2. Propiedades Básicas de la
Igualdad
Si a, b y c son nombres de objetos, entonces:
1. a = a P. Reflexiva
2. Si a = b, entonces b = a P. Simétrica
3. Si a = b, b = c entonces a = c P. Transitiva
4. Si a = b, entonces ambas pueden reemplazar a
la otra en cualquier proposición sin que cambie
la veracidad o falsedad de ésta.
3. Otras Propiedades de la
Igualdad
Si a, b y c son números reales cualesquiera,
1. Si a = b, entonces a + c = b + c P. Suma
2. Si a = b, entonces a - c = b - c P. Resta
3. Si a = b, entonces ac = bc, c ≠ 0 P.
Mult.
4. Si a = b, entonces a/c = b/c, c ≠ 0 P. Div.
6. Notación de Intervalos
Notación de
Intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica
[a,b] a < x < b
[a,b) a < x < b
(a,b] a < x < b
(a,b) a < x < b
[b,∞) x > b
(b, ∞) x > b
(- ∞,a] x < a
(- ∞,a) x < a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
7. Propiedades de las
desigualdades
Si a, b y c son números reales
cualesquiera:
1. a < b, entonces a + c < b + c P. Suma
2. a < b, entonces a - c < b - c P. Resta
3. a < b, entonces ac < bc P. Mult.
4. a < b, entonces a/c < b/c P. División
5. a < b y c es negativo, entonces
a/c > b/c
8. Valor Absoluto
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
|-5| = 5 |5| = 5
|-5| se lee el “valor absoluto de -5” y significa
que la distancia de 0 hasta -5 es 5 unidades.
9. Definición de Valor
Absoluto
El valor absoluto de un número nunca es
negativo porque la distancia nunca es negativa.
x si x es positivo
|x| = 0 si x es cero
-x si x es negativo
16. Ejemplos:
2. Resuelve
2
1
4
3
1
12
x
x Multiplicar por el denominador común
Simplificar fracciones
Eliminar paréntesis
Términos semejantes y P. Resta de la
igualdad
El conjunto de solución es {2}
2
1
4
3
1
x
x
2
1
4
3
1
12
x
x
6
)
(
3
)
1
(
4
x
x
6
3
4
4
x
x
2
x
25. Ejemplo 5:
Escriba las siguientes desigualdades
como notación de intervalos.
a. -3 < x < 3
b. -1 < x < 2
c. x > 1
d. x < 2
26. Ejemplo 5:
Escriba las siguientes desigualdades
como notación de intervalos.
a. -3 < x < 3
b. -1 < x < 2
c. x > 1
d. x < 2
a.(-3,3]
b.[-1,2]
c.(1, ∞)
d.(- ∞, 2]
28. Ejempo 6:
Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10
4x + 6 < 6x – 12 + 10
Eliminación de paréntesis.
4x + 6 < 6x – 2
Suma de términos semejantes
-2x < – 8
P. Suma y resta de la igualdad
x > 4 P. De la división de la igualdad
La solución es x>4 ó (4, ∞)
36. Ejemplo 7:
Resuelve: 18
7
4
3
x
La solución es ó (-2, 1]
4
18
7
4
3
x
14
7
7
x
P. Resta de la Igualdad
P. División de la Igualdad
7
14
7
7
x
2
1
x
2
1
x
38. Intenta:
Resuelve: 7
2
7
3
x
La solución es ó (-5, 0]
7
7
2
7
3
x
0
2
10
x
P. División de la Igualdad
2
0
2
10
x
0
5
x
0
5
x
P. Resta de la Igualdad
Términos semejantes
42. Ejemplo 9
Resuelve: |x – 3 | = 5
x – 3 = 5
Dos resultados, uno
positivo y el otro
negativo
x – 3 = -5
x = 5 + 3
x = 8
x = -5 + 3
x = -2
La solución es {8,-2}
44. Ejemplo 10
Resuelve: |x – 3 | < 5
x – 3 < 5
Dos resultados, uno
positivo y el otro
negativo
x – 3 > -5
x < 5 + 3
x < 8
x > -5 + 3
x > -2
La solución es {-2 < x < 8}
Cambio de signo al
que negativo.
y
46. Ejemplo 11
Resuelve: |x – 3 | > 5
x – 3 > 5
Dos resultados, uno
positivo y el otro
negativo
x – 3 < -5
x >< 5 + 3
x > 8
x < -5 + 3
x < -2
La solución es {x < -2 ó x > 8}
Cambio de signo al
que negativo.
ó
48. Ejemplo 12
Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5
0 < |x – 3 |
Desigualdad compuesta
|x – 3 | < 5
La solución es {-2< x < 8 x ≠ 3}
Cada una de ellas tiene dos
contestaciones
y
0 < x – 3 0 > x – 3 x – 3 < 5 x – 3 > -5
x > -5 + 3
x > -2
x < 5 + 3
x < 8 y
3< x 3 > x
ó
x ≠ 3