Informe 3 Simulación en Ing. Eléctrica - Búsqueda de raíces

1. Simulación en Ingeniería Eléctrica
ELI-213
INFORME: GUÍA DE TRABAJO N° 3
BÚSQUEDA DE RAÍCES
Profesor: - Esteban Gil Sagás
Integrantes: - Sebastián Flores Carrasco
- Carlos Vergara Branje
Fecha: 21/04/2014

2. Parte 1 Pregunta A:La ecuacióndiferencial asociadaaunared eléctricalinealtieneunpolinomio
característico dado por:
𝜌5 + 7𝜌4 + 919𝜌3 + 4525𝜌2 + 7216𝜌 + 3604
Determine los modos de oscilación natural de la red con cuatro cifras significativas de precisión.
Determine la función companion del polinomio y obtenga sus valores propios (función eig).
Solución:
El código programado en MATLAB para este problema fue:
Entregandoenamboscasos, el siguienteresultado:
En resumense tendríanlossiguientesmodosyalo que corresponden:
−1.000111203583808 ± 30.003336107514212 𝑖 → 𝑆𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎
−2.000000000000000 ± 0.000000044014736 𝑖 → 𝑆𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎
−1.000000000000000 → 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎

3. Parte 1 Pregunta B: Una red eléctrica tiene una respuesta a impulso unitario 𝛿( 𝑡) dada por:
Para diseñarun pararrayos a conectar en los terminales de salida se desea determinar el tiempo
que demoraríala tensión 𝑉𝑜𝑢𝑡 enbajarde 220[ 𝑘𝑉] si en los terminales de entrada cayera un rayo
de 1[ 𝑀𝑉]. Modele el rayo como un impulso de la forma 𝑉𝑖𝑛( 𝑡) = 106 𝛿(𝑡) y asuma que la red
eléctricase comportacomo unsistemalineal.Planteeel problemacomouna búsqueda de ceros y
resuélvaloporlosmétodosde bisección,de Newton,yde la secante con cinco cifras significativas
de precisión. Compare sus resultados y comente.
Solución:
El código programado en MATLAB para este problema fue:

4. Parte 1 Pregunta C: La solución de la ecuación diferencial para un circuito R-L-C como el de la
figura viene dada por la siguiente expresión:
Si 𝐿 = 5[ 𝐻], 𝐶 = 100[𝜇𝐹], se quiere determinarel valorde R tal que la mitad de la energía inicial
del circuito se haya disipado en 100 [𝑚𝑠]. Plantee el problema como una búsqueda de ceros,
razonadamente elija un método para determinar R e impleméntelo.
Solución:
Dado que el interruptor está abierto para 𝑡 < 0, la energía inicial vendrá dada solamente por la
almacenada en el condensador, por lo que:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =
1
2
𝐶 𝑉𝑐(0)2
Desde que el interruptorse cierraen 𝑡 = 0, lastrescargas R-L-Cconsumirán energía, por lo que la
energía consumida para un instante 𝑡 vendría dada por:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑓𝑖 𝑛 𝑎𝑙 =
1
2
𝐶 𝑉𝑐
2( 𝑡) +
1
2
𝐿 𝑖 𝐿
2( 𝑡)+ 𝑅 𝑖 𝑡
Pero 𝑖 𝐿 = 𝑖 𝑅 = 𝑖 𝐶 = 𝐶
𝑑
𝑑𝑡
𝑉𝑐( 𝑡), por lo que las energías quedan de la siguiente forma:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
1
2
𝐶 𝑉𝑐
2( 𝑡) +
1
2
𝐿 𝐶2 (
𝑑𝑉𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
)
2
+ 𝑅 𝐶
𝑑𝑉𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
𝑡
Para aplicar algún método para obtención de raíces es necesario dejarlo de la forma 𝐸𝑞 = 0.
Por lo tanto, dado lo pedido en el problema se quiere que se cumpla
1
2
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎(0) − 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎(100𝑚𝑠) = 0, y reemplazando se tiene:
1
2
1
2
𝐶 −
1
2
𝐶 𝑉𝑐
2(100𝑚𝑠) +
1
2
𝐿 𝐶2 (
𝑑𝑉𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
| 𝑡=100𝑚𝑠)
2
+ 𝑅 𝐶 ( 𝑡
𝑑𝑉𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
)| 𝑡=100𝑚𝑠 = 0

5. Con 𝑉𝑐(0)factorizado, por lo que el 𝑉𝑐 de la ecuación no lo tiene como factor.
El siguientecódigoprogramadoen MATLAB considera la obtención del valor de R usando los tres
métodos iterativos enseñados (método de bisección, Newton-Raphson y de la secante).

