝ℎ𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑇𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔
En esta grafica podemos observar que los polos en lazo cerrado son los puntos fucsias,
Los polos y los ceros del controlador están representados por cruces y puntos rojos,
mientras que los de la planta son de color azul.

12. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 14. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑅𝑜𝑜𝑡 𝑙𝑜𝑐𝑢𝑠
De igual manera, como se viene haciendo a continación se accede a la pestaña “Analysis
Plots”, la cual va a permitir escoger que tipos de graficas resultates se quieren visualizar,
en el caso de esté taller solamente se va escoger el plot 1 y plot 2 con entradas step para
el sistema de lazo cerrado entre la referencia y la salida de la planta,además de la de
referencia respecto a la acción de control que de forma automatica generará dichas
graficas.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 15. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑦𝑠𝑖𝑠 𝑝𝑙𝑜𝑡𝑠

13. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 16. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐶𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝐿𝑜𝑜𝑝 𝑟 𝑡𝑜 𝑦 𝑎𝑛𝑑 𝑟 𝑡𝑜 𝑢
De las 3 gráficas anteriores es importante decir que en primera instancia la gráfica del
root locus va permite mover los los polos y ceros del compensador y la planta podemos
también ajustar el tiempo de establecimiento, el tiempo de elevación, sobre impulso y la
acción de control que están representadas en las 2 últimas graficas.
Para lo cual se tiene que tener en cuenta que, al momento de ajustar los requerimientos
de diseño iniciales, la acción de control final no debe ser muy diferente a la que
inicialmente tenía el sistema.
Entonces, como lo que se busca es un tiempo de establecimiento y sobre impulso
específicos, lo que se va a hacer es variar el polo del compensador, ya que si solamente
se varían los polos deseados se estaría solamente alterando la ganancia y como se vio en
el taller pasado en estos casos alterar la ganancia no va a resolver el problema.
Después de jugar un buen rato con los polos y ceros se va logrando asegurar los
requerimientos iniciales mostrados a continuación.

14. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 17. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑅𝑜𝑜𝑡 𝐿𝑜𝑐𝑢𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 18. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
Como se puede ver en las graficas se logra llegar a los requerimientos iniciales de forma
precisa sin exceder la acción de control inicial y tratando de dejar un tiempo de
establecimiento cercano al original, se consigue tener un tiempo de elevación de 5
segundos y un sobre impulso del 10%.
Para guardar el diseño se selecciona la opción “storage design” para ver los valores
finales.

15. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 19. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
Se obtiene el siguiente controlador:
𝐶(𝑠) =
1.1959 ∗ (𝑠 + 0.2336)
𝑠
Con esté nuevo controlador y función de transferencia pulso de lazo cerrado se compara
con la señal original.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 20. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏
− 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Y para terminar el diseño del compensador en tiempo continuo y corroborar que el
sistema cumple con todos los requisitos, se hace la simulación en simulink.

16. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 21. 𝑆𝑖𝑚𝑢𝑙𝑖𝑛𝑘 − 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 22. 𝑆𝑖𝑚𝑢𝑙𝑖𝑛𝑘 − 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜
Como se logra observar en la grafica la señal representada en azul es la señal diseñada
sin afinar , se nota que está señal tiene un sobre impulso muy superior al 10% y un tiempo
de elevación menor al que se solicita.Por otro lado, si se observa la señal representada en
rojo se puede denotar que su sobre impulso es mucho menor respecto a la original y un
tiempo de elevación de 5s, por lo que se puede concluir que el afinamiento con la
herramienta sisotool fue exitoso.
Luego de tener el diseño en tiempo continuo pasamos a hacer el diseño del compensador
en tiempo discreto.
Para comenzar con el diseño se define el tiempo de muestreo
Como del diseño en tiempo continuo tenemos ya algunos datos también se utilizan para
calcular acá.
Se calcula el periodo de oscilación senoidal amortiguada 𝑇𝑑 , con la siguiente relación:
𝑇𝑑 =
2𝜋
𝜔𝑑
=
2𝜋
0.2904
= 21.6392 𝑠

