Cuaderno trabajo matamaticas_3_aprendizaje_refuerzo

1. ATEMÁTICAS:3 SECUNDARIA Cuaderno de trabajo Tatiana María Mendoza Von Der Borch • José Cruz García Zagal • Ernesto Manuel Espinosa Asuar ASESOR PEDAGÓGICO: María de los Dolores Lozano Suárez BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL  

2. Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Gerencia editorial Hilda Victoria Infante Cosío Edición Uriel Jiménez Herrera Asesor pedagógico María de los Dolores Lozano Suárez Autores Tatiana María Mendoza Von Der Borch, José Cruz García Zagal, Ernesto Manuel Espinosa Asuar Corrección Abdel López Cruz, Esther del Valle Padilla, Ezequiel Ortiz Hernández Dirección de Arte Quetzatl León Calixto Diseño Gráﬁco Factor 02 Diseño de Portada Claudia Adriana García, Quetzatl León Ilustración Eliud Reyes Reyes Diagramación Brenda López Romero, César Leyva Acosta Fotografía Archivo SM, © 2010 Thinkstock, Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia, Salatiel Barragán Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya Cuaderno de trabajo. Matemáticas 3 SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZO Primera edición, 2010 D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. Impreso en México/Printed in Mexico  

3. 3 PRESENTACIÓN: Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para que puedas aprender más. Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en otro momento vuelvas a intentarlo. Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques. En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están divididas en diferentes partes: • “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren. • “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos. Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil; sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es la única que está en todas las lecciones del cuaderno. • “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos históricos relacionados con las matemáticas. Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de “Aplicación de fórmulas”. Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos matemáticos. LOS AUTORES  

4. 4 GUÍA DE USO: Entrada de bloque En esta página se indican los aprendizajes que esperamos que adquieras a lo largo del bloque. Recuadro de conocimientos y habilidades Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que ejercitarás. Repasemos En esta sección practicarás las técnicas aprendidas, que utilizarás en las actividades de la siguiente sección. LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ 7 BLOQUE 1 Aprendizajes esperados Se espera que los alumnos… 1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos. 2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas. 3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. 4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. BLOQUE 1  72 Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general. 3.2 FÓRMULA GENERAL REPASEMOS 1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas. Usa la fórmula general. a) x2 9x 14 0 Soluciones: b) 3x2 6x 3 0 Soluciones: c) 2x2 5x 4 0 Soluciones: d) x2 6x 10 0 Soluciones: e) x2 x 2 0 Soluciones: f) x2 2x 1 0 Soluciones: g) x2 5x 0 Soluciones: h) x2 64 0 Soluciones: i) x2 10x 9 0 Soluciones: j) 4x2 16x 0 Soluciones: 2. Simplifica las ecuaciones e iguálalas a cero, encuentra el valor del discriminante y el número de soluciones. Ecuación Ecuación en la forma general Valor del discriminante Número de soluciones x(x 3) 5x 3 9x 1 3x2 15 x2 x 6 2(x 12) (x 4) (4 x) 4x2 x 10 5x 9 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal manera que la suma de sus cuadrados sea 394. a) Si x representa al primero de los dos números impares. Subraya la expresión que representa al otro número impar. 2x 2 2x 3 x 1 b) La segunda condición del problema pide que la suma de los cuadrados de los números sea 394. Subraya la ecuación asociada a esta condición. (2x 1)2 (2x 2)2 394 (2x 1)2 (2x 3)2 394 (2x 1)2 (x 1)2 394 LECCIÓN 3.2  5 cm 5 cm 8 cm 4 cm 2.5 cm 2.5 cm 2.85 cm 2.85 cm 4.8 cm A B C E D F Triángulo 2 Triángulo 1 Triángulo A Triángulo B Triángulo C 51 Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles. 2.4 CRITERIOS DE SEMEJANZA REPASEMOS 1. El triángulo 1 es semejante al triángulo 2. ¿Cuál es la razón de semejanza? Señala la igualdad que sea correcta. a) D__ A = E__ B b) F__ A = E__ C c) E__ A = F__ B d) D__ B = E__ A 2. Para los siguientes triángulos, responde lo que se pide. a) ¿Qué triángulos son semejantes? yb) ¿Qué criterio de semejanza puedes aplicar para argumentar que los triángulos son semejantes? c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos que son semejantes? LECCIÓN 2.4   

