7 ecuaciones de_ maxwell
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Este documento presenta las ecuaciones de Maxwell y la teoría de campos electromagnéticos variables en el tiempo. Introduce la ley de Faraday y diferentes tipos de fuerza electromotriz. Explica la necesidad de incluir la corriente de desplazamiento para mantener la compatibilidad matemática. Finalmente, presenta las ecuaciones de Maxwell definitivas y el análisis de campos armónicos mediante el uso de fasores.
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- 1. Ecuaciones de Maxwell Teoría de Campos Electromagnéticos Francisco A. Sandoval fralbe.com
- 2. Agenda Ley de Faraday Fuerza electromotriz estática y cinética Corriente de desplazamiento Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell Potenciales variables en el tiempo Campos armónicos en el tiempo fralbe.com
- 5. Introducción Anteriormente, análisis de campos electromagnéticos estáticos, o invariables en el tiempo. Ahora, campos estáticos y magnéticos dinámicos, o variables en el tiempo. Campos dinámicos son interdependientes: campo eléctrico variable en el tiempo implica necesariamente campo magnético correspondientemente variable en el tiempo. Poseen mayor valor práctico que los estáticos. Campos dinámicos suelen deberse a cargas aceleradas o corrientes variables en el tiempo. fralbe.com
- 6. Introducción Cargas estacionarias campos electrostáticos Corrientes estacionarias campos magnetostáticos Corrientes variables en el tiempo campos (u ondas) electromagnéticos Diversos tipos de corriente variable en el tiempo: a) sinusoidal, b) rectangular, c) triangular fralbe.com
- 8. Ley de Faraday Faraday descubrió que la fuerza electromotriz inducida, 𝑉𝑓𝑒 (en volts), en un circuito cerrado es igual a la rapidez de cambio del eslabonamiento de flujo magnético por el circuito. 𝑉𝑓𝑒 = − 𝑑𝜆 𝑑𝑡 = −𝑁 𝑑𝜓 𝑑𝑡 𝑁, es el número de vueltas en el circuito 𝜓, flujo a través de cada una de ellas. −, indica que el voltaje inducido es contrario al flujo que lo produce. (Ley de Lenz) fralbe.com
- 9. Ley de Faraday Campos eléctricos (hasta ahora) son causados por cargas eléctricas. Existen otros campos, producidos por fuerza electromotriz. Fuentes de fuerza electromotriz: generadores eléctricos, baterías, pilas termoeléctricas, pilas de Grove, y pilas fotovoltaicas. (convierten energía no eléctrica en eléctrica) generador fralbe.com
- 10. Ley de Faraday Circuito en el que se muestra un campo generador de fuerza electromotriz 𝑬 𝑓 y un campo electrostático 𝑬 𝑒 • La acción electroquímica de la batería da como resultado un campo producido por fuerza electromotriz 𝑬 𝑓. • La acumulación de carga en las terminales de la batería causa asimismo un campo electrostático 𝑬 𝑒. • El campo eléctrico total en cualquier punto es: 𝑬 = 𝑬 𝑓 + 𝑬 𝑒 fralbe.com
- 11. Ley de Faraday La fuerza electromotriz de la batería es la integral de línea del campo producido por esa fuerza 𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 𝑓 ∙ 𝑑𝒍 𝑃 𝑁 = − 𝑬 𝑒 ∙ 𝑑𝒍 = 𝐼𝑅 𝑃 𝑁 Puede interpretarse como la diferencia de potencial 𝑉𝑃 − 𝑉𝑁 entre los terminales de la batería en circuito abierto. 1. Un campo electrostático 𝑬 𝑒 no puede mantener una corriente estacionaria en un circuito cerrado, ya que 𝑬 𝑒 ∙ 𝑑𝒍𝐿 = 0 = 𝐼𝑅 2. Un campo producido por fuerza electromotriz 𝑬 𝑓 no es conservativo. 3. Excepto en electrostática, voltaje y diferencia de potencial por lo general no son equivalentes. fralbe.com
- 12. Fuerza electromotriz estática y cinética fralbe.com
- 13. Fuerza electromotriz estática y cinética 𝑉𝑓𝑒 = −𝑁 𝑑𝜓 𝑑𝑡 En el caso de circuito de una vuelta (𝑁 = 1) 𝑉𝑓𝑒 = − 𝑑𝜓 𝑑𝑡 En términos de 𝑬 y 𝑩. 𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = − 𝑑 𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝑺 𝑆𝐿 𝑆 es el área de la superficie del circuito delimitado por la trayectoria cerrada 𝐿. Los campos eléctricos como magnéticos están presentes y se interrelacionan en un situación de variación de tiempo. 𝑑𝒍 y 𝑑𝑺 son acordes con la regla de la mano derecha y el teorema de Stokes. fralbe.com
- 14. Fuerza electromotriz estática y cinética La variación de flujo con el tiempo, puede deberse a tres causas: 1. Una espira estacionaria en un campo 𝑩 variable en el tiempo. 2. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩 estático. 3. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩 variable en el tiempo. fralbe.com
- 15. Espira estacionaria en un campo 𝑩 variable en el tiempo Una espira conductora estacionaria se ubica en un campo magnético 𝑩 variable en el tiempo. 𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = − 𝜕𝑩 𝜕𝑡 ∙ 𝑑𝑺 𝑆𝐿 A esta fuerza electromotriz inducida por una corriente variable en el tiempo en una espira estacionaria se le llama fuerza electromotriz estática. Aplicando teorema de Stoke al termino intermedio: 𝛻 × 𝑬 ∙ 𝑑𝑺 = − 𝜕𝑩 𝜕𝑡 ∙ 𝑑𝑺 𝑆𝐿 𝛻 × 𝑬 = − 𝜕𝑩 𝜕𝑡 fralbe.com