17. 21.6392
30
≤ 𝑇 ≤
21.6392
10
Y se toma el promedio entre el valor máximo y valor mínimo del periodo de muestreo
𝑇 = 1.4 𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 23. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜
Y como ya se tiene 𝑀𝑝 𝑦 𝜁 calculados, se procede a hallar los polos deseados 𝑧𝑑
𝑧𝑑 = 𝑒𝑇𝑠𝑑 = 𝑒(1.4)(−0.2128±𝑗0.2904)
Dando como resultado:
𝑧𝑑 = 0.6818 + 0.2935𝑖
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 24. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑧𝑑
De igual manera se calcula la condición de fase, también se verifica si la planta tiene
algún polo en z=1, si por lo contrario no lo tiene se le debe colocar dentro del controlador.
Primero se necesita discretizar la planta multiplicando por la función zoh o retenedor de
orden cero.
𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1
)𝑍 {
𝐺𝑝(𝑠)
𝑠
}
𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1
)𝑍 {
0.3333(𝑠 + 0.294)
𝑠(𝑠 + 0.5639)(𝑠 + 0.0568)
}
𝐺(𝑧) = 0.3333(1 − 𝑧−1
)𝑍 {
(𝑠 + 0.294)
𝑠(𝑠 + 0.5639)(𝑠 + 0.0568)
}
Para obtener la función de transferencia de la planta G(z) discretizada se hace uso de la
herramienta Matlab, así que se obtiene lo siguiente:

18. 𝐺(𝑧) =
0.3816(𝑧 − 0.6654)
(𝑧 − 0.9236)(𝑧 − 0.4541)
Como la planta no posee polos en z=1 se le coloca uno dentro del controlador
𝐶(𝑧) =
𝐶′(𝑧)
𝑧 − 1
De tal manera que el producto de la planta por el controlador será igual a:
𝐶(𝑧)𝐺(𝑧) =
0.3816(𝑧 − 0.6654)
(𝑧 − 0.9236)(𝑧 − 0.4541)
𝐶′(𝑧)
(𝑧 − 1)
Por consiguiente, se procede a hacer cumplir la condición de fase y a calcular ∠𝐶′(𝑧𝑑):
∠
𝐶′(𝑧)𝐺(𝑧)
𝑧 − 1
|
𝑧=𝑧𝑑
= ±180°
∠𝐶′(𝑧)|𝑧=𝑧𝑑
+ ∠𝐺(𝑧)|𝑧=𝑧𝑑
+ ∠
1
𝑧 − 1
|
𝑧=𝑧𝑑
= ±180°
∠𝐶′(𝑧)|𝑧=𝑧𝑑
= ±180° − ∠𝐺(𝑧)|𝑧=𝑧𝑑
− ∠
1
𝑧 − 1
|
𝑧=𝑧𝑑
Se calculan las fases de
1
𝑧−1
𝑦 𝐺(𝑧) 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 𝑧𝑑
∠
1
𝑧 − 1
=
1
0.6818 + 0.2935𝑖 − 1
= −1.6980 − 1.5662𝑖
=> tan−1
𝑖𝑚𝑔
𝑟𝑒𝑎𝑙
= tan−1
−1.5662
−1.6980
= −137.3
∠𝐺(𝑧) = ∠ =
0.3816(𝑧 − 0.6654)
(𝑧 − 0.9236)(𝑧 − 0.4541)
=
0.3816(0.6818 + 0.2935𝑖 − 0.6654)
(0.6818 + 0.2935𝑖 − 0.9236)(0.6818 + 0.2935𝑖 − 0.4541)
= −0.0675 − 0.7912𝑖
=> tan−1
𝑖𝑚𝑔
𝑟𝑒𝑎𝑙
= tan−1
−0.7912
−0.0675
= −94.87
∠𝐶′(𝑧𝑑) = ±180° − (−94.87°) − (−137.3°)
∠𝐶′(𝑧𝑑) = ±180° + 232.1787°