5. 5 Problemas y ejercicios Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos. Estos problemas y ejercicios están ordenados del más sencillo al más difícil. Los problemas marcados con el icono tienen mayor grado de dificultad. Y algo más... Este apartado es como un cajón de sastre: hay de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos, propiedades interesantes o datos históricos relacionados con las matemáticas. A A' B B E a e d b g f c G F B' A' A B' C C C' C' 78 8. Otra manera de presentar el Teorema de Tales es con tres rectas paralelas que cortan a dos transversales, como en la figura. a) El teorema de Tales dice que las medidas de los segmentos que se forman en una transversal son proporciona- les a las medidas de los segmentos correspondientes que se forman en la otra transversal. Completa las igualdades que expre- san lo que dice el teorema. AB____ A'B' AC___. .____ B'C' b)Una manera de comprobar estas igualdades es trazar dos rectas paralelas a una de las rectas transversales como en la figura. Explica por qué los triángulos A’EB’, A’GC’ y B’FC’ son semejantes. Explica por qué AB A'E, AC A'G y BC EG B'F.  1 1 50000 50500 (1,50500) (1,50500) (2,51005) (3,51515) (4,52030) (5,52550) (6,53076) (2,51000) (3,51500) (4,52000) (5,52500) (6,53000) 51000 51500 52000 52500 53000 53500 50000 50500 51005 51515 52030 52550 53076 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 Cantidaddedinero enelbanco(enpesos) Cantidaddedinero enelbanco(enpesos) Tiempo (en meses) Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2 Tiempo (en meses) 31 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera una inversión de $50000.00 durante los primeros seis meses del año en dos bancos diferentes. Con la información de la gráfica del banco 1, contesta lo siguiente. a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica?b) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el primer mes del año. 50 500 - 50 000____________ 3-0 1 - 0____________ 50 500 - 50 000 5 000 1d) En los primeros tres meses del año, ¿cuál es la ganancia?e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los primeros tres meses del año.51 500 - 50 000____________ 3 - 0 3 - 0____________ 51 500 - 50 000 1500 3Con la información de la gráfica del banco 2, contesta lo siguiente. a) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el primer mes del año. 50 500 - 50 000____________ 1 - 0 1 - 0____________ 50 000 - 50 000 5 000 1c) En los primeros tres meses del año, ¿cuál fue la ganancia?d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los primeros tres meses del año. 51 515 - 50 000____________ 3 - 0 3 - 0____________ 51 515 - 50 000 1 515 3  Explica por qué AB A'E, AC A'G y BC EG B'F. 2 cm ? 1 cm 60° 30° 113 8. Usa el triángulo equilátero con 2 cm de lado para determinar el valor de las razones trigonométricas en los ángulos de 30° y 60°. Seno Coseno Tangente Razones trigonométricasdel ángulo de 30° 1_ 2 = 0.5Razones trigonométricasdel ángulo de 60° 9. En un acantilado que se encuentra situado a 32 m sobre el nivel del mar se observan dos barcos, uno con un ángulo de inclinación de 30° y otro con un ángulo de inclinación de 60°. ¿Cuál es la distancia de cada barco al acantilado? yY ALGO MÁS... La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las rela- ciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Se sabe que los babilonios y los egipcios (ya desde el siglo X a. C.) usaban los ángulos y las razones trigonomé- tricas para llevar a cabo cálculos en la agricultura y la construcción de pirámides. Los griegos utilizaron la trigonometría principalmente para resolver problemas en la navegación. En la actualidad se usa la trigonometría para encontrar la la- titud y longitud de cualquier lugar en el mundo, la hora del día o la posición de una estrella. 30º 32m 60º   

6. 6 ÍNDICE: Bloque 1 7 Lección 1.1 Productos notables y factorización ........................................................................ 8 Lección 1.2 Propiedades de los cuadriláteros ........................................................................... 11 Lección 1.3 Posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.......... 17 Lección 1.4 Ángulos inscritos y ángulos centrales ................................................................... 22 Lección 1.5 Arcos, sectores circulares y coronas...................................................................... 25 Lección 1.6 Razón de cambio ................................................................................................. 29 Lección 1.7 Diseño de un estudio y elección de la forma más adecuada de presentación de los datos ......................................................................................................... 34 Bloque 2 37 Lección 2.1 Plantear y resolver ecuaciones no lineales..............................................................38 Lección 2.2 Ecuaciones cuadráticas y factorización .................................................................. 42 Lección 2.3 Figuras semejantes................................................................................................ 45 Lección 2.4 Criterios de semejanza...........................................................................................51 Lección 2.5 Análisis de índices ................................................................................................. 55 Lección 2.6 Simulación .............................................................................................................61 Bloque 3 67 Lección 3.1 Cantidades que cambian y se relacionan en situaciones de economía ...................68 Lección 3.2 Fórmula general.................................................................................................... 72 Lección 3.3 Teorema de Tales .................................................................................................. 75 Lección 3.4 Homotecia............................................................................................................80 Lección 3.5 Gráficas de funciones lineales y no lineales ...........................................................84 Lección 3.6 Funciones no lineales ............................................................................................ 87 Lección 3.7 Gráficas que cambian por secciones...................................................................... 97 Bloque 4 101 Lección 4.1 Sucesiones y expresiones cuadráticas .................................................................. 102 Lección 4.2 El teorema de Pitágoras ..................................................................................... 106 Lección 4.3 Seno, coseno, tangente........................................................................................110 Lección 4.4 Gráficas de crecimiento lineal y exponencial.........................................................114 Lección 4.5 Distintos tipos de datos sobre un mismo fenómeno ............................................ 120 Bloque 5 125 Lección 5.1 Problemas y ecuaciones ...................................................................................... 126 Lección 5.2 Conos, cilindros, cortes y sólidos de revolución ................................................... 129 Lección 5.4 Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo del volumen de cilindros y conos........................................................ 133 Lección 5.5 Gráfica de caja-brazos......................................................................................... 139  

7. LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ 7 BLOQUE 1 Aprendizajes esperados Se espera que los alumnos… 1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos. 2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas. 3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. 4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. BLOQUE 1  

