Función característica de un vector gaussiano, y función densidad de probabilidad de un vector gaussiano

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2013
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e.
Análisis Estadístico y
Probabilístico
Francisco A. Sandoval

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AGENDA
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CAP. 6: Vectores Gaussianos

3. Agenda
co
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CAP. 6: Vectores Gaussianos
fra
lb
e.
• Función Característica de un Vector Aleatorio
• Función Densidad de Probabilidad de un
Vector Gaussiano.

4. Objetivos
fra
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e.
co
m
• Extender la noción de variable aleatoria
gaussiana al caso multivariable.

5. Vector Gaussiano
fra
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e.
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Definición 1: Vector Gaussiano
Se dice que un vector aleatorio 𝒙 es gaussiano o, en otras palabras,
que sus componentes son variables aleatorias conjuntamente
gaussianas, cuando la variable aleatoria real
𝑧 = 𝒂𝑇 𝒙
es gaussiana para cualquier vector 𝑛-dimensional 𝒂 ∈ ℝ 𝑛

6. m
fra
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e.
co
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE UN
VECTOR GAUSSIANO

7. Función característica de un vector gaussiano
m
La v.a. 𝑧 es gaussiana con media
co
𝑚𝑧 = 𝒂𝑇 𝒎𝒙
= 𝐸 𝒂𝑇 𝒙− 𝒎𝒙 𝒙− 𝒎𝒙 𝑇 𝒂
= 𝒂𝑇 𝑲𝒙 𝒂
donde 𝒎 𝒙 y 𝑲 𝒙 representan, respectivamente, el
vector media y la matriz covariancia del vector 𝒙.
2
lb
𝑧− 𝑚𝑧
fra
𝜎2 = 𝐸
𝑧
e.
y varianza

8. Función característica de un vector gaussiano
= 𝑒 𝑗𝑣𝒂
𝑇
1
− 𝑣𝒂 𝑇 𝑲 𝒙 𝒂𝑣
𝒎𝒙 𝑒 2
co
𝑀𝑧 𝑣 =
por otro lado
𝑣 2 𝜎2
𝑧
𝑗𝑣𝑚 𝑧 𝑒 − 2
𝑒
m
Entonces a partir de la definición de función característica
e.
𝑀 𝑧 𝑣 = 𝑀 𝑥 (𝒂𝑣)
comparando las ecuaciones anteriores, considerando
𝒗 = 𝒂𝑣 se llega finalmente a
lb
1 𝑇
𝑗𝒗 𝑇 𝒎 𝒙 −2 𝒗 𝑲 𝒙 𝒗
𝑒
𝑒
fra
𝑀𝑥 𝒗 =
que corresponde a la expresión de la función
característica de un vector gaussiano de media 𝒎 𝒙 y
matriz covariancia 𝑲 𝒙 .

9. Vectores Gaussianos
co
m
Propiedad 1:
Si 𝒙 es un vector gaussiano, entonces el vector 𝒚 definido por
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃
es también gaussiano.
lb
e.
Propiedad 2:
Si las componentes de un vector gaussiano 𝒙 son descorrelacionadas dos a
dos, entonces ellas son también estadísticamente independientes.
fra
Propiedad 3:
Dado un vector aleatorio gaussiano, es posible hacer que sus componentes
sean estadísticamente independientes a través de una transformación lineal.

10. m
co
fra
lb
e.
FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD
DE UN VECTOR GAUSSIANO

11. fdp de un vector gaussiano
fra
lb
e.
co
m
• Considere un vector aleatorio 𝒙, gaussiano, con
media 𝒎 𝒙 y matriz covarianza 𝑲 𝒌 .
• Se desea determinar la expresión de la función
densidad de probabilidad 𝑝 𝒙 (𝑿) del vector 𝒙.
𝒚 = 𝑷𝒙
donde la matriz 𝑷, corresponde a la transformación
lineal (definida en el cap. anterior). Este vector es
también gaussiano, y posee componentes
estadísticamente independientes.

12. fdp de un vector gaussiano
fra
lb
e.
co
m
𝒆1𝑇 𝒎 𝒙
𝒆2𝑇 𝒎 𝒙
𝑚 𝑦 = 𝑃𝑚 𝑥 =
⋮
𝒆𝑇 𝒎𝒙
𝑛
donde 𝒆 𝑖 ; (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) son autovectores
ortogonales de 𝑲 𝒙 .
La matriz covariancia de 𝒚 es dada por
𝜆1 0 ⋯ 0
0 𝜆2 ⋯ 0
𝑲𝒚 =
⋮
⋱ ⋮
⋮
0 0 ⋯ 𝜆𝑛

13. fdp de un vector gaussiano
co
m
donde 𝜆 𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 son autovalores de 𝑲 𝒙
asociados a los autovectores 𝒆 𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
fra
lb
e.
De este modo, las componentes 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦 𝑛 del
vector 𝒚 son todas gaussianas, estadísticamente
independientes, con función densidad de
probabilidad dada por
2
1
𝑇
1
𝒀 −𝒆 𝒎
−
2𝜆 𝑖 𝑖 𝑖 𝒙
𝑝 𝑦 𝑖 𝑌𝑖 =
𝑒
2𝜋 𝜆 𝑖

