AEP19. Presentaciones: Cap. 6 Vectores gaussianos
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Análisis estadístico y probabilístico 2019 Capítulo 6: Vectores gaussianos.
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- 1. Francisco Sandoval fasandoval@utpl.edu.ec https://sites.google.com/view/fasandovaln 2019 Análisis Estadístico y Probabilístico
- 2. AGENDA CAP. 6: Vectores Gaussianos
- 3. fasandoval@utpl.edu.ec Agenda CAP. 6: Vectores Gaussianos • Función Característica de unVector Aleatorio • Función Densidad de Probabilidad de un Vector Gaussiano.
- 4. fasandoval@utpl.edu.ec Objetivos • Extender la noción de variable aleatoria gaussiana al caso multivariable.
- 5. fasandoval@utpl.edu.ec Vector Gaussiano Definición 1: Vector Gaussiano Se dice que un vector aleatorio 𝒙 es gaussiano o, en otras palabras, que sus componentes son variables aleatorias conjuntamente gaussianas, cuando la variable aleatoria real 𝑧 = 𝒂 𝑇 𝒙 es gaussiana para cualquier vector 𝑛-dimensional 𝒂 ∈ ℝ 𝑛
- 6. FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE UN VECTOR GAUSSIANO
- 7. fasandoval@utpl.edu.ec Función característica de un vector gaussiano La v.a. 𝑧 es gaussiana con media 𝑚 𝑧 = 𝒂 𝑇 𝒎 𝒙 y varianza 𝜎𝑧 2 = 𝐸 𝑧 − 𝑚 𝑧 2 = 𝐸 𝒂 𝑇 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙 𝑇 𝒂 = 𝒂 𝑇 𝑲 𝒙 𝒂 donde 𝒎 𝒙 y 𝑲 𝒙 representan, respectivamente, el vector media y la matriz covariancia del vector 𝒙.
- 8. fasandoval@utpl.edu.ec Función característica de un vector gaussiano Entonces a partir de la definición de función característica 𝑀𝑧 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑚 𝑧 𝑒− 𝑣2 𝜎 𝑧 2 2 = 𝑒 𝑗𝑣𝒂 𝑇 𝒎 𝒙 𝑒− 1 2 𝑣𝒂 𝑇 𝑲 𝒙 𝒂𝑣 por otro lado 𝑀𝑧 𝑣 = 𝑀 𝑥(𝒂𝑣) comparando las ecuaciones anteriores, considerando 𝒗 = 𝒂𝑣 se llega finalmente a 𝑀 𝑥 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒎 𝒙 𝑒− 1 2 𝒗 𝑇 𝑲 𝒙 𝒗 que corresponde a la expresión de la función característica de un vector gaussiano de media 𝒎 𝒙 y matriz covariancia 𝑲 𝒙.
- 9. fasandoval@utpl.edu.ec Vectores Gaussianos Propiedad 1: Si 𝒙 es un vector gaussiano, entonces el vector 𝒚 definido por 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃 es también gaussiano. Propiedad 2: Si las componentes de un vector gaussiano 𝒙 son descorrelacionadas dos a dos, entonces ellas son también estadísticamente independientes. Propiedad 3: Dado un vector aleatorio gaussiano, es posible hacer que sus componentes sean estadísticamente independientes a través de una transformación lineal.
- 10. FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UN VECTOR GAUSSIANO
- 11. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano • Considere un vector aleatorio 𝒙, gaussiano, con media 𝒎 𝒙 y matriz covarianza 𝑲 𝒌. • Se desea determinar la expresión de la función densidad de probabilidad 𝑝 𝒙(𝑿) del vector 𝒙. 𝒚 = 𝑷𝒙 donde la matriz 𝑷, corresponde a la transformación lineal (definida en el cap. anterior). Este vector es también gaussiano, y posee componentes estadísticamente independientes.