8. 8 LECCIÓN 1.1 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN REPASEMOS 1. Analiza lo que se hizo en el inciso a). Haz lo mismo con los otros productos. a) (a ϩ 3) (a ϩ 3) ϭ (a ϩ 3)2 ϭ a2 ϩ 6a ϩ 9 b) (2a ϩ 1) (2a ϩ 1) ϭ c) (2a ϩ 3) (2a ϩ 3) ϭ d) (x ϩ y) (x ϩ y) ϭ e) (a Ϫ 3) (a Ϫ 3) ϭ f) (2a Ϫ 1) (2a Ϫ 1) ϭ g) (2a Ϫ 3) (2a Ϫ3) ϭ h) (x Ϫ y) (x Ϫ y) ϭ i) (x Ϫ 2y) (x Ϫ 2y) ϭ j) (5x Ϫ 3y) (5x Ϫ 3y) ϭ 2. Calcula los siguientes binomios al cuadrado. Escribe sólo el resultado ya simplificado. a) (x Ϫ 5)2 ϭ x2 Ϫ 10x ϩ 25 b) (x Ϫ 3)2 ϭ c) (4x Ϫ 2)2 ϭ d) (2x Ϫ 4)2 ϭ e) (2x Ϫ 7)2 ϭ f) (4x Ϫ 1)2 ϭ 3. Calcula los siguientes productos. a) (a ϩ 2) (a ϩ 4) ϭ b) (2a ϩ 1) (2a ϩ 2) ϭ c) (a ϩ 5) (a ϩ 1) ϭ d) (2x ϩ y) (x ϩ y) ϭ e) (x ϩ 2y) (x ϩ 2y) ϭ f) (5x ϩ 3y) (5x ϩ 3y) ϭ 4. Expresa los siguientes productos como una diferencia de cuadrados. a) (x Ϫ y) (x ϩ y) ϭ b) (5a ϩ 3b) (5a Ϫ 3b) ϭ c) (2u ϩ v) (2u Ϫ v) ϭ d) (w2 ϩ z2 ) (w2 Ϫ z2 ) ϭ Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2 ; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2 ; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2 . 1.1  

9. 9 5. Determina a qué binomio al cuadrado corresponde cada uno de los trinomios cuadrados perfectos. a) u2 ϩ 2uv ϩ v2 ϭ ( )2 b) 4n2 ϩ 8nm ϩ 4m2 ϭ ( )2 c) a2 ϩ 4ab ϩ 4b2 ϭ ( )2 d) x2 Ϫ 2xy ϩ y2 ϭ ( )2 e) 4p2 Ϫ 8pq ϩ 4q2 ϭ ( )2 f) a2 Ϫ 4ab ϩ 4b2 ϭ ( )2 g) c2 ϩ 6cd ϩ 9d2 ϭ ( )2 h) w2 Ϫ 6wz ϩ 9z2 ϭ ( )2 6. Factoriza las siguientes expresiones. a) u2 Ϫ v2 ϭ ( ) ( ) b) u2 ϩ 5u ϩ 6 ϭ ( ) ( ) c) a2 Ϫ 4b2 ϭ ( ) ( ) d) a2 Ϫ 6a Ϫ 16 ϭ ( ) ( ) e) 4p2 Ϫ 4q2 ϭ ( ) ( ) f) a2 Ϫ 6a Ϫ16 ϭ ( ) ( ) g) w2 Ϫ 9z2 ϭ ( ) ( ) h) m2 ϩ 8m ϩ 15 ϭ ( ) ( ) 7. Factoriza las siguientes expresiones encontrando el factor común. a) x2 Ϫ 5x ϭ b) m2 ϩ 8m ϭ c) z2 ϩ 10z ϭ d) x2 Ϫ 1.5x ϭ PROBLEMAS Y EJERCICIOS 8. Usando los siguientes resultados; (x ϩ 1)2 ϭ x2 ϩ 2x ϩ 1, y (x Ϫ 1)2 ϭ x2 Ϫ 2x ϩ 1, resuelve las operaciones: a) 192 ϭ b) 492 ϭ c) 1312 ϭ d) 4012 ϭ e) 1992 ϭ f) 612 ϭ g) 992 ϭ h) 1012 ϭ  

10. 10 9. Considera el rectángulo A formado por tres rectángulos y un cuadrado. a) Relaciona los incisos para establecer el área de cada una de las figuras. ( ) Área del cuadrado azul ( ) Área del rectángulo rojo ( ) Área del rectángulo verde ( ) Área del rectángulo morado (a) 2x (b) 6 (c) x2 (d) (x + 3) (x + 2) (e) 3x (f) (x +3)2 b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del rectángulo A. = 10.Considera el cuadrado B que está formado por dos rectángulos de igual área y dos cuadrados. a) Usando los datos de la figura calcula el área de las figuras que se indican. Área del cuadrado verde:• Área del cuadrado amarillo:• Área de cada uno de los rectángulos rojos:• b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del cuadrado verde. = 11.Relaciona las columnas para establecer las expresiones que son equivalentes. Si hace falta, desarrolla los productos. ( ) (x Ϫ y)2 ( a ) x3 ϩ 3x2 y ϩ 3xy2 ϩ y3 ( ) x2 ϩ 3xy ϩ 2y2 ( b ) x2 Ϫ 2xy ϩ y2 ( ) x3 Ϫ y3 ( c ) x3 Ϫ 3x2 y ϩ 3xy2 Ϫ y3 ( ) (x ϩ y)3 ( d ) (x ϩ y) (x Ϫ y) ( ) x2 Ϫ y2 ( e ) (x ϩ y)2 ( ) x2 ϩ 2xy ϩ y2 ( f ) (x Ϫ y) (x2 ϩ xy ϩ y2 ) ( ) (x Ϫ y)3 ( g ) (x ϩ y) (x ϩ 2y) x ϩ 2 xϪ1 x ϩ 3 x Ϫ 1 x x 2 1 3 1 x x Rectángulo A  

