Función Logarítmica

1. UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
SEDE DEL ATLANTICO
RECINTO TURRIALBA
INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
FUNCION LOGARITMICA
CATALINA CAMACHO NAVARR0
ESTUDIANTES:
FRANCELA RAMIREZ SIRIAS B15336
SIVIANY CAMACHO MORA B31308
BRYAN RAMIREZ VEGA B35688
II CICLO
2013

3. Indice general
1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Contexto Historico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Funcion Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1. De

4. nicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Caractersticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Propiedades de los logartmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4. Funcion logaritmo natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5. Gra

5. cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Aplicacion de la funcion logartmica en contextos extra-matematicos. . . . . . . 20
5. Campos cient

6. cos o historicos donde se emplea la funcion logartmica. . . . . . 23
5.1. En Psicologa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. En Geologa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. En Geografa y Estadstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4. En Astronoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5. En Fsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.6. Intensidad del Sonido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.7. En Qumica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3

7. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
1. Introduccion.
En este trabajo se llevara a cabo una investigacion de las funciones logartmicas. La cual es
muy importante ya que es un tema del cual desconocemos o si nos han hablado pero nunca nos
han explicado a fondo de la verdadera resolucion de este tipo de funciones. Empezaremos con
el trabajo conociendo su historia en la forma de como se desarrollo esta a traves del transcurso
del tiempo.
De esta misma manera nos profundizaremos en sus caractersticas desde su de

8. nicion como su
criterio, dominio, codominio tambien su gra

9. ca, las intersecciones con los ejes, la concavidad
su monotona tambien su ambito de y esta misma manera sus asntotas as tambien lo que es
un logaritmo natural y una composicion entre la funcion logartmica y funcion exponencial.
Tambien demostraremos cada una de sus caractersticas anteriormente mencionadas. Por otro
lado, indagaremos las propiedades que estas tienen y del mismo modo demostraremos cada una
de ellas paso por paso.
De esta manera explicaremos la resolucion de varios ejemplos de funciones logartmicas en los
diferentes contextos extra matematicos que nos ayudaran en un mejor entendimiento de esta
amplia funcion.
Y por ultimo buscaremos algunas areas en las cuales esta funcion logartmica es aplica y la
importancia de la misma para la resolucion de sus problemas.
4

10. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
2. Contexto Historico.
Hace casi 400 a~nos los logaritmos aparecieron para facilitarnos los calculos aritmeticos y geometri-cos,
esto permite durante a~nos poder trabajar con mas facilidad en el campo de agrimensura,
astronoma y en el campo de la navegacion que fue lo que mas intereso a los cient

11. cos del siglo
XVII in
uenciados con los descubrimientos de Galileo y Kepler, con relacion de los cuerpos
celestes, tambien haba gran interes economico y militar. Los cuerpos celestes eran de gran
importancia para los navegantes europeos que salan en buscas de materia prima y nuevas re-laciones
comerciales. Con relacion al ambito militar, era necesario aproximar la trayectoria de
los proyectiles, alcance, altura y velocidad de las armas, por lo que el gobierno inverta mucho
dinero para

12. nanciar la busqueda de soluciones provechosas.
En cuanto a la navegacion era de suma importancia debido a que los navegantes se aleja-ban
cada vez mas de las costas de donde partan ya que no conocan la latitud y longitud
(coordenadas terrestres) con precision, lo que ocasionaba problemas para la ubicacion, por lo
que se di

13. cultaba la llegada al destino planteado, estos errores producan grandes perdidas
economicas, por lo que el gobierno de Europa insto a los cient

14. cos para que construyan tablas
de datos cada vez mas aproximadas esto inspiro a John Napier de Escocia y a Jobst Burgi de
Suiza, a la elaboracion de los logaritmos. El termino logaritmo signi

15. ca (numero razon) y fue
Napier quien utilizo el nombre por primera vez en 1619.
El descubrimiento de los algoritmos se produjo mediante dos caminos que son, los calculos
trigonometricos para las investigaciones astronomicas aplicables a la navegacion y el calculo de
las riquezas acumuladas a lo que se re

16. ere a las reglas de intereses compuestos, ambos caminos
inspiraron a John Napier y a Jobst Burgi en el descubrimiento de los logaritmos. Las tablas de
Napier se basaban en los llamados logaritmos naturales los cuales eran un poco complicados
usar. Briggs era un profesor de Gresham College de Londres que se intereso en la tabla que
haba elaborado Napier y juntos idearon la idea de elaborar logaritmos comunes y fue Briggs
5

17. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
quien transformo de la tabla de Napier en los logaritmos comunes la cual fue publicada en
1617, estas tablas fueron utilizadas para los calculos hasta alrededor de los a~nos 1972 donde
aparecieron las calculadoras manuales.
Los logaritmos nacen con la a

18. nidad de simpli

19. car mas aquellas tareas en las que se utilizan
las operaciones basicas para resolver laboriosos problemas en las que se necesitan exactitud, en
1631 Henry Briggs realiza la primera tabla en base 10, en su libro llamado Logarithmall Arith-
metike Briggs mani

20. esta la importancia de la confeccion de los logaritmos Los logaritmos son
numeros inventados para resolver mas facilmente los problemas de aritmetica y geometra... Con
ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que,
en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen
sustracciones. La laboriosa operacion de extraer raaces, tan poco grata, se efectua con suma
facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad
todos los problemas, no solo de aritmetica y geometra, sino tambien de astronoma.(Tapia,
2003, p.6).
Naiper trabajaba originalmente con seno por lo que se dice que su investigacion esta basa-da
en la geometra, mientras que Briggs trabajaba su investigacion en un enfoque algebraico
ya que trabajaba por medio de sucesiones de progresiones aritmeticas y geometricas.
6

21. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
3. Funcion Logartmica.
3.1. De

22. nicion.
La funcion logartmica con base b; b 2 R+; b6= 1, la funcion f : R+ ! R, de

23. nida por
f(x) = logb x, donde:
logb x = y , by = x.
Logaritmo de un numero (x) es el exponente (y) al que hay que elevar la base (b) para que nos
de dicho numero (x), el numero x debe ser positivo (x 0).
logb x, see lee logaritmo en base b de x.
Esta de

24. nicion nos dice que una ecuacion logartmica se puede escribir en una forma exponen-cial
equivalente, y viceversa. Ejemplos:
Forma Logarmica Forma Exponencial
logb 1 = 0 b0 = 1
logb b = 1 b1 = b
logb b1 = 1 b1 = b1
3.2. Caractersticas.
Criterio.
La funcion logartmica es una funcion cuyo criterio es de la forma f(x) = logb x,
con b 2 R+, b 1 y x 0 . Se lee logartmo base b de x.
logb x = y , by = x
Dominio.
El dominio de la funcion logartmica es R+.
7

25. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Codominio.
El codominio de la funcion logartmica es R.
Rango o Ambito.
El rango o ambito de la funcion logartmica es R.
Monotona.
Teorema.
La funcion logartmica f : R+ ! R tal que f(x) = logb x, con b 2 R+; b6= 1, entonces
i) Si b 1 f es creciente. ii) Si 0 b 1 f es decreciente.
Sea f : R+ ! R con f(x) = logb x
i) Si b 1.
Sean x1; x2 2 R+ tal que x1 x2
f(x1) = y1 , logb x1 = y1 , by1 = x1 y
f(x2) = y2 , logb x2 = y2 , by2 = x2
Luego by1 by2 , como b 1
) y1 y2
) f(x1) f(x2)
ii) Si 0 b 1.
Sean x1; x2 2 R+ tal que x1 x2
f(x1) = y1 , logb x1 = y1 , by1 = x1 y
f(x2) = y2 , logb x2 = y2 , by2 = x2
Luego by1 by2 , como 0 b 1
) y1 y2
) f(x1) f(x2)
8

26. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Intervalos.
Si b 1, f es estrictamente creciente.
Nota: en el caso de la funcion logartmica es concava hacia arriba.
Si 0 b 1, f es estrictamente decreciente.
Nota: en el caso de la funcion logartmica es concava hacia abajo.
Biyectividad.
Decimos que una funcion f : A R ! R es monotona si y solo si es creciente en A o de-creciente
en A. La funcion logartmica cumple lo anterior dicho ya que f : R+ ! R y esta es
creciente o decreciente, entonces es monotona.
Por el teorema que dice Si f de

27. nida en A R es una funcion monotona, entonces, conside-rando
su ambito B como su codominio, existe la funcion inversa f1 : B A.
Como la funcion logartmica es monotona, y su rango es igual al codominio(f : R+ ! R),
entonces existe la funcion inversa. Por lo tanto, la funcion logartmica es biyectiva.
9

28. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Inversa.
Una funcion y su inversa cumplen las propiedades:
f1(f(x)) = x; 8x 2 Df y f(f1(x)) = x; 8x 2 Df1
La inversa de la funcion logartmica f(x) = loga x es la funcion exponencial f1(x) = ax.
Si f(x) = loga x , f1(x) = ax, entonces:
A) (f f1)(x) = f(f1(x)) = loga(f1(x)) = loga ax = x, con x 2 R
B) (f1 f)(x) = f1(f(x)) = af(x) = aloga x = x, con x 0
) loga ax = aloga x
Intersecciones con los ejes.
Interseccion con el eje y: no tiene.
Intrseccion con el eje x: (1; 0).
Asntota.
La funcion logarmica posee asntota vertical x = 0, cuando x ! 0+; f(x) ! 1.
x = 0
A) Si b 1, entonces x ! 0+ se tiene que logb x ! 1.
B) Si 0 b 1, entonces x ! 0+ se tiene que logb x ! +1.
10

29. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
3.3. Propiedades de los logartmos.
Logaritmo de una multiplicacion.
loga(xy) = loga x + loga y.
loga X = x , ax = X
loga Y = y , ay = Y
) loga(XY )
) loga(ax ay)
) loga(ax+y)
) x + y
) loga X + loga Y
Logaritmo de una division.
b) loga
x
y
= loga(x y) = logb x loga y.
loga X = x , ax = X
loga Y = y , ay = Y
) loga
X
Y
) loga
ax
ay
) loga
axy
) x y
) loga X loga Y
11

30. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Logaritmo de una potencia.
c) loga xn = n loga x.
loga X = x , ax = X
) loga Xn
) loga(ax)n
) loga anx
) n x
) n loga X
Ejercicios.
a) loga x
1
n = 1
n loga x.
loga X = x , ax = X
) loga X
1
n
) loga(ax)
1
n
) loga a
1
n x
)
1
n
x
)
1
n
loga X
)
loga X
n
12

31. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
b) loga
n p
x =
loga x
n
.
loga
n p
x =
loga x
1
n =
1
n
loga x =
loga x
n
c)
logb b = 1 , b1 = b pues loga ax = x , ax = ax.
d)
logb 1 = 0 , b0 = 1
Cambio de base.
loga x =
logb x
logb a
, b 0; b6= 1.
loga x = A , aA = x
logb x = B , bB = x
) aA = bB
) logb aA = logb bB
) Alogb a = B
) A =
B
logb a
) loga x =
logb x
logb a
13

32. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
En particular:
loga x =
ln x
ln a
.
Por ejemplo:
log2 14 =
ln 14
ln 2
2; 63906
0; 693147
3; 8074.
Notas en la resolucion de ecuaciones exponenciales aplicando logartmos:
Recordemos las relaciones:
a) logb x = a , ba = x
b) logb x = logb y , x = y
1. Las propiedades de los logaritmos tambien se pueden utilizar para resolver ecuaciones ex-ponenciales
(especialmente las que no se pueden transformar a potencias de igual base). Esto,
convirtiendolas en ecuaciones logartmicas y luego se resuelven utilizando el siguiente procedi-miento:
bx = a
log bx = log a
x log b = log a
x =
log a
log b
:
14

33. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
Al igual que la funcion logaritmo natural se ha de

34. nido como inversa de la funcion logaritmo
natural, podemos de

35. nir la funcion exponencial f(x) = ax, es decir:
y = logax , ay = x.
Si a = e, la funcion dada por loge x = ln x es simplemente la funcion logaritmo natural.
Las funciones logartmicas referidas a bases distintas de e comparten muchas propiedades con
la funcion logaritmo natural.
Si a = 10, la funcion log10 x se llama funcion de logaritmo comun. Los logaritmos comunes
(o decimales) fueron introducidos por el matematico escoces John Napier(1550-1617). En ese
tiempo los logaritmos se utilizaban como ayuda para el calculo numerico. Con la creacion de
las modernas calculadoras, ese uso de los logaritmos ha desaparecido.
Ejemplos.
a) log10 103 = 3
b) log2 1 = 0
c) log10 x2y = 2 log10 x + log10 y
d) log2
1
x
= log2 x1 = log2 x
15

36. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
3.4. Funcion logaritmo natural.
Sea x un numero real positivo. La funcion logaritmo natural, denotada por ln x, se de

37. ne:
ln x = y , ey = x. (ln x se lee logaritmo natural de x).
Dado que la funcion f1(x) = In x, se de

38. ne como la inversa de f(x) = ex, se sigue que
su gra

39. ca es la re
ejada de la funcion exponencial natural, como muestra la

40. gura x. Otras
propiedades de la funcion logaritmo natural se deducen tambien directamente de su de

41. nicion
como inversa de la exponencial natural. Recogemos algunas de ellas en la siguiente lista.
Las funciones inversas cumplen:
f(f1(x)) = x y f1(f(x)) = x.
Como (x) = ex y f1(x) = ln x son inversas una de la otra, podemos concluir que:
ln ex = x y eln x = x.
Ejemplos:
a) ln (3x 4) = 3
3x 4 = e3
3x = e3 + 4
x =
e3 + 4
3
8; 0285:
b) y = e2x5
ln y = In e2x5
ln y = 2x 5
5 + ln y = 2x
1
2
(5 + ln y) = x
16

42. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
c) Si se depositan P dolares al 8 por 100 de interes, compuesto de forma continua, ^ACuanto
tiempo tardara en doblarse el capital?
Pe0;08t = 2P
e0;08t = 2
0; 08t = ln 2
t =
ln 2
0; 08
8; 66
En consecuencia, el balance se dobla a los 8 a~nos y 8 meses.
Ejercicios.
1.
log2 8 + log3 27 + log5 125 =
log2 23 + log3
3 +log5 53 =
3 + 3 + 3 =
9
17

43. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
2.
1
2
log2 36 + log2
2
3
=
log2(36)
1
2 + log2
2
3
=
log2
p
63 + log2
2
3
=
log2 6 + log2
2
3
=
log2
6
2
3
=
log2 4 =
log2 22 =
2
3.
1
2
log2 A + log2 B log2 C log2 D =
log2 A
1
2 + log2 B3 log2 C 2 log2 D =
log2
p
A + log2 B3 log2 C log2 D2 =
log2
p
A B3
C D2
4.
log3
A2 B5
p
C
D3
!
=
log3 A2 + log3 B5 + log3
p
C log3 D3 =
2 log3 A + log3 B +
log3 C
2
3 log3 D
18

44. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
5.
log
x
p
x
3 p
x2 y z5
!
=
log x
p
x log 3 p
x2 y z5 =
log x
5
2 log(x2 y z5)
1
3 =
3
2
log x
1
3
log x2 y z5 =
3
2
log x
1
3
1
3
log y
1
3
z5 =
3
2
log x
2
3
log x
1
3
log y
5
3
log z
3.5. Gra

45. cas.
Para gra

46. car la funcion f : R+ ! R; f(x) = logb x. Se toman los puntos (1,0) y (b,1). Se-guidamente
realizar los desplazamientos o movimientos de translacion vertical o horizontal,
re
exiones en los ejes de x o y, elongaciones o compresiones, si la funcion los posee. Las gra

47. cas
log2 x y log 1
2
x, respectivamente.
19

48. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
4. Aplicacion de la funcion logartmica en contextos extra-
matematicos.
1. El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 ^AQue tan intenso fue el terre-moto
de Ica del 15 de agosto en el 2007 del 7,9 con respecto al de Lima?
Para resolver la siguiente problema aplicaremos la formula M = log
I
I0
, donde M
es la magnitud, I es la intensidad del terremoto y I0 es la intensidad de un terremoto
estandar de referencia.
M2007 = 7; 9
M1940 = 8; 2
M2007 M1940 = log
I2007
I0
log
I1940
I0
, 7; 9 8; 2 = log
0
BB@
I2007
I0
I1940
I0
1
CCA
, 0; 3 = log
I2007
I1940
, 100;3 =
I2007
I1940
, 0; 501 =
I2007
I1940
Por lo tanto: el terremoto de Ica fue aproximadamente la mitad de intenso con respecto
al de Lima.
20

49. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
2.Cuando se degrada el 90% del valor inicial de la kriptonita roja deja de ser peligrosa para
superman. Cuando la kriptonita lleque a las 15 horas le quedara la mitad de vida y la radioac-tividad
inicial es igual a I0. El modelo para la degracion radioactiva es : N(t) = I0(2kt), donde
N(t) representa la cantidad de material radioactivo restante, t representa el tiempo en horas
(hrs) y el 2 que representa la mitad de vida (vida media) de la kriptonita. ^APor cuanto tiempo
estara en peligro superman?
t N(t)
0 I0
15
1
2
I0 =
I0
2
N(15) =
1
2
I0 = I0(2k(15))
)
1I0
2I0
= 215k
) log2
1
2
= log2 215k
) 1 = 15k log2 2
) 1 = 15k
1
15
= k
Con lo anterior se encontro el valor de k y ahora lo sustituimos en la formula, un 10% de
1 = 0,1.
N(t) = I0
2
1
15 t
) 0;1 I0 = I0(2
t
15 )
) 0;1 = 2
t
15
) 0;1 = 2
t
15
) ln 0;1 = ln 2
t
15
) ln 0;1 =
t
15
ln 2
)
15 ln 0;1
ln 2
= t
) 49;83 = t Por lo tanto: superman estara en peligro durante 49,83 horas.
21

50. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
3.Sitios para desperdicios peligrosos de acuerdo con cifras seleccionadas de 1981 a 1995, el
numero de sitios mas profundos para desechos peligrosos en Estados Unidos se aproxima con
la funcion de

51. nida por
f(x) = 11;34 + 317;01 log2 x
donde x = 1 corresponde a 1981, x = 2 a 1982, y asi sucesivamente.(Fuente: Agencia para la
proteccion del medio ambiente.)
Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1984
x=4 En el siguiente paso se sustituye la x por 4 que es el valor segun la secuencia que se le
asigna a 1984.
f(x) = 11;34 + 317;01 log2 4
= 11;34 + 317;01 2
= 645;36
Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1988.
En el siguiente paso se sustituye la x por 8 que es el valor segun la secuencia que se le asigna
a 1984.
f(x) = 11;34 + 317;01 log2 8
= 11;34 + 317;01 3
= 962;37
22

52. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
5. Campos cient

53. cos o historicos donde se emplea la
funcion logartmica.
5.1. En Psicologa.
Ernest Heinrich Weber establecio la ley de la sensacion. Estos y otros descubrimientos llevaron
a la conviccion de que era posible explicar mediante principios fsico-qumicos todos los actos
humanos, lo que permitio considerar a la psicologa y mas particularmente a la psicofsica co-mo
posibles ciencias. Esta ley establece lo siguiente: S = K loge E + C, Donde S = sensacion,
E = estmulo y K = una constante, la constante de Weber, distinta para cada modalidad sen-sorial.
5.2. En Geologa.
La escala de Richter se utiliza para medir la fuerza de un terremoto. La formula que da la
magnitud de un sismo en esta escala es: Magnitud de R = B + log10(a=T ). Donde a es la
amplitud del movimiento del suelo en micras (medida por la estacion receptora), T es el periodo
de la onda ssmica en segundos y B un factor relacionado con el debilitamiento de la onda con
el incremento de distancia al epicentro.
5.3. En Geografa y Estadstica.
Una formula en geografa es: Si P0 es la poblacion inicial (es decir, la existente cuando co-menzamos
a contar), existe una constante de crecimiento k en cada poblacion, de manera
que el numero de individuos al cabo de un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo
P(t) = P0ekt. La ley de crecimiento de la poblacion queda como P(t) = 500e0;47t. Llamado
modelo logstico donde A (nivel de saturacion) B y K son constantes que dependen de cada
poblacion particular.
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54. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
5.4. En Astronoma.
Tambien en astrologa midiendo la magnitud aparente (m) de una estrella, planeta o de otro
cuerpo celeste que es una medida de su brillo aparente; es decir, la cantidad de luz que se
recibe del objeto. Mientras que la cantidad de luz recibida depende realmente del ancho de la
atmosfera, las magnitudes aparentes se normalizan a un valor que tendran fuera de la atmosfera.
La magnitud aparente en la banda x se puede de