6.  Método de bisección:
Lo que entrega los siguientes resultados de R, según la tolerancia definida:
Tolerancia Valor de R Cantidad de iteraciones
1.00 24.500000000000000 1
0.10 -0.053710937500000 10
0.01 -0.057649306534085 65

7.  Método de Newton-Raphson:
Lo que entrega los siguientes resultados de R, según la tolerancia definida:
Tolerancia Valor de R Cantidad de iteraciones
1.00 -0.057649310100416 3
0.10 -0.057649310100416 3
0.01 -0.057649306534085 4

8.  Método de la secante
Lo que entrega los siguientes resultados de R, según la tolerancia definida:
Tolerancia Valor de R Cantidad de iteraciones
1.00 NaN 2
0.10 NaN 2
0.01 NaN 2
En este caso el métodoarrojaresultadosNaN,dadoque hay una división por cero. Esto se debe a
que la resta en el denominador de la división es de números similares, y dado que el software
tiene un límite de representación de dígitos, se aproxima a cero. Por lo que para este caso en
especial, el método no sirve.
Comparando métodos,se cumple que Newton-Raphsonconvergemuchomásrápidoque el
métodode labisección.
A una mismatoleranciarelativade 1%,para un 𝑅 = −0.057649306534085 [Ω], el métodode
bisecciónconverge con65 iteraciones,mientrasque parael métodode Newton-Raphson
converge con4 iteraciones.
En conclusión,el valorde laresistenciapedidoes 𝑅 = 0.057649306534085 [Ω].

9. Parte 2 Pregunta D:En el problemaclásico de la electrotecnia conocido como flujo de carga, se
consideranconocidoslatensiónylapotenciaactivaentregados por los generadores y la potencia
activay reactivade lascargas, y se deseanconocerel móduloyángulo de la tensión en cada barra
del sistema.
Considere unainstanciasimple de dichoproblemacontansolodos barras,tal como se muestraen
la figura:
En este ejemplo se consideran conocidos la potencia en la carga (𝑃2 y 𝑄2) y a tensión y potencia
activa en el generador (𝑉1 y 𝑃1). Se desean conocer el ángulo 𝜃 y lla magnitud de la tensión 𝑉2.
Ademásse sabe que laspotenciasactivay reactivaenla barra 2 se puedendeterminarde acuerdo
al siguiente par de ecuaciones:
𝑃2 = | 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵sin( 𝜃)
𝑄2 = −| 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵cos( 𝜃) + 𝐵| 𝑉2|2
1: Plantee el problema como una búsqueda de ceros con dos ecuaciones y dos variables.
Se tienen las ecuaciones:
𝑃2 = | 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵sin( 𝜃)
𝑄2 = −| 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵𝑐𝑜𝑠( 𝜃) + 𝐵| 𝑉2|2
Se despeja la segunda ecuación de la siguiente forma:
𝑄2 − 𝐵| 𝑉2|2 = −| 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
Elevando al cuadrado la primera ecuación y la segunda ecuación despejada se tienen las
siguientes:
𝑃2
2
= | 𝑉1|2| 𝑉2|2 𝐵2 sin2( 𝜃)
𝑄2
2
− 2𝑄2 𝐵| 𝑉2|2 + 𝐵2| 𝑉2|4 = | 𝑉1|2| 𝑉2|2 𝐵2 cos2(𝜃)

10. Sumando estas ecuaciones tenemos:
𝑃2
2
+ 𝑄2
2
− 2𝑄2 𝐵| 𝑉2|2 + 𝐵2| 𝑉2|4 = | 𝑉1|2| 𝑉2|2 𝐵2
Por lo que nos queda la primera ecuación dependiente de la incógnita |𝑉2|:
( 𝟏) 𝑩 𝟐| 𝑽 𝟐| 𝟒 − ( 𝟐𝑸 𝟐 𝑩+ | 𝑽 𝟏| 𝟐 𝑩)| 𝑽 𝟐| 𝟐 + ( 𝑷 𝟐
𝟐
+ 𝑸 𝟐
𝟐) = 𝟎
Ahora,de la primeraecuaciónoriginalmentepresentada,despejandoel |𝑉2| y reemplazándolo en
la última ecuación obtenida se tiene:
𝐵2 (
𝑃2
| 𝑉1| 𝐵𝑠𝑖𝑛( 𝜃)
)
4
− (2𝑄2 𝐵 + | 𝑉1|2 𝐵)(
𝑃2
| 𝑉1| 𝐵𝑠𝑖𝑛( 𝜃)
)
2
+ ( 𝑃2
2
+ 𝑄2
2) = 0
Simplificando nos da nuestra segunda ecuación dependiente de la incógnita 𝑢 =
1
sin( 𝜃)
:
( 𝟐)
𝑷 𝟐
𝟒
| 𝑽 𝟏| 𝟒 𝑩 𝟐 𝒖 𝟒 −
( 𝟐𝑸 𝟐 + | 𝑽 𝟏| 𝟐) 𝑷 𝟐
𝟐
| 𝑽 𝟏| 𝟐 𝑩
𝒖 𝟐 + ( 𝑷 𝟐
𝟐
+ 𝑸 𝟐
𝟐) = 𝟎