11. 11 PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS PROBLEMAS Y EJERCICIOS. 1. A continuación aparecen tres cuadriláteros: un rombo, un trapecio isósceles y un rectángulo. Toma una hoja blanca de papel. En ella, debes dibujar tres figuras iguales a las anteriores, con una condición: no se vale calcarlas. Para ello, primero anota qué datos necesitas saber respecto a cada uno de los cuadriláteros. Rectángulo Rombo Trapecio isósceles Ahora, con los instrumentos que necesites (regla, transportador, compás, etc.) intenta trazar las tres figuras teniendo en cuenta sólo los datos que escribiste anteriormente. Una vez hechas, recórtalas y superponlas para verificar si son iguales a las que están dibujadas aquí. ¿Cuáles de tus figuras resultaron idénticas a las originales? 2. Efectúa la misma actividad anterior, pero ahora con los siguientes cuadriláteros. Esta vez, sólo puedes tomar un máximo de tres datos para cada figura. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros. 1.2 LECCIÓN 1.2  

12. 12 Romboide Papalote 3. Sebastián, Julia e Inés han previsto tomar las siguientes medidas para reproducir el trapecio isósceles del problema 1. Sebastián Julia Inés Lado C Base mayor (B) Diagonal D1 Los dos ángulos Lado C Diagonal D2 adyacentes al lado C Diagonal D1 Angulo formado por ambas diagonales (a) a) ¿A quiénes les saldrá un trapecio idéntico al original? ¿A quiénes no? b) En los casos en que pienses que la figura no quedará igual, cambia sólo uno de los tres datos por otro, de tal manera que sí se pueda dibujar un trapecio idéntico. Sebastián Inés c) Para cada uno de los tres alumnos, toma las medidas correspondientes de la figura (considerando las correcciones que hiciste en el inciso b) y, con ellas, dibuja otro trapecio en una hoja blanca. Recórtalo y verifica si es igual al que está dibujado en esta lección. B a b D1 D2 C  

13. 13 d) Si la base mayor y la menor no miden lo mismo, entonces las diagonales de un trapecio isósceles no se cortan en los puntos medios. Explica por qué esta propiedad implica que si se toman únicamente las medidas que ha previsto Inés, se puede construir varios trapecios distintos. e) Prueba que, en cualquier trapecio isósceles cuyas bases mayor y menor son distintas, las diagonales no se cortan en los puntos medios. Para ello, utiliza un criterio de congruencia de triángulos para probar que, si esa característica no se cumpliera, entonces la base mayor y la base menor serían iguales. 4. Para reproducir el romboide del problema 2, Sebastián, Inés y Julia han decidido tomar las siguientes medidas. Sebastián Julia Inés Lado a La diagonal D1 Las dos diagonales Altura (h) Distancia d (del vértice Un ángulo formado Distancia c (de un V al punto en que por las diagonales (A) vértice a la altura las dos diagonales marcada en la figura) se cruzan) Un ángulo formado por las diagonales (A) b y a c d A V D1 a h x' a' x y' C B  

14. 14 a) Resuelve las preguntas análogas a las que se plantean en los incisos a) y c) del problema anterior (el inciso c) sólo en los casos en los que piensas que los datos sí son suficientes para reproducir el romboide). b) Las medidas que ha previsto Julia no permiten reproducir el romboide, pero sí serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica esto de la siguiente manera. Toma las medidas y construye con ellas un romboide distinto al que• aparece en la página anterior. Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Julia para el romboide;• construye con ellas un trapecio, recórtalo y empálmalo con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales. c) Las medidas que ha previsto Inés sí son suficientes para reproducir el romboide pero no serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica esto de la siguiente manera. Toma las medidas, construye con ellas un romboide; recórtalo y empálmalo• con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales. Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Inés para el romboide• y construye con ellas un trapecio distinto al que aparece en el problema 3. d) Identifica si los romboides y los trapecios isósceles satisfacen lo siguiente. ¿Las diagonales se cortan en los puntos medios?• Romboides ( ) Trapecios isósceles ( ) ¿Las diagonales son iguales o no?• Romboides ( ) Trapecios isósceles ( ) e) La diferencia entre las dos características distinguen al romboide del trapecio isósceles y permiten explicar por qué sucede lo descrito en los incisos b) y c). Explica por qué. f) Emplea los criterios de congruencia de triángulos para probar que las caracte- rísticas que has identificado en el inciso d) se cumplen en cualquier romboide y cualquier trapecio isósceles (siempre y cuando no sean rectángulos).  

15. a b C'D y' C x y x' D' 15 Las diagonales de un romboide se cruzan en los puntos medios Los lados a y b son iguales. Los ángulos C y C’ están formados por una recta que cruza a dos paralelas, por eso son iguales. Lo mismo sucede con los ángulos D y D’. Entonces, por el criterio ALA, el triángulo amarillo y el verde son congruentes. Entonces x es igual a x’, y y es igual a y’. Es decir, las diagonales se cortan en los puntos medios. Las diagonales de un romboide no son iguales Si las diagonales fueran iguales, por el criterio LLL, los triángulos ABC y DCB serían congruentes. Entonces los ángulos adyacentes a BC serían iguales, es decir, rectos, y el romboide sería un rectángulo. Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales Como el trapecio es isósceles, los lados AB y DC son iguales, y también lo son los ángulos adyacentes a los vértices A y D. Entonces los triángulos DAB y ADC son congruentes, por el criterio LAL. De ahí que los lados DB y AC es decir, las dos diagonales, sean iguales. 5. Haz nuevamente lo que se pide en los problemas 1 y 2, pero sólo para el rombo del problema 1 y el papalote del problema 2. Esta vez, sólo puedes tomar información sobre las diagonales en cada figura. Rombo Papalote Las dos diagonales Las dos diagonales La distancia a la que la diagonal menor corta a la diagonal mayor. A A B B C C D D  

