Introducción a la teoría de la probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos

1. Francisco A. Sandoval
Análisis Estadístico y
Probabilístico
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2. Agenda
CAP. 1: INTRODUCCIÓN
• Revisión del plan docente
• Introducción a la probabilidad y estadística.
• Ejemplos de aplicación
• Conocimientos previos recomendados
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3. Plan docente
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4. INTRODUCCIÓN
Definición, justificación
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5. Azar
Se mueve, cambia
de forma, crece,
decrece todo sin
causa aparente.
Se podría predecir
un patrón, o
modelo
matemático?
«La vida no es así».
«Algunas veces las
cosas que suceden
no se podrían
haber previsto»
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6. Azar: Andar de un borracho)
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7. Azar: mov. browniano - ¿quién?
movimiento browniano
Gauss
Newton
Pierre De
Fermat
Einstein
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8. Azar: Movimiento browniano
Agua Caliente Agua fría
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9. Azar
«El perfil de nuestras vidas, como la llama de la vela,
se mueve continuamente hacia nuevas direcciones a
causa de una variedad de sucesos aleatorios que,
junto con nuestra respuesta a ellos, determinan
nuestro destino.» (Mlodinow)
«Los mecanismos mediante los cuales las personas
analizan situaciones que implican azar son un
producto intrincado de factores evolutivos, estructura
del cerebro, experiencia personal, conocimiento y
emoción. » (Mlodinow)
«La respuesta humana a la incertidumbre es tan
compleja que, en ocasiones, diferentes estructuras
dentro del cerebro llegan a diferentes conclusiones y
aparentemente compiten para determinar cual de
ellas domina». (Mlodinow)
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10. Azar: «Adivinanza de Probabilidad»
Predecir si el siguiente
miembro de la secuencia
será rojo o verde.
Los colores aparecen con diferente probabilidad, por lo demás sin ninguna pauta.
vs
¿Quién
ganará?
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11. Azar: «Adivinanza de Probabilidad»
EstrategiasBásicas
Conjeturar acerca del color que,
según has notado es el más frecuente
Garantiza un cierto grado de éxito,
pero también se asume que no se
hará mejor.
Ejemplo: si el color verde aparece un
75% del tiempo y decides apostar
siempre por él, estarás en lo cierto un
75% de las veces.
Ruta preferida de las ratas y otros
animales no humanos
«Combinar» tu proporción de
conjetura de verde y rojo con la
proporción de verde y rojo que
observaste en el pasado.
Si el color verde y rojo aparecen con
alguna pauta y eres capaz de
adivinarla, acertarás cada vez.
Pero, si los colores aparecen
aleatoriamente, habrías hecho mejor
manteniéndote en un color.
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12. Azar: «Adivinanza de Probabilidad»
Los humanos normalmente tratan de adivinar la pauta, y el proceso nos permite
ser superados por una rata.
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13. Azar: Reproducción aleatoria
La verdadera aleatoriedad a veces produce
repeticiones, pero escuchar la misma o mismas
canciones del mismo artista sonar una y otra vez
provocaba que sus usuarios creyeran que el barajador
no era aleatorio. De modo que lo hicieron "menos
aleatorio para que pareciese más aleatorio" explicó el
fundador de Apple, Stephen Jobs..
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14. Invitación a leer
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15. Modelo - fenómeno
fenómeno
Mundo Real
Causas
Efecto
MODELO
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16. Aleatorio vs Determinista
Fenómeno aleatorio:
Es un suceso que a pesar de realizarlo
bajo las mismas condiciones iniciales, el
resultado final no se puede predecir.
economía Juego de azar
clima
Fenómeno Determinista:
Sucesos que tenemos la certeza de lo que
va a suceder, bajo condiciones iniciales
conocidas.
Averiguar espacio recorrido por un
cuerpo en caída libre en el vacío al cabo
de un cierto tiempo 𝑡.
𝑠 =
1
2
𝑔𝑡2
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17. Probabilidad
Def 1: Medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un
suceso ocurra. (Murray R.)
Def 2: Propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden
predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.1
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18. Estadística
Ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos .1
1
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19. Estadística
«Si Juan se come dos pollos y Pepe
ninguno, la estadística dirá que tocaban
a uno por cabeza»
«Las estadísticas son como los bikinis, lo
que muestran es sugerente, pero lo que
esconden es vital» (Aaron Levenstein).