14. fdp de un vector gaussiano
m
En este caso, la función densidad de probabilidad
del vector 𝒚 es por tanto
𝑝 𝑦 𝑖 (𝑌𝑖 )
e.
𝑝𝒚 𝒀 =
co
𝑛
𝑖=1
lb
1
2𝜋
𝑛
2
fra
=
1
−
𝑒 2
𝑛
𝑖=1
𝜆𝑖
𝑛 1
𝑖=1 𝜆
𝑖
𝒀 𝑖 −𝒆 𝑖𝑇
𝒎𝑥
2

15. fdp de un vector gaussiano
m
Observe que
𝜆 𝑖 = det 𝑲 𝒚
𝑖=1
1
𝑌𝑖 − 𝑒 𝑖 𝑇 𝑚 𝑥
𝜆𝑖
2
co
𝑛
=
𝒀 − 𝑷𝒎 𝒙
e.
y
𝑖=1 𝑛
𝑇
𝑲−1 (𝒀 − 𝑷𝒎 𝒙 )
𝒚
lb
Es posible escribir la fdp del vector 𝒚 en notación matricial
fra
1
𝑝𝒚 𝒀 =
2𝜋
𝑛
2
det 𝑲 𝒚
1
−2 𝒀−𝑷𝒎 𝒙 𝑇 𝐾 −1 𝒀−𝑷𝒎 𝒙
𝑦
𝑒

16. fdp de un vector gaussiano
fra
lb
e.
co
m
Algunas observaciones
• a partir de la definición de la matriz 𝑷
𝑷𝑇 𝑷= 𝑰
• y por tanto
det 𝑷 det 𝑷 𝑇 = 1
• como det 𝑷 = det 𝑷 𝑇 , se tiene aún
det 𝑷 = ±1
• observe que, en el caso de la transformación
lineal
𝒙 = 𝒈 𝒚 = 𝑷−1 𝒚

17. fdp de un vector gaussiano
fra
lb
e.
co
m
el jacobiano de la transformación es igual a
𝛿 𝑔1 𝛿 𝑔1
𝛿 𝑔1
…
𝛿𝑌1 𝛿𝑌2
𝛿𝑌 𝑛
𝛿 𝑔2
𝛿 𝑔2 𝛿 𝑔2
𝐽 𝒈 𝒀 = det 𝛿𝑌1 𝛿𝑌2 … 𝛿𝑌 𝑛 = det 𝑷
⋮
⋮
⋱
⋮
𝛿𝑔𝑛 𝛿𝑔𝑛
𝛿𝑔𝑛
…
𝛿𝑌1 𝛿𝑌2
𝛿𝑌 𝑛
por tanto
𝐽𝑔 𝒀 = 1

18. fdp de un vector gaussiano
m
La fdp del vector 𝒙 es dada por
= 𝑝 𝒚 (𝑷 𝑇 𝑿)
𝑝𝒙 𝑿 = 𝑝𝒚 𝒀
𝑇
o sea
1
det 𝑲 𝒚
lb
2𝜋
si se observa que
𝑛
2
1
−2 𝑿−𝒎 𝒙 𝑇 𝑷 𝑇 𝑲−1 𝑷(𝑿−𝒎 𝒙 )
𝒚
𝑒
e.
𝑝𝒙 𝑿 =
co
𝒀=𝑷 𝑿
fra
𝐾 𝑦 = 𝑷𝑲 𝒚 𝑷 𝑇
se tiene que
det 𝑲 𝒚 = det 𝑷 det 𝑲 𝒙 det 𝑷 𝑻 = det 𝑲 𝒙

19. fdp de un vector gaussiano
fra
lb
e.
co
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por otro lado, permite escribir
−1
𝑇 −1 −1 −1
𝑲𝒚 = 𝑷
𝑲𝒙 𝑷
en esta ecuación. pre-multiplicando por 𝑷 𝑇 y
pós-multiplicada por 𝑷, se escribe
𝑇 𝑇 −1 −1 −1
𝑇 −1
𝑷 𝑲𝒚 𝑷= 𝑷 𝑷
𝑲 𝒙 𝑷 𝑷 = 𝑲−1
𝒙
finalmente, substituyendo se obtiene
1
1
− 𝑿−𝒎 𝒙 𝑇 𝑲−1 (𝑿−𝒎 𝒙 )
𝒙
𝑝𝒙 𝑿 =
𝑒 2
𝑛
2𝜋 2 det 𝑲 𝒙

20. fdp de un vector gaussiano
fra
lb
e.
co
m
• Observe que la fdp depende apenas de la
media 𝒎 𝒙 y de la matriz covariancia 𝑲 𝒙 del
vector aleatorio 𝒙.
• Este aspecto característico de los vectores
gaussianos, introduce simplificaciones
significativas en las aplicaciones que utilizan
modelos gaussianos.

21. Ejemplo 1
𝑇
un vector gaussiano de media nula y matriz covarianza
1
2
3
co
5 2
𝑲𝒙 = 2 4
1 2
m
Sea 𝒙 = 𝑥 𝑦 𝑧
fra
lb
e.
Se desea comparar la fdp de la v.a. 𝑧 con una fdp condicional de 𝑧 dado por 𝑥 = 𝑋 y
𝑦 = 𝑌.

22. Ejemplo 2
fra
lb
e.
co
m
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. conjuntamente gaussianas, estadísticamente independientes, con
media 𝑚 𝑥 = 100 y 𝑚 𝑦 = 50 y variancia 𝜎 2 = 48 y 𝜎 2 = 27. Se desea determinar la
𝑥
𝑦
probabilidad de la suma 𝑥 + 𝑦 excede el valor 160.

23. co
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fra
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e.
REFERENCIAS

24. Referencias
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lb
e.
co
m
• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.

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