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ÁNGULO
S
SITUACIÓN PROBLEMA
El esquema muestra la ubicación de
cuatro computadoras de una oficina y
se necesita conectarlas a un servidor,
para lo cual se realiza el sistema
mostrado en la figura. Se observa que
ubicándose en el servidor indicado, el
ángulo que origina B respecto a A es
80º; el ángulo que genera C respecto a
D es 74º y el ángulo originado por B
respecto a C es 20º mayor que el
ángulo generado por A respecto a D.
Determine el valor de estos últimos
ángulos.
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Ángulo: es la unión de dos rayos que tienen el mismo origen.
1. Definición de ángulo:
Ejemplo:
Notación:
∠AOB o ∠BOA o AÔB o
ángulo O o ángulo AOB.
Observación: el punto P
no es un punto del ángulo.
P está en el interior del
ángulo O.
Elementos:
En el ángulo AOB, los rayos OA y OB se llaman lados y el punto O
se llama vértice.
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Medida de un ángulo: A todo ángulo, se le puede asociar un
número positivo menor que 180 el cual representa su medida en
grados sexagesimales.
Importante
En este curso, estudiaremos principalmente ángulos cuyas medidas en grados
son menores que 180°. Ese tipo de ángulo se llama ángulo geométrico
0° < α < 180°
Los ángulos cuyas medidas son mayores de 180° se estudian en los cursos
de trigonometría, de topografía, geodesia, etc.
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Instrumento de medición:
El transportador es el instrumento que se emplea para medir ángulos.
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2. Clasificación de los ángulos geométricos según su medida:
Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso
Ángulo agudo: es un ángulo cuya medida es menor que 90°.
Ángulo recto: es un ángulo que mide 90°.
Ángulo obtuso: es un ángulo cuya medida es mayor que 90°.
3. Relaciones entre ángulos:
3.1 Entre sus medidas:
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°.
α +β= 90°
m∠O + m∠P = 90°
O P
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Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 1800
.
α +β= 1800
m∠O + m∠P = 1800
3.2 Por sus posiciones:
a) Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el mismo
vértice y un lado en común y los otros lados son rayos
opuestos.
Ejemplo:
O P
A
O
B
C
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b) Ángulos consecutivos: son dos o más ángulos adyacentes
Ejemplo:
Los ángulos AOC, COD y DOB son consecutivos.
c) Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que
tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos
mutuamente.
Ejemplo:
En la figura siguiente, los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice.
O
A
C D
B
31
2
4
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Observación:
Los ángulos 1 y 2 son suplementarios entonces m∠1 + m∠2 = 180°
Los ángulos 2 y 3 son suplementarios entonces m∠2 + m∠3 = 180°
Se restan las dos ecuaciones y se obtiene: m∠1 - m∠3 = 0°
Conclusión: los ángulos 1 y 3 tienen la misma medida.
11. 4. Bisectriz de un ángulo:
DEFINICIÓN DE BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Se denomina Bisectriz de un ángulo a la recta que pasa por el vértice y
divide al ángulo dado en dos ángulos iguales.
Actividad:
Tomando como centro el punto O, trace con el compás un arco que corte a los
lados del ángulo en los puntos A y B.
Luego, tomando como centro el punto A y con la misma abertura del compás,
trace un arco. Repita la operación, con la misma abertura, tomando como centro
el punto B.
Estos arcos se cortan en el punto I, interior al ángulo. Trace el rayo OI. Mida
los ángulos AOI y BOI.
¿Qué puede observar?
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O
A
B
I
12. 5. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una
secante
Cuando se traza una secante que corta a dos rectas paralelas, aparecen
ocho ángulos. Estos ángulos se relacionan entre sí y se puede establecer
cuáles tienen la misma medida.
1 2
3 4
5 6
7 8
13. 7. Ejemplos de clase
Ejemplo 1:
a. ¿Cuál es el complemento de 400 25' 45"?
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b. ¿Cuánto mide el ángulo cuyo complemento es ocho veces su medida?
15. 31 de mayo de 2014 Matemática 2 15
Ejemplo 2:
Calcule la medida de los ángulos congruentes AOB y CQD.
16. 31 de mayo de 2014 Matemática 2 16
Ejemplo 3: RETO para el alumno
Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de modo que:
m∠AOC + m∠BOD = 110° y m∠AOB + m∠COD = 60°.
Calcule la medida del ángulo AOD.
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Ejemplo 4:
Trace dos ángulos suplementarios y adyacentes. Luego, trace las bisectrices de
cada ángulo. ¿Qué puede observar? Demuestre que siempre se cumple.
18. Ejemplo 5: RETO para el alumno
En la figura mostrada, es paralela a , calcule el valor de α y de β.1L 2L