- 16. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩 estático. La fuerza sobre una carga en movimiento a una velocidad uniforme 𝒖 en un campo magnético 𝑩 es 𝑭 𝑚 = 𝑄𝒖 × 𝑩 El campo eléctrico cinético 𝑬 𝑚 𝑬 𝑚 = 𝑭 𝑚 𝑄 = 𝒖 × 𝑩 Suponer que una espira conductora en movimiento a una velocidad uniforme 𝒖 se compone de gran número de electrones libres, la fuerza electromotriz inducida en ella es: 𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 𝒎 ∙ 𝑑𝒍 𝐿 = 𝒖 × 𝑩 ∙ 𝑑𝒍 𝑳 Fuerza electromotriz presente en máquinas eléctricas como motores, generadores y alternadores. Fuerza electromotriz cinética o por corte de flujo. fralbe.com
- 17. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩 estático. Fuerza electromotriz inducida debida a una espira en un campo 𝑩 estático Precauciones: 1. La integral de esta ecuación es igual a cero a lo largo de la porción de la espira en la que 𝒖 = 0. 2. La dirección de la corriente inducida es la misma que la de 𝑬 𝑚 o 𝒖 × 𝑩. Los límites de la integral de esta ecuación se seleccionan en la dirección opuesta a la de la corriente inducida. fralbe.com
- 18. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩 variable en el tiempo. Situación general, con presencia de fuerza electromotriz estática y cinética. fralbe.com
- 20. Ejemplo 1 - Solución fralbe.com
- 21. Ejemplo 1 - Solución fralbe.com
- 23. Corriente de Desplazamiento Reconsiderando ley de circuitos de Ampere, en función de la variación en el tiempo: 𝛻 × 𝑯 = 𝑱 La divergencia del rotacional de un campo vectorial es idéntica a cero. 𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱 La continuidad de la corriente, exige que: 𝛻 ∙ 𝑱 = − 𝜕𝜌 𝑣 𝜕𝑡 ≠ 0 Las ecuaciones anteriores son incompatibles respecto de variación en el tiempo. fralbe.com
- 24. Corriente de Desplazamiento Se añade un término a la ecuación: 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝑱 + 𝑱 𝑑 La divergencia del rotacional de un vector es igual a cero. 𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱 + 𝛻 ∙ 𝑱 𝑑 𝛻 ∙ 𝑱 𝑑 = −𝛻 ∙ 𝑱 = 𝜕𝜌 𝑣 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 𝛻 ∙ 𝑫 = 𝛻 ∙ 𝜕𝑫 𝜕𝑡 𝛻 × 𝑯 = 𝑱 + 𝜕𝑫 𝜕𝑡 𝑱 𝑑 = 𝜕𝑫 𝜕𝑡 Densidad de corriente de desplazamiento 𝑱, densidad de corriente de conducción fralbe.com
- 25. Corriente de Desplazamiento Inserción de 𝑱 𝑑, una de las mayores contribuciones de Maxwell. A bajas frecuencias 𝑱 𝑑 suele ser insignificante en comparación con 𝑱, pero en radiofrecuencias son comparables. La corriente de desplazamiento se define como: fralbe.com
- 26. Corriente de Desplazamiento La aplicación de la versión estricta de la ley de circuitos de Ampère a la trayectoria cerrada 𝐿 de la figura (a) resulta: 𝐼, es la corriente a través del conductor. 𝑆1, superficie plana delimitada por 𝐿. Para la figura (b) Por 𝑆2 no fluye corriente de conducción. Existe contradicción. Dos superficies de integración que demuestran la necesidad de 𝑱 𝑑 en la ley de los circuitos de Ampère. fralbe.com
- 27. Corriente de Desplazamiento Es necesario incluir la corriente de desplazamiento. La densidad de corriente total es 𝑱 + 𝑱 𝑑. Para la figura (a), 𝑱 𝑑 = 0. Para la figura (b), 𝑱 = 0. De modo que: fralbe.com
- 28. Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell fralbe.com
- 29. Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell fralbe.com
- 30. Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell fralbe.com
- 31. Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell fralbe.com
- 32. Campos Armónicos en el Tiempo fralbe.com
- 33. Campos Armónicos en el Tiempo Además de ser de valor práctico, el análisis sinusoidal puede prolongarse a la mayoría de las formas de ondas por medio de técnicas de transformación de Fourier. Los sinusoides son de fácil expresión en fasores. Un campo armónico en el tiempo es el que varía periódica o sinusoidalmente en el tiempo. fralbe.com
- 34. Fasores 𝑗 = −1 𝑥 parte real de 𝑧 𝑦 parte imaginaria de 𝑧 𝑟 es la magnitud de 𝑧 𝜙 es la fase de 𝑧 Un fasor 𝑧 es un número complejo que puede expresarse como fralbe.com
- 35. Fasores Efectuar adición y substracción de fasores en forma rectangular, y la multiplicación y división en forma polar. Propiedades básicas Adición: Sustracción: Multiplicación: División: Raíz Cuadrada: Conjugado complejo: fralbe.com
- 36. Campos Armónicos en el Tiempo Ecuaciones de Maxwell para campos armónicos en el tiempo suponiendo el factor de tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡 fralbe.com
- 38. Bibliografía y Referencias Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo», Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010. fralbe.com
- 39. Esta obra esta bajo licencia Creative Commons de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras Derivadas, Ecuador 3.0 www.creativecommons.org www.fralbe.com fralbe.com