6 vectores gaussianos

Francisco Sandoval
fasandoval@utpl.edu.ec
2017
Análisis Estadístico y
Probabilístico

AGENDA
CAP. 6: Vectores Gaussianos

Agenda
CAP. 6: Vectores Gaussianos
• Función Característica de unVector Aleatorio
• Función Densidad de Probabilidad de un
Vector Gaussiano.

Objetivos
• Extender la noción de variable aleatoria
gaussiana al caso multivariable.

Vector Gaussiano
Definición 1: Vector Gaussiano
Se dice que un vector aleatorio 𝒙 es gaussiano o, en otras palabras,
que sus componentes son variables aleatorias conjuntamente
gaussianas, cuando la variable aleatoria real
𝑧 = 𝒂 𝑇 𝒙
es gaussiana para cualquier vector 𝑛-dimensional 𝒂 ∈ ℝ 𝑛

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE UN
VECTOR GAUSSIANO

Función característica de un vector gaussiano
La v.a. 𝑧 es gaussiana con media
𝑚 𝑧 = 𝒂 𝑇
𝒎 𝒙
y varianza
𝜎𝑧
2
= 𝐸 𝑧 − 𝑚 𝑧
2
= 𝐸 𝒂 𝑇
𝒙 − 𝒎 𝒙 𝒙 − 𝒎 𝒙
𝑇
𝒂
= 𝒂 𝑇
𝑲 𝒙 𝒂
donde 𝒎 𝒙 y 𝑲 𝒙 representan, respectivamente, el
vector media y la matriz covariancia del vector 𝒙.

Función característica de un vector gaussiano
Entonces a partir de la definición de función característica
𝑀𝑧 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑚 𝑧 𝑒−
𝑣2 𝜎 𝑧
2
2 = 𝑒 𝑗𝑣𝒂 𝑇 𝒎 𝒙 𝑒−
1
2
𝑣𝒂 𝑇 𝑲 𝒙 𝒂𝑣
por otro lado
𝑀𝑧 𝑣 = 𝑀 𝑥(𝒂𝑣)
comparando las ecuaciones anteriores, considerando 𝒗 =
𝒂𝑣 se llega finalmente a
𝑀 𝑥 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒎 𝒙 𝑒−
1
2
𝒗 𝑇 𝑲 𝒙 𝒗
que corresponde a la expresión de la función
característica de un vector gaussiano de media 𝒎 𝒙 y
matriz covariancia 𝑲 𝒙.

Vectores Gaussianos
Propiedad 1:
Si 𝒙 es un vector gaussiano, entonces el vector 𝒚 definido por
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃
es también gaussiano.
Propiedad 2:
Si las componentes de un vector gaussiano 𝒙 son descorrelacionadas dos a
dos, entonces ellas son también estadísticamente independientes.
Propiedad 3:
Dado un vector aleatorio gaussiano, es posible hacer que sus componentes
sean estadísticamente independientes a través de una transformación lineal.

FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD
DE UN VECTOR GAUSSIANO

fdp de un vector gaussiano
• Considere un vector aleatorio 𝒙, gaussiano, con
media 𝒎 𝒙 y matriz covarianza 𝑲 𝒌.
• Se desea determinar la expresión de la función
densidad de probabilidad 𝑝 𝒙(𝑿) del vector 𝒙.
𝒚 = 𝑷𝒙
donde la matriz 𝑷, corresponde a la transformación
lineal (definida en el cap. anterior). Este vector es
también gaussiano, y posee componentes
estadísticamente independientes.

𝑚 𝑦 = 𝑃𝑚 𝑥 =
𝒆1
𝑇
𝒎 𝒙
𝒆2
𝑇
𝒎 𝒙
⋮
𝒆 𝑛
𝑇
𝒎 𝒙
donde 𝒆𝑖 ; (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) son autovectores ortogonales de
𝑲 𝒙.
La matriz covariancia de 𝒚 es dada por
𝑲 𝒚 =
𝜆1 0 ⋯ 0
0 𝜆2 ⋯ 0
⋮
0
⋱
0
⋮
⋯
⋮
𝜆 𝑛

donde 𝜆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 son autovalores de 𝑲 𝒙
asociados a los autovectores 𝒆𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
De este modo, las componentes 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 del
vector 𝒚 son todas gaussianas, estadísticamente
independientes, con función densidad de
probabilidad dada por
𝑝 𝑦 𝑖
𝑌𝑖 =
1
2𝜋 𝜆𝑖
𝑒
−
1
2𝜆 𝑖
𝒀 𝑖−𝒆 𝑖
𝑇
𝒎 𝒙
2