55. nir como: Donde Fx es el
ujo observado en
la banda x, y C es una constante que depende de las unidades de
ujo y de la banda.
5.5. En Fsica.
Velocidad propocional al espacio recorrido. En Fsica se estudian situaciones en las que la
velocidad de un movil es proporcional al espacio que lleva recorrido (as ocurre con las fuerzas
de rozamiento). Es facil comprobar que cuanto mas peque~no sea el intervalo en el que cambiamos
de velocidad, mas nos acercamos a la magica expresion.
Que es la autentica formula del movimiento. Hemos hablado de un caso en que la velocidad era
proporcional al espacio recorrido. Parecida es la situacion que describe la Ley del Newton del
enfriamiento de los cuerpos. Esta ley establece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional,
en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T0
es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un ambiente a una temperatura
de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es:
Donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento, particular de cada cuerpo.
5.6. Intensidad del Sonido.
La intensidad del sonido es el
ujo de energa por unidad de area que produce medida en watts
por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mnima que puede escucharse (el umbral de
audibilidad) es aproximadamente 10-2W/m2. La sonoridad de un sonido se de

56. ne como:
L= 10 log
I
102 , donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.
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57. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
5.7. En Qumica.
~A
Desintegracion radioactiva. Algunos atomos son inestables y se desintegran espontaneamente
emitiendo radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se reduce
a la mitad, llamado vida media, es una constante caracterstica de ella e independiente de la
cantidad que haya. La ley de Rutherford sobre la desintegracion radiactiva dice que el numero
de atomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es proporcional
al nomero de atomos de ese elemento que esten presentes en la sustancia, en particular, la
formula que describe la desintegracion es de la forma: N(t) = N0 ekt.
PH de una sustancia. El pH de una solucion se de

58. ne como log [H+], siendo [H+] la con-centraci
on de iones de hidrogeno en moles/litro. Cuando el pH es menor que 7 la solucion es
acida, si es igual a 7 es neutra y, cuando es mayor, es alcalina. El pH es una medida de la acidez
o basicidad de una solucion. El pH es la concentracion de iones hidronio [H3O+] presentes en
determinada sustancia. La sigla signi

59. ca potencial de hidrogeno. Esto es: pH = log10(Ah30+)
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60. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
6. Conclusion.
En base a nuestro trabajo podemos identi

61. car la multifunciones que tienen los logaritmos en
las diferentes areas donde esta se emplea para encontrar solucion a los diferentes problemas que
estas se encuentran as mismo podemos resaltar la ayuda que estas brindan a la sociedad y que
resultan indispensables.
Por otro lado este trabajo fue de gran ayuda para nosotros como estudiantes ya que nuestro
principal interes era entender la funcion logartmica ya que los conocimientos que tenamos de
esta eran verdaderamente pocos y los que sabamos eran por el uso de una calculadora tpi-co
de la ense~nanza que se brindan en los colegios. Entonces lo tomamos como un reto poder
comprender, analizar y trabajar la funcion logartmica que para nosotros era impensable po-der
resolverla. Tambien queramos analizar su comportamiento desde gra

62. ca la cual logramos
entender.
Uno de nuestros principales objetivos era lograr que nosotros la comprendieramos y ya tenien-do
el manejo de esta con nuestro trabajo lograr que nuestros compa~neros tambien la logren
entender.
Por otro lado queremos resaltar un aspecto importante ya que nosotros como futuros profesores
si queremos que nuestros estudiantes logren entender lo que es un logaritmo tiene que estar en
nuestros objetivos desarrollarle en clase para que a ellos nos les pase lo que nos paso a nosotros
y tengan una mejor preparacion el da que logren ingresar a la universidad.
Tambien notamos que los logaritmos no son difciles de entender con practica y sabiendo aplicar
sus propiedades se nos va a facilitar del uso tan importante que tienen estos en la resolucion
de muchos problemas que nos enfrentamos en nuestro diario vivir.
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63. FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123
7. Bibliografa.
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F. Barrantes Campos, H. (2010). Introduccion a la matematica formal desde las
funciones. (Universidad de Costa rica ed.).
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Calculo y Geometra Analtica.
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Costa Rica ed.).
Fuentes, Edgar. Matematica 1. Editorial I.C.E.R., Costa Rica, 1998
Meneases, Roxana. Matematica 10. Ediciones FARBEN, Costa Rica, 1998
Jimenez, Reinaldo. Introduccion a la teora de las funciones. Academia de Matematica AMP,
Costa Rica, 2003
Martnez, Roxana. Funciones, conceptos basicos. MEP. Costa Rica, 2005. Publicado por Javier
R. Trigoso, el lunes abril 21 del 2008
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