Es importante definir los datos para
resolver un problema?
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20. Estadística
CLASIFICACIÓN ACTUAL PROPUESTA
POS NOMBRE DEL EQUIPO PJ PG PE PP GF GC PUNTOS PG PP PUNTOS
1 Emelec 22 13 5 4 35 14 44 13 -4 9
2 Independiente del Valle 22 11 7 4 36 18 40 11 -4 7
3 Liga de Loja 22 11 3 8 25 31 36 11 -8 3
4 Barcelona 22 10 5 7 26 18 35 10 -7 3
5 Liga de Quito 22 7 8 7 20 22 29 7 -7 0
6 Universidad Católica (E) 22 8 4 10 26 28 28 8 -10 -2
7 El Nacional 22 8 3 11 26 35 27 8 -11 -3
8 Deportivo Quito 22 6 8 8 20 22 26 6 -8 -2
9 Olmedo 22 6 8 8 21 24 26 6 -8 -2
10 Mushuc Runa 22 7 5 10 19 24 26 7 -10 -3
11 Manta 22 6 5 10 21 29 23 6 -10 -4
12 Deportivo Cuenca 22 6 5 11 21 31 23 6 -11 -5
Partidos ganados tendrán 1 punto, los empatados o puntos, y los perdidos -1 punto.
El orden de clasificación cambia partiendo de los mismos datos.
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21. Probabilidad y Estadística
El Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una
ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de
probabilidad .1
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22. Introducción
Muchos problemas de interés para ingenieros e
investigadores envuelven situaciones que utilizan un
modelo de causa y efecto, donde el análisis
determinístico se torna inadecuado.
En conexión con cualquier fenómeno siempre hay
causas de difícil descripción determinística.
En situaciones donde existen causas de difícil
descripción detallada en el modelo, que influyen de
forma significativa en el fenómeno a ser descrito, es
aconsejable emplear modelos probabilísticos.
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23. EJEMPLOS
Telecomunicaciones, otros ámbitos
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24. Sistema de Telecomunicaciones Digital
Teoría de la Decisión
Fuente Transmisor Receptor
𝑛(𝑡)
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25. Tráfico
• Información originada por un servicio de telecomunicación
y entregada hacia la red que lo transporta.
Aplicación Aplicación
• Las características del tráfico dependen del servicio
y del modo en que los datos son transportados
o Conmutación de circuitos vs. paquetes
o Servicios de voz, video, datos, etc.fralbe.com

26. Tráfico Telefónico
CENTRAL A CENTRAL B
200
terminales
telefónicos
𝑛 circuitos
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27. Tráfico Telefónico
• Determinar el número de circuitos que deben
ser instalados entre la central A y otra central
B para que se pueda atender el tráfico
generado en A y destinado a B.
– Sentido estricto: 𝑛 = 200 (Sub-utilizado,
innecesario, costo elevado)
– Determinístico: averiguar 𝑛 𝑚𝑎𝑥 (como?,
adecuado?)
– Probabilístico: caracterizar el comportamiento
medio. (teoría de filas)
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28. Módelo de Tráfico Web [Tráfico de datos]
• Suele utilizarse un modelo estructural de varios niveles:
– NIVEL DE SESIÓN: Desde que abre el navegador hasta que termina de
navegar. Está formado por la lectura de 1 ó más páginas web.
– NIVEL DE PÁGINA: Consulta por parte del usuario de una páginaWeb,
formada por un conjunto de ficheros (HTML, sonido, imágenes
estáticas, vídeo), que serán transferidos a través de una o varias
conexionesTCP.
– NIVEL DE PAQUETE: definido por el tamaño de los paquetes y el
tiempo entre llegadas de los mismos.