- 12. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano 𝑚 𝑦 = 𝑃𝑚 𝑥 = 𝒆1 𝑇 𝒎 𝒙 𝒆2 𝑇 𝒎 𝒙 ⋮ 𝒆 𝑛 𝑇 𝒎 𝒙 donde 𝒆𝑖 ; (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) son autovectores ortogonales de 𝑲 𝒙. La matriz covariancia de 𝒚 es dada por 𝑲 𝒚 = 𝜆1 0 ⋯ 0 0 𝜆2 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋱ 0 ⋮ ⋯ ⋮ 𝜆 𝑛
- 13. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano donde 𝜆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 son autovalores de 𝑲 𝒙 asociados a los autovectores 𝒆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 De este modo, las componentes 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 del vector 𝒚 son todas gaussianas, estadísticamente independientes, con función densidad de probabilidad dada por 𝑝 𝑦 𝑖 𝑌𝑖 = 1 2𝜋 𝜆𝑖 𝑒 − 1 2𝜆 𝑖 𝒀 𝑖−𝒆 𝑖 𝑇 𝒎 𝒙 2
- 14. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano En este caso, la función densidad de probabilidad del vector 𝒚 es por tanto 𝑝 𝒚 𝒀 = ෑ 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑦 𝑖 (𝑌𝑖) = 1 2𝜋 𝑛 2 ς 𝑖=1 𝑛 𝜆𝑖 𝑒 − 1 2 σ 𝑖=1 𝑛 1 𝜆 𝑖 𝒀 𝑖−𝒆 𝑖 𝑇 𝒎 𝑥 2
- 15. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano Observe que ෑ 𝑖=1 𝑛 𝜆𝑖 = det 𝑲 𝒚 y 𝑖=1 𝑛 1 𝜆𝑖 𝑌𝑖 − 𝑒𝑖 𝑇 𝑚 𝑥 2 = 𝒀 − 𝑷𝒎 𝒙 𝑇 𝑲 𝒚 −1 (𝒀 − 𝑷𝒎 𝒙) Es posible escribir la fdp del vector 𝒚 en notación matricial 𝑝 𝒚 𝒀 = 1 2𝜋 𝑛 2 det 𝑲 𝒚 𝑒− 1 2 𝒀−𝑷𝒎 𝒙 𝑇 𝐾 𝑦 −1 𝒀−𝑷𝒎 𝒙
- 16. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano Algunas observaciones • a partir de la definición de la matriz 𝑷 𝑷 𝑇 𝑷 = 𝑰 • y por tanto det 𝑷 det 𝑷 𝑇 = 1 • como det 𝑷 = det 𝑷 𝑇 , se tiene aún det 𝑷 = ±1 • observe que, en el caso de la transformación lineal 𝒙 = 𝒈 𝒚 = 𝑷−1 𝒚
- 17. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano el jacobiano de la transformación es igual a 𝐽 𝒈 𝒀 = det 𝛿 𝑔1 𝛿𝑌1 𝛿 𝑔1 𝛿𝑌2 … 𝛿 𝑔1 𝛿𝑌𝑛 𝛿 𝑔2 𝛿𝑌1 𝛿 𝑔2 𝛿𝑌2 … 𝛿 𝑔2 𝛿𝑌𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿 𝑔 𝑛 𝛿𝑌1 𝛿 𝑔 𝑛 𝛿𝑌2 … 𝛿 𝑔 𝑛 𝛿𝑌𝑛 = det 𝑷 por tanto 𝐽 𝑔 𝒀 = 1
- 18. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano La fdp del vector 𝒙 es dada por 𝑝 𝒙 𝑿 = ቚ𝑝 𝒚 𝒀 𝒀=𝑷 𝑇 𝑿 = 𝑝 𝒚(𝑷 𝑇 𝑿) o sea 𝑝 𝒙 𝑿 = 1 2𝜋 𝑛 2 det 𝑲 𝒚 𝑒− 1 2 𝑿−𝒎 𝒙 𝑇 𝑷 𝑇 𝑲 𝒚 −1 𝑷(𝑿−𝒎 𝒙) si se observa que 𝐾𝑦 = 𝑷𝑲 𝒚 𝑷 𝑇 se tiene que det 𝑲 𝒚 = det 𝑷 det 𝑲 𝒙 det 𝑷 𝑻 = det 𝑲 𝒙
- 19. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano por otro lado, permite escribir 𝑲 𝒚 −1 = 𝑷 𝑇−1 𝑲 𝒙 −1 𝑷−1 en esta ecuación, pre-multiplicada por 𝑷 𝑇 y pós- multiplicada por 𝑷, se escribe 𝑷 𝑇 𝑲 𝒚 −1 𝑷 = 𝑷 𝑇 𝑷 𝑇−1 𝑲 𝒙 −1 𝑷−1 𝑷 = 𝑲 𝒙 −1 finalmente, substituyendo se obtiene 𝑝 𝒙 𝑿 = 1 2𝜋 𝑛 2 det 𝑲 𝒙 𝑒− 1 2 𝑿−𝒎 𝒙 𝑇 𝑲 𝒙 −1(𝑿−𝒎 𝒙)
- 20. fasandoval@utpl.edu.ec fdp de un vector gaussiano • Observe que la fdp depende apenas de la media 𝒎 𝒙 y de la matriz covariancia 𝑲 𝒙 del vector aleatorio 𝒙. • Este aspecto característico de los vectores gaussianos, introduce simplificaciones significativas en las aplicaciones que utilizan modelos gaussianos.
- 21. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 1 Sea 𝒙 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑇 un vector gaussiano de media nula y matriz covarianza 𝑲 𝒙 = 5 2 1 2 4 2 1 2 3 Se desea comparar la fdp de la v.a. 𝑧 con una fdp condicional de 𝑧 dado por 𝑥 = 𝑋 y 𝑦 = 𝑌.
- 22. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 2 Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. conjuntamente gaussianas, estadísticamente independientes, con media 𝑚 𝑥 = 100 y 𝑚 𝑦 = 50 y variancia 𝜎 𝑥 2 = 48 y 𝜎 𝑦 2 = 27. Se desea determinar la probabilidad de la suma 𝑥 + 𝑦 excede el valor 160.
- 23. REFERENCIAS
- 24. fasandoval@utpl.edu.ec Referencias • ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC. • Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide] • Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide] • ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and Random Processes For Electrical Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall, University of Toronto, 2008.
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