16. 16 6. Tania, Leonel y Javier tomaron algunas medidas para construir un cuadrilátero. Los tres se equivocaron al usar la regla graduada o el transportador y tomaron mal por lo menos una de las medidas. Encuentra cuál o cuáles fueron las medidas que cada uno tomó mal: Tania: un romboide cuyas parejas de lados miden 10 y 13 centímetros,• dos ángulos interiores miden 50 grados y los otros dos 100 grados. Leonel: un rectángulo cuyas diagonales miden 5 centímetros y uno de los• ángulos que forman las diagonales mide 90 grados. Javier: un rombo cuyos lados miden 3 centímetros y una diagonal• mide 7 centímetros. En cada caso, explica qué propiedad del cuadrilátero correspondiente hace que no se pueda construir con las medidas que tienen Tania, Leonel y Javier. Tania:• Leonel: Javier:• Y ALGO MÁS... Encuentra todas las figuras congruentes en el siguiente dibujo. Cada vez que en- cuentres dos o más figuras congruentes, marca sus contornos del mismo color:  

17. 17 POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y UNA CIRCUNFERENCIA Y ENTRE CIRCUNFERENCIAS REPASEMOS 1. ¿Cuál es la distancia del punto P a la recta m? Explica el procedimiento que empleaste para calcular la distancia. a) Señala el punto en la recta m que está justamente a esa distancia de P. b) Señala otros dos puntos sobre la recta m. ¿Cuál es la distancia de estos puntos a P? c) ¿Qué ocurre con la distancia entre P y los demás puntos en la recta, en comparación con la distancia que calculaste entre el punto y la recta? 2. Observa el dibujo y completa las frases: Respecto a la circunferencia Q: la recta• m es porque (secante / tangente / exterior) la recta• n es porque (secante / tangente / exterior) la recta• o es porque (secante / tangente / exterior) Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia. 1.3 P m n m Q o LECCIÓN 1.3  

18. 18 3. Responde las preguntas. O es el centro de una circunferencia de 2 cm de radio. a) Una recta p se encuentra a una distancia de 3.5 cm de O. ¿En cuántos puntos interseca a la circunferencia? b) Una recta q se encuentra a una distancia de 2 cm de O. ¿En cuántos puntos interseca a la circunferencia? b) Una recta r se encuentra a una distancia de 1.7 cm de O. ¿En cuántos puntos interseca a la circunferencia? 4. Las circunferencias C y D son tangentes. Encuentra el centro de cada una. Une los centros y verifica que ese segmento pasa por el punto de tangencia. 5. Traza dos circunferencias tangentes como las del ejercicio anterior. Para cada uno de los siguientes incisos traza otra circunferencia que cumpla con lo que se pide. C C D D a) Una circunferencia que sea secante a C y a D. b) Una circunferencia que sea tangente interior a D y exterior a C. c) Una circunferencia concéntrica a C y secante a D.  

19. 19 7. Por el punto T se trazaron las dos tangentes a la circunferencia. Completa la demostración de que TA y TB miden lo mismo. OA• y OB miden lo mismo porque El ángulo• OAT mide porque El ángulo• OBT mide porque Los ángulos• OAB y OBA miden los mismo porque Los ángulos• TAB y TBA miden los mismo porque El triángulo• TBA es isósceles porque Entonces• TA y TB miden los mismo porque A B T O PROBLEMAS Y EJERCICIOS 6. Responde las preguntas respecto a una circunferencia y un punto P fuera de ella. a) ¿Cuántas rectas exteriores a la circunferencia pasan por P? b) ¿Cuántas rectas tangentes a la circunferencia pasan por P? c) ¿Cuántas rectas secantes a la circunferencia pasan por P?  

20. 20 8. Cuando una circunferencia está dentro de un polígono y es tangente a todos sus lados, se le llama circunferencia inscrita. En el dibujo se muestra la circunferencia inscrita al cuadrilátero ABCD. Explica por qué AB ϩ CD ϭ BC ϩ DA 9. En el siguiente diagrama las dos circunferencias, O1 y O2 , tienen su centro sobre la línea r. Las circunferencias se intersecan en los puntos A y B. B D A T2 C T1 T4 T3 O2O1 B r A  

21. 21 Explica por qué la recta que pasa por A y B es perpendicular a la recta r. Y ALGO MÁS... ¿Alguna vez has visto un eclipse? ¿Sabías que hay tanto eclipses solares como eclipses lunares? Un eclipse solar ocurre cuando la luna se interpone entre la Tierra y el Sol; el más espectacular es el eclipse solar total: la luna tapa completamente al Sol, lo que provoca que, por unos minutos, todo se oscurezca; e incluso puede bajar la temperatura. En México se vio un eclipse solar total el 11 de julio de 1991; habrá otro el 8 de abril de 2024. También hay eclipses lunares cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol. En un eclipse lunar la luna se oscurece y adquiere un color rojizo. Eclipse solar Eclipse lunar  