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29. Módelo de Tráfico Web [Tráfico de datos]
• A nivel de página:
– Objeto principal
– Objeto secundarios
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30. Módelo de Tráfico Web [Tráfico de datos]
Variable Distribución Parámetros PDF
Tamaño del
objeto principal
Lognormal
Truncada
Media = 10710 bytes
Std dev = 25032 bytes
Min = 100 bytes
Max = 2 Mbytes
𝑓𝑥 =
1
2𝜋𝜎𝑥
exp −
ln 𝑥 − 𝑢 2
2𝜎2
, 𝑥 ≥ 0
𝜎 = 1.37, 𝜇 = 8.35
Tamaño del
objeto
secundario
Lognormal
Truncada
Media = 7758 bytes
Std dev = 126168 bytes
Min = 50 bytes
Max = 2 Mbytes
𝑓𝑥 =
1
2𝜋𝜎𝑥
exp −
ln 𝑥 − 𝑢 2
2𝜎2
, 𝑥 ≥ 0
𝜎 = 2.36, 𝜇 = 6.17
Número de
objetos
secundarios por
página
Pareto
Truncada
Media = 5,564
Max = 53
𝑓𝑥 =
𝛼 𝑘
𝛼
𝛼+1
, 𝑘 ≤ 𝑥 < 𝑚; 𝑓𝑥 =
𝑘
𝑚
𝛼
, 𝑥 = 𝑚
𝛼 = 1.1, 𝑘 = 2, 𝑚 = 55
Nota: Restar 𝑘 al número aleatorio para obtener 𝑁
Tiempo de
lectura
Exponencial Media = 30 s 𝑓𝑥 = 𝜆 𝑒
−𝜆𝑥
, 𝑥 ≥ 0
𝜆 = 0.033
Tiempo de
procesamiento
Exponencial Media = 0,13 s 𝑓𝑥 = 𝜆 𝑒
−𝜆𝑥
, 𝑥 ≥ 0
𝜆 = 7.69
Tamaño de
paquete
Determinística Media = (MTU – Cabeceras TCP/IP)
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31. Desvanecimiento de Señales Radioeléctricas
A B
Enlace radioeléctrico con línea de vista
Desvanecimiento de señales
radioeléctricas
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32. Unidades de Reserva en Generación de Energía
Eléctrica
Generador
Reserva 1
Reserva 2
Reserva 𝑁
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33. Otros Ejemplos de Aplicación
• Redes de computadores
• Sistemas de comunicaciones
• Propagación de ondas electromagnéticas
• Política de seguros
• Control de calidad
• Energía y medio ambiente
• Toma de decisiones, análisis de riesgos
• Resistencia de los materiales
• Ingeniera de Tráfico
• Mercado financiero
• Física y Química
• Vida personal (*)
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34. Índice Dow Jones
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35. Juegos de Azar
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36. CONOCIMIENTOS PREVIOS
RECOMENDADOS
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37. Conocimientos Previos Recomendados
• Se recomienda al estudiante haber aprobado las
componentes de Cálculo y Fundamentos Matemáticos.
• Además se recomienda tener conocimiento de los
siguientes temas:
• Fundamentos Matemáticos: Teoría de conjuntos,
función de variable real, derivación, integración, álgebra
matricial, análisis de Fourier de sistemas en tiempo
continuo y en tiempo discreto.
• Señales y Sistemas: Señales continuas y discretas,
respuesta al impulso, respuesta frecuencial, sistemas lineales
invariantes en el tiempo, convolución, función de
transferencia.
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38. Tarea: Numb3s (Video)
Episode 1-01: Pilot Episode
Los Angeles FBI agent Don Eppes
recruits his mathematical genius brother
Charlie to help him solve crimes. In the
debut episode, a serial rapist begins
killing his victims, terrorizing the area, so
the brothers work to pinpoint the
suspect's point of origin by using a math
equation based on the various crime-
scene locations.
Math used:
geographic profiling, probability theory,
eleven-dimensional supergravity theory,
projectile motion.
Fuente: http://numb3rs.wolfram.com/season1.html
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39. Tarea
• Lectura: Leer el capítulo 1: Mirando a través del
lente del azar, del libro “El andar del borracho:
Cómo el azar gobierna nuestras vidas”.
• Realizar un ensayo bajo el tema:“Aplicaciones de
la Teoría de Probabilidad y los Procesos
estocásticos”. (Máximo 3 hojas, formato paper
IEEE).
• Revisar el documento de apéndice:
Conocimientos previos.
• Revisar los contenidos de la siguiente semana.
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40. REFERENCIASfralbe.com

41. Referencias
[1] ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
[2] Ejemplos deTráfico: Simulación de protocolos de enrutamiento
para redes móviles ad-hoc mediante herramientas de simulación NS-3,
Modelo de Servicios, Universidad de Málaga, 2014.
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