11. 2: Formule el algoritmo de Newton-Raphson para resolver el problema (obtenga la matriz
Jacobiana del par de ecuaciones y describa los pasos del algoritmo).
Como en este caso la aplicación es a un sistema, el método se hará vectorialmente por lo que
primero hay que definir las dos funciones:
𝑓1( 𝜃, | 𝑉2|) = 𝑃2 − | 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵𝑠𝑖𝑛( 𝜃)
𝑓2( 𝜃, | 𝑉2|) = 𝑄2 + | 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵𝑐𝑜𝑠( 𝜃) − 𝐵| 𝑉2|2
Por lo que nuestra función general 𝐹: 𝑅2 → 𝑅2, matricialmente será:
𝐹( 𝜃,| 𝑉2|) = [ 𝑃2 − | 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵sin( 𝜃) 𝑄2 + | 𝑉1|| 𝑉2| 𝐵cos( 𝜃) − 𝐵| 𝑉2|2 ]
Ya que se va a trabajar con matrices, la derivada de nuestra matriz función 𝐹, será la matriz
jacobiana, que viene dada por definición en 𝑅2 según:
𝐽( 𝜃,| 𝑉2|) =
[
𝜕𝑓1
𝜕𝜃
𝜕𝑓1
𝜕|𝑉2|
𝜕𝑓2
𝜕𝜃
𝜕𝑓2
𝜕|𝑉2|]
Derivando, el jacobiano queda:
𝐽( 𝜃, | 𝑉2|) = [
−𝐵| 𝑉1|| 𝑉2|cos( 𝜃) −𝐵| 𝑉1| sin( 𝜃)
−𝐵| 𝑉1|| 𝑉2|sin( 𝜃) 𝐵| 𝑉1|cos( 𝜃) − 2 𝐵| 𝑉2|
]
Con esto, el método de Newton-Raphson queda:
[ 𝜃(𝑘) | 𝑉2|(𝑘)] = [ 𝜃(𝑘−1) | 𝑉2|(𝑘−1)]− 𝐽−1( 𝜃(𝑘−1) ,| 𝑉2|(𝑘−1)) 𝐹( 𝜃(𝑘−1),| 𝑉2|(𝑘−1)) , 𝑘 ≥ 1
Como se observa, es la misma base que para la solución 𝑅1, pero en este caso se itera para dos
variables a la vez.
Se realizaráeste procesohastaque converjasegúnlatoleranciaque nosdemos.Estaconvergencia
entonces, vendrá dada por:
||[ 𝜃(𝑘) | 𝑉2|(𝑘)]− [ 𝜃(𝑘−1) | 𝑉2|(𝑘−1)]||
||[ 𝜃(𝑘) | 𝑉2|(𝑘)]||
< 𝑇𝑂𝐿𝐸𝑅𝐴𝑁𝐶𝐼𝐴

12. 3: Resuélvalo considerando los siguientes parámetros y datos de entrada:
𝐵 = −10 [ 𝑝𝑢]
| 𝑉1| = 1 [ 𝑝𝑢], 𝑃1 = 𝑃2 = 2 [ 𝑝𝑢] 𝑦 𝑄2 = 1 [𝑝𝑢]
Considere como valores iniciales 𝜃0 = 0 y | 𝑉2|0 = 1. Muestre todas sus iteraciones.
El código en MATLAB usado para este problema es el siguiente:

13. Entregando los siguientes valores de 𝜃 |𝑉2| según la tolerancia y la cantidad de iteraciones:
Tolerancia Valorde 𝜃 Valorde |𝑉2| Cantidadde iteraciones
1.000 -0.200000000000000 0.900000000000000 1
0.100 -0.233344768950596 0.858652490962911 2
0.010 -0.235984295667600 0.855392813934319 3
0.005 -0.235984295667600 0.855392813934319 3
Comose aprecia,el programaacepta unatolerancia mínima del orden 10−2, lo que significó para
el problema 4 iteraciones, dada la complejidad del sistema al que se le aplicó el método de
Newton-Raphson.
Por lo tanto, como resultado se tomaran los datos de la tolerancia al 1%:
𝜃 = −0.235984295667600°
| 𝑉2| = 0.855392813934319 [𝑉]