22. 37º 61º 101º 22 ÁNGULOS INSCRITOS Y ÁNGULOS CENTRALES REPASEMOS 1. Ilumina con algún color el arco que subtiende cada ángulo. Escribe debajo de cada circunferencia si el ángulo es inscrito o central. 2. En cada circunferencia, traza dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo arco que el ángulo central señalado. 3. Sin usar transportador, indica cuánto miden los ángulos marcados en rojo. PROBLEMAS Y EJERCICIOS 4. En los espacios coloca alguna de las siguientes medidas: 45°, 90°, 135°, 180°, 270°, 360°. El ángulo central El ángulo central El ángulo inscrito mide en rojo mide más en rojo mide más más de …pero de … pero de …pero menos de menos de menos de Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco. 1.4 LECCIÓN 1.4  

23. 140º 23 5. Sin usar transportador, traza en cada circunferencia el ángulo que se indica. Ángulo inscrito de 45° Ángulo inscrito de 110° Ángulo central de 270° 6. Hay tres posiciones básicas en las que pueden estar un ángulo inscrito y un ángulo central. a) En cada posición mide los dos ángulos con tu transportador y verifica que la medida del ángulo central sea el doble que la medida del ángulo inscrito. Posición I Posición II Posición III Ángulo central Ángulo central Ángulo central Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito b) Dibuja otro ejemplo de cada posición. Mide el ángulo central y el ángulo inscrito en cada caso. Posición I Posición II Posición III Ángulo central Ángulo central Ángulo central Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito 7. ¿A cuál de las tres posiciones corresponde la siguiente figura. Explica tu respuesta.  

24. A O B M P 24 8. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. Usa el ángulo central para explicar por qué los dos ángulos inscritos miden lo mismo. 9. Para trazar las tangentes a una circunferencia con centro O por un punto P fuera de ella, se hace la siguiente construcción: con centro en el punto medio (M) del segmento OP se dibuja una circunferencia con radio MP. A y B son los puntos de intersección de las circunferencias. Se trazan las rectas PA y PB, estas rectas son las tangentes buscadas. Explica por qué estas rectas son perpendiculares a los radios OA y OB. 10.Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. El área que abarca cada ángulo dentro de la circunferencia está sombreada. ¿Estas áreas son iguales o diferentes? Explica tu respuesta.  

25. 45° 2 cm 1.5 cm 60° 2 cm 25 ARCOS, SECTORES CIRCULARES Y CORONAS REPASEMOS 1. Coloca en los espacios el número que corresponde a cada elemento. 1. Arco 2. Corona circular 3. Cuerda 4. Diámetro 5. Sector circular 6. Semicircunferencia 2. En cada circunferencia dibuja un sector circular que tenga el ángulo indicado. 70° 150° 300° 3. Calcula lo que se pide. Área sombreada Longitud del arco Perímetro del área sombreada Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. 1.5 LECCIÓN 1.5  

26. 26 4. El señalamiento está hecho con una circunferencia de 45 cm de radio y otra de 36 cm, ¿cuánto mide el área en color rojo? 5. La rebanada que me comí es 15% de un pastel circular. ¿Qué ángulo abarca la rebanada? PROBLEMAS Y EJERCICIOS 6. Un campo de beisbol está construido sobre parte de un sector circular con un ángulo de 90° y radio de 80 m. La barda azul tiene una altura de 2 m. ¿Cuánto mide la superficie de la barda azul? a  

27. 72° B A C' B' C 27 7. En el espacio dibuja una circunferencia de radio de 3 cm. En ella traza un ángulo inscrito de 40°. ¿Cuál es la longitud del arco que subtiende el ángulo inscrito? 8. La circunferencia tiene un radio de 2.5 cm. Su centro coincide con un vértice del pentágono regular ¿Cuánto mide el área de la sección de la circunferencia que está fuera del pentágono? 9. El triángulo ABC fue rotado alrededor del vértice A para obtener el triángulo AB’C’. ¿Cuál es el área del sector circular en color verde?  

28. 100° A D B C 28 10.Un carpintero hizo el molde para una pieza que necesita. Trazó una circunferencia de 4 cm de radio y otra de 1.5 cm de radio para hacer una corona, luego trazó un sector circular. ¿Cuánto mide el área de la pieza? = ¿Cuánto mide su perímetro? 11.El área del cuadrado ABCD es 1. ¿Cuánto mide el área sombreada? a) 1 Ϫ 1__ 4 π b) 1 c) 1 1__ 2 d) 1 ϩ 1__ 4 π 12.Para dibujar la flor se trazaron seis arcos con centro en cada vértice de un hexágono regular y radio igual a 3 cm. ¿Cuánto mide el perímetro de la flor? a) 2 π cm b) 3 π cm c) 6 π cm d) 12 π cm  

29. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gráfica 1 Gráfica 3 y y yy x x xx Gráfica 2 Gráfica 4 29 RAZÓN DE CAMBIO REPASEMOS 1. En cada tabla están anotadas las coordenadas de dos puntos de una recta. Anota en la línea la razón de cambio de la recta. x y x y x y x y 2 2 Ϫ1 5 Ϫ1 1 4 Ϫ5 4 4 2 8 Ϫ3 3 6 Ϫ8 2. Anota la razón de cambio de las rectas. Ecuación de la recta y ϭ 5x ϩ 1 y ϭ Ϫ2x ϩ9 y ϭ x Ϫ 6 y ϭ Ϫ7x Razón de cambio 3. Anota la ecuación de una recta que tenga la razón de cambio indicada. Razón de cambio 3 Ϫ4 1 Ϫ1 Ecuación de una recta 4. Considera las siguientes gráficas. a) ¿En qué gráficas la razón de cambio permanece siempre constante? y Justifica tu respuesta. b) Anota una característica común entre las gráficas que tienen razón de cambio siempre constante. Analizar la razón de cambio de un proceso que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa. 1.6 LECCIÓN 1.6  

30. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 56 67 78 89 910 10 Gráfica 1 y ϭ 2x ϩ 1 Gráfica 2 y ϭ 2x Gráfica 3 y ϭ x ϩ 2 Gráfica 4 y ϭ x__ 2 ϩ 1 y y y y x x x x 30 c) Anota una diferencia entre las gráficas cuya razón de cambio permanece constante respecto a las que no lo hacen. 5. Considera las siguientes gráficas de rectas y sus ecuaciones. a) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a uno? ¿Qué pendiente tiene la recta graficada? b) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a un medio? ¿Qué pendiente tiene la recta graficada? c) ¿Qué gráficas tienen razón de cambio constante igual a dos? y ¿Qué pendiente tienen sus respectivas expresiones?• y ¿Cómo es la pendiente de estas expresiones, igual o diferente?• ¿Qué ordenada al origen tienen estás expresiones?• y ¿Cómo es la ordenada al origen de estas expresiones, igual o diferente?• d) ¿Qué gráfica tiene la menor razón de cambio?  

31. 1 1 50000 50500 (1,50500) (1,50500) (2,51005) (3,51515) (4,52030) (5,52550) (6,53076) (2,51000) (3,51500) (4,52000) (5,52500) (6,53000) 51000 51500 52000 52500 53000 53500 50000 50500 51005 51515 52030 52550 53076 2 23 34 45 56 67 78 8 Cantidaddedinero enelbanco(enpesos) Cantidaddedinero enelbanco(enpesos) Tiempo (en meses) Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2 Tiempo (en meses) 31 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera una inversión de $50000.00 durante los primeros seis meses del año en dos bancos diferentes. Con la información de la gráfica del banco 1, contesta lo siguiente. a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica? b) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia? c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el primer mes del año. 50 500 - 50 000____________ 3-0 1 - 0____________ 50 500 - 50 000 5 000 1 d) En los primeros tres meses del año, ¿cuál es la ganancia? e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los primeros tres meses del año. 51 500 - 50 000____________ 3 - 0 3 - 0____________ 51 500 - 50 000 1500 3 Con la información de la gráfica del banco 2, contesta lo siguiente. a) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia? b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el primer mes del año. 50 500 - 50 000____________ 1 - 0 1 - 0____________ 50 000 - 50 000 5 000 1 c) En los primeros tres meses del año, ¿cuál fue la ganancia? d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los primeros tres meses del año. 51 515 - 50 000____________ 3 - 0 3 - 0____________ 51 515 - 50 000 1 515 3  

32. (20,30) (40,40) (60,50) (80,60) (100,70) 10 10 20 30 40 50 60 70 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temperatura (engradoscentígrados) Tiempo (en segundos) 32 Usando la información de las gráficas, en las siguientes afirmaciones marca con la letra V las que sean verdaderas y con la letra F las que sean falsas. El banco 1 tiene un rendimiento constante porque cada mes• se incrementa $500.00 la cantidad de dinero en el banco. ( ) La razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco a través• del tiempo en el banco 2 es constante. ( ) El banco 2 no tiene un rendimiento constante. ( )• 7. El uso del carbón es una alternativa para producir gas. Éste se obtiene cuando el carbón es quemado mediante un proceso en presencia de aire, oxígeno o vapor de agua. El gas producido mediante este proceso se utiliza en la generación de electricidad, en la producción de hidrógeno y de combustibles como la gasolina y el diesel. La siguiente gráfica muestra la relación entre la temperatura a la que se encuentra el vapor de agua y el tiempo transcurrido durante la producción de un gas. Con la información de la gráfica, contesta lo siguiente. a) Una vez transcurridos los primeros 20 segundos, ¿cuántos grados centígra- dos aumenta la temperatura del vapor de agua? b) Del segundo 20 al segundo 40, ¿cuántos grados aumenta la temperatura del vapor de agua? Del segundo 40 al segundo 60, ¿cuántos grados aumenta? grados. c) En periodos de 20 segundos, ¿cuántos grados centígrados aumenta la temperatura del vapor de agua? d) Di si la siguiente afirmación es correcta: "en periodos de 20 segundos la temperatura del vapor de agua aumenta de manera constante”. Argumenta tu respuesta.  