En este caso, la función densidad de probabilidad
del vector 𝒚 es por tanto
𝑝 𝒚 𝒀 = ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑝 𝑦 𝑖
(𝑌𝑖)
=
1
2𝜋
𝑛
2 ς 𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖
𝑒
−
1
2
σ 𝑖=1
𝑛 1
𝜆 𝑖
𝒀 𝑖−𝒆 𝑖
𝑇
𝒎 𝑥
2

Observe que
ෑ
𝑖=1 𝑛
𝜆𝑖 = det 𝑲 𝒚
y
෍
𝑖=1
𝑛
1
𝜆𝑖
𝑌𝑖 − 𝑒𝑖
𝑇
𝑚 𝑥
2
= 𝒀 − 𝑷𝒎 𝒙
𝑇 𝑲 𝒚
−1(𝒀 − 𝑷𝒎 𝒙)
Es posible escribir la fdp del vector 𝒚 en notación matricial
𝑝 𝒚 𝒀 =
1
2𝜋
𝑛
2 det 𝑲 𝒚
𝑒−
1
2
𝒀−𝑷𝒎 𝒙
𝑇 𝐾 𝑦
−1 𝒀−𝑷𝒎 𝒙

Algunas observaciones
• a partir de la definición de la matriz 𝑷
𝑷 𝑇
𝑷 = 𝑰
• y por tanto
det 𝑷 det 𝑷 𝑇
= 1
• como det 𝑷 = det 𝑷 𝑇
, se tiene aún
det 𝑷 = ±1
• observe que, en el caso de la transformación
lineal
𝒙 = 𝒈 𝒚 = 𝑷−1
𝒚

el jacobiano de la transformación es igual a
𝐽 𝒈 𝒀 = det
𝛿 𝑔1
𝛿𝑌1
𝛿 𝑔1
𝛿𝑌2
…
𝛿 𝑔1
𝛿𝑌𝑛
𝛿 𝑔2
𝛿𝑌1
𝛿 𝑔2
𝛿𝑌2
…
𝛿 𝑔2
𝛿𝑌𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝛿 𝑔 𝑛
𝛿𝑌1
𝛿 𝑔 𝑛
𝛿𝑌2
…
𝛿 𝑔 𝑛
𝛿𝑌𝑛
= det 𝑷
por tanto
𝐽 𝑔 𝒀 = 1

La fdp del vector 𝒙 es dada por
𝑝 𝒙 𝑿 = ቚ𝑝 𝒚 𝒀
𝒀=𝑷 𝑇 𝑿
= 𝑝 𝒚(𝑷 𝑇
𝑿)
o sea
𝑝 𝒙 𝑿 =
1
2𝜋
𝑛
2 det 𝑲 𝒚
𝑒−
1
2 𝑿−𝒎 𝒙
𝑇 𝑷 𝑇 𝑲 𝒚
−1 𝑷(𝑿−𝒎 𝒙)
si se observa que
𝐾 𝑦 = 𝑷𝑲 𝒚 𝑷 𝑇
se tiene que
det 𝑲 𝒚 = det 𝑷 det 𝑲 𝒙 det 𝑷 𝑻
= det 𝑲 𝒙

por otro lado, permite escribir
𝑲 𝒚
−1
= 𝑷 𝑇−1
𝑲 𝒙
−1
𝑷−1
en esta ecuación. pre-multiplicando por 𝑷 𝑇
y
pós-multiplicada por 𝑷, se escribe
𝑷 𝑇
𝑲 𝒚
−1
𝑷 = 𝑷 𝑇
𝑷 𝑇−1
𝑲 𝒙
−1
𝑷−1
𝑷 = 𝑲 𝒙
−1
finalmente, substituyendo se obtiene
𝑝 𝒙 𝑿 =
1
2𝜋
𝑛
2 det 𝑲 𝒙
𝑒−
1
2
𝑿−𝒎 𝒙
𝑇 𝑲 𝒙
−1(𝑿−𝒎 𝒙)

• Observe que la fdp depende apenas de la
media 𝒎 𝒙 y de la matriz covariancia 𝑲 𝒙 del
vector aleatorio 𝒙.
• Este aspecto característico de los vectores
gaussianos, introduce simplificaciones
significativas en las aplicaciones que utilizan
modelos gaussianos.

Ejemplo 1
Sea 𝒙 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑇
un vector gaussiano de media nula y matriz covarianza
𝑲 𝒙 =
5 2 1
2 4 2
1 2 3
Se desea comparar la fdp de la v.a. 𝑧 con una fdp condicional de 𝑧 dado por 𝑥 = 𝑋 y 𝑦 =
𝑌.

Ejemplo 2
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. conjuntamente gaussianas, estadísticamente independientes, con
media 𝑚 𝑥 = 100 y 𝑚 𝑦 = 50 y variancia 𝜎 𝑥
2 = 48 y 𝜎 𝑦
2 = 27. Se desea determinar la
probabilidad de la suma 𝑥 + 𝑦 excede el valor 160.

Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.

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