19. Por la misma razón que en tiempo continuo, se toma −180°, así:
∠𝐶′(𝑧𝑑) = −180° + 232.1787°
∠𝐶′(𝑧𝑑) = 52.1787°
Debido a que, la fase de 𝐶′(𝑧) es positiva, se considera que, la función de transferencia
𝐶′(𝑧) puede tomar la siguiente forma:
𝐶′(𝑧) = 𝑘(𝑧 − 𝑧1)
Por lo que se procede a calcular el cero definido por 𝑧1
∠𝐶′(𝑧𝑑) = 𝛳
tan 𝛳 =
𝑖𝑚𝑔(𝑧𝑑 − 𝑧1)
𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑧𝑑 − 𝑧1)
tan 𝛳 =
𝑖𝑚𝑔(𝑧𝑑)
𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑧𝑑 − 𝑧1)
tan 𝛳 =
0.2935
0.6818 − 𝑧1
𝑧1 = −
0.2957
tan 52.1787
+ 0.6818
𝑧1 = 0.4540
Por lo tanto, la función de transferencia del controlador 𝐶′(𝑧) que hace cumplir la
condición de fase es:
𝐶′(𝑧) = 𝑘(𝑧 − 0.4540)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 23. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒
Con la condición de fase calculada se verifica la condición de magnitud de igual forma
que en tiempo continuo.
⌈𝐶(𝑧)𝐺(𝑧)⌉ = 1

20. |
𝐶′(𝑧)𝐺(𝑧)
𝑧 − 1
| |
𝑧=𝑧𝑑
= 1
|
0.3816(𝑧 − 0.4540)(𝑧 − 0.6654)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9236)(𝑧 − 0.4541)
| |
𝑧=𝑧𝑑
= 1
0.3816𝑘 |
(𝑧 − 0.4540)(𝑧 − 0.6654)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9236)(𝑧 − 0.4541)
| |
𝑧=𝑧𝑑
= 1
𝑘 =
1
0.3818 |
(𝑧 − 0.4540)(𝑧 − 0.6654)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9236)(𝑧 − 0.4541)
| |
𝑧=𝑧𝑑
Como resultado la ganancia 𝑘 es de:
𝑘 = 1.4670
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 24. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑
Por tanto, la función de transferencia de 𝐶′(𝑧) está dada por:
𝐶′(𝑧) = 1.4670(𝑧 − 0.0.454)
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 25. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
Para validar se hace como en tiempo continuo se calcula la función de transferencia pulso
en lazo cerrado 𝐺𝑐𝑙(𝑧)
𝐺𝑐𝑙(𝑧) =
𝐶(𝑧)𝐺(𝑧)
1 + 𝐶(𝑧)𝐺(𝑧)

21. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 26. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 27. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 28. 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 − 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜

22. Como se puede observar el tiempo de elevación 𝑡𝑟 es de 2.37 segundos, cuando esté
debería ser de 5 segundos,de igual manera el sobreimpulso es de 26.7% cuando ha de ser
de un 10%, es por esto que se debe aplicar un afinamiento al diseño para que cumpla con
lo solicitado.
Por lo tanto, nuevamente se hace uso de la herramienta Sisotool. Como ya se sabe que la
arquitectura viene predeterminada con la que se está usando para esté diseño, lo único
que se debe de modificar es el System Data para que el sistema cargue los valores de la
planta discretizada Gz y el compensador recién calculado Cz.
Así que, de esa misma manera y como en el afinamiento para tiempo continuo se utilizará
la herramienta Root Locus con el fin de modificar los polos y ceros del controlador.
A continuación, se muestran las gráficas del sistema en tiempo discreto antes modificar
sus parámetros:
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 29. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐶𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝐿𝑜𝑜𝑝 𝑟 𝑡𝑜 𝑦 𝑎𝑛𝑑 𝑟 𝑡𝑜 𝑢
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 30. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝐶𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝐿𝑜𝑜𝑝 𝑟 𝑡𝑜 𝑢 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

23. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 31. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑅𝑜𝑜𝑡 𝑙𝑜𝑐𝑢𝑠 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
Como se hizo en la afinación en tiempo continuo, de igual manera se busca que el tiempo
de establecimiento y el sobre impulso sean los deseados, se vuelve a variar el polo del
compensador, ya que si solamente se varían los polos deseados solo cambiara su ganancia
y como se pudo apreciar anteriormente esto no más no logra el objetivo.
Después de jugar con los polos y ceros se logra asegurar los requerimientos iniciales que
se muestran a continuación.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 31. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

24. Como se puede ver en las gráficas anteriores se logra llegar a los requerimientos iniciales
de forma casi precisa sin exceder la acción de control inicial y tratando de dejar un tiempo
de establecimiento cercano al original, se consigue tener un tiempo de elevación de 5
segundos y un sobre impulso de casi el 10%.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 32. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑅𝑜𝑜𝑡 𝐿𝑜𝑐𝑢𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
Para guardar el diseño se selecciona la opción “storage design” para ver los valores
finales.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 32. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
Se obtiene el siguiente controlador:
𝐶(𝑧) =
1.217 ∗ (𝑧 − 0.7729)
𝑧 − 1
Con este nuevo controlador y función de transferencia pulso de lazo cerrado se compara
con la señal original.

25. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 33. 𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡𝑜𝑜𝑙 −
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Como se logra observar en la grafica la señal representada en rojo es la señal diseñada sin
afinar , se nota que está señal tiene un sobre impulso muy del 27% y un tiempo de
elevación menor al que se solicita.Por otro lado, si se observa la señal representada en
azul se puede notar que su sobre impulso logra ser del 10% con un tiempo de elevación
de 5s, por lo que se puede concluir que el afinamiento con la herramienta sisotool fue
exitoso.
Y para terminar el diseño del compensador en tiempo discreto se corrobora que el sistema
cumpla con todos los requisitos,así que se hace uso de la herramienta simulink.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 34. 𝑆𝑖𝑚𝑢𝑙𝑖𝑛𝑘 − 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠

26. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 35. 𝑆𝑖𝑚𝑢𝑙𝑖𝑛𝑘 − 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜
Conclusiones
• La respuesta en lazo cerrado no cumple con las especificaciones ideales de diseño,
debido a que, posee 3 polos , 2 complejos conjugados y 1 real, por lo tanto, esté
ultimo al no ser propuesto a la hora del diseño, genera esa incoformidad o
diferencia en la señal deseada.
• Hablando en condiciones más generales, se puede decir que, el diseño sin
afinamiento hasta cierto punto es de forma certera. Como en esté caso se debe
hacer un pequeño afinamiento, se puede concluir que las condiciones a hacer
cumplir son de manera aproximada a lo real o se basan en un diseño ideal para un
sistema de segundo orden, por lo tanto ocurren estos inconvenientes o
incoformidades al final cuando se ve la señal deseada y no es la esperada
respectivamente.
• Por otro lado, gracias a tener este tipo de herramientas como lo es sisotool, se
pueden hacer ese tipo de ajustes o afinamiento para que el diseño ideal que se hace
con los calculos y cumpliendo todas las condiciones , se acerque un poco más a
lo real .Dado que de esa manera cumpla con los requerimientos y que los calculos
concuerden con el sistema de control deseado.
• Se debe tener en cuenta que al usar está herramienta, no se debe exigir al sistema
respuestas imposibles, de modo que, el controlador no podrá cumplir su principal
función, ya que al final de cuentas es esté quien determiná que el sistema funcione
de forma correcta y no con exageraciones.