33. 33 e) Cuando transcurren los primeros 40 segundos, ¿cuántos grados centígrados aumenta la temperatura del vapor de agua? f) Di si la siguiente afirmación es correcta: “En periodos de 40 segundos la temperatura del vapor de aguas aumenta de manera constante”. Argumenta tu respuesta. En los siguientes dos incisos subraya la frase adecuada para que la afirmación sea correcta. g) La gráfica establece la relación que hay entre... la temperatura y el tiempo.• el gas producido y el tiempo.• la temperatura del vapor de agua y el tiempo en el que alcanza• esa temperatura. h) La gráfica representa... la velocidad de calentamiento del vapor de agua.• la densidad del agua.• la aceleración del vapor de agua.• i) La razón de cambio del aumento en la temperatura del vapor de agua respecto al periodo de tiempo en que se mide este aumento es... el cociente del aumento del tiempo entre el aumento de la temperatura• en ese periodo de tiempo. el aumento en la temperatura del gas.• el cociente del aumento en la temperatura entre el periodo de tiempo• en que aumenta su temperatura. Y ALGO MÁS... La razón de cambio es un concepto que se utiliza principalmente al modelar fenó- menos, estudiados en Física como el del movimiento. Al hacer experimentos en los que un cuerpo mantenía una rapidez constante (es decir, un movimiento uniforme), notaron que el cociente de cualquier distancia recorrida por el cuerpo entre el tiempo que tardaba en recorrerla era siempre el mismo (constante). A esta razón de cambio la llamaron rapidez; es decir, la rapidez de un cuerpo es el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo del recorrido.  

34. 34 Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información. 1.7 DISEÑO DE UN ESTUDIO Y ELECCIÓN DE LA FORMA MÁS ADECUADA DE PRESENTACIÓN DE LOS DATOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS 1. En equipos de dos o tres personas harán una encuesta para conocer lo que podría ahorrar anualmente una persona si, en lugar de tener automóvil propio, opta por utilizar el sistema de transporte público. Para preparar la encuesta, primero hagan lo que se pide. a) La primera de las siguientes tres preguntas es la más adecuada para estimar el gasto anual de gasolina que hace una persona al viajar en automóvil. ¿Más o menos cuánto gastas en gasolina cada semana?• ¿Más o menos cuánto gastas en gasolina al año?• Exactamente, ¿cuánto gastas en gasolina al año?• Expliquen por qué las otras dos preguntas no son tan adecuadas. Ahora expliquen cómo, al tener una idea del gasto por semana, se puede calcular el gasto anual de una persona en gasolina. b) Decidan cuál o cuáles de las siguientes tres preguntas, relativas al costo del automóvil, les parecen adecuadas para plantearlas a diferentes personas. ¿Aproximadamente cuánto cuesta un carro?• ¿Cuánto te costó el carro cuando lo compraste?• ¿Cuánto cuesta ahora en la agencia un carro del modelo que tienes?• Para conocer el gasto promedio anual de una persona por la compra de un carro, además del costo, necesitan saber el tiempo de vida del carro. Con ambos datos, ¿cómo se puede calcular el gasto anual? c) Para aproximar el gasto anual por usar un automóvil, necesitan recabar los datos que aparecen a continuación. Para cada uno, en la primera línea formulen una pregunta que consideren pertinente para el dueño de un auto- móvil en una entrevista. En la segunda línea expliquen cómo emplearán ese dato para tener una aproximación del costo anual. Gasolina: LECCIÓN 1.7  

35. 35 Estacionamientos: Mantenimiento del auto: Llantas: Seguro del automóvil: Tenencia: Compra del carro: Comenten si hay algún otro dato que se pueda preguntar para calcular el gasto anual por usar un automóvil d) Formulen preguntas que permitan estimar, a partir de entrevistas a distintas personas, el gasto anual por usar el sistema de transporte público. Consideren que la mayoría de las personas hace viajes de rutina, es decir, los hace diaria- mente o cada semana (por ejemplo, toman la misma ruta para ir al trabajo) y hacen otros que no lo son (por ejemplo, paseos los fines de semana).  

36. 36 e) Ahora que han diseñado el cuestionario, aplíquenlo al menos a siete personas que tengan un automóvil y a otras siete que usen transporte público. Registren cuidadosamente todos los datos de cada entrevista. f) Una vez que hayan efectuado las entrevistas, deben elegir una manera de presentar cada uno de los siguientes datos. La variación en el gasto anual por uso de un carro de una persona a otra.• La variación en el gasto anual por uso del sistema de transporte público de• una persona a otra. Comparación del promedio del gasto anual por uso de un carro con el• promedio del gasto anual por uso del sistema de transporte público. g) En uno de los siguientes tipos de gráficas no es posible presentar ninguno de los tres datos anteriores. ¿Cuál es? Gráfica de barras Gráfica de línea Gráfica circular o de pastel h) Elijan qué tipo de gráfica utilizarán para presentar cada uno de sus datos, después háganlas en su cuaderno. Y ALGO MÁS... Es probable que el nombre estadística provenga del término latino status: el estado. En efecto, las primeras herramientas de la estadística desa- rrolladas en épocas muy antiguas se originaron por las necesidades del estado. Por ejemplo, para poder construir pirámides, los faraones egipcios del tercer milenio antes de Cristo ordenaban que se hicieran registros de la riqueza y la población. Además de finalidades tributarias, la estadística ha tenido usos militares: el emperador Augusto (63 a. C.-14 d. C.) mandó recopilar datos sobre la cantidad de soldados, naves y recursos del impe- rio romano. Además del uso para las decisiones políticas del estado, ha tenido una importante utilidad en diferentes ciencias. Mendel es uno de los primeros científi- cos que hizo una aportación importante de la estadística a las ciencias naturales  

Cuaderno trabajo matamaticas_3_aprendizaje_refuerzo

Estás leyendo una previsualización.

Eche un vistazo a continuación

Cuaderno trabajo matamaticas_3_aprendizaje_refuerzo

Más Contenido Relacionado

Presentaciones para usted (19)

Similares a Cuaderno trabajo matamaticas_3_aprendizaje_refuerzo (20)

Más de bernardoalatorre (9)

Más reciente (20)