Matemáticas en la Educación Física: Vectores y Cónicas

- Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez

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1-


Competencia.

Aplica conocimientos sobre vectores en la resolución de problemas aplicados a su
contexto.

Indicadores de logro.

1. Representa gráficamente vectores.
2. Utiliza métodos y estrategias de geometría analítica para demostrar la aplicación de
las secciones cónicas en situaciones reales.

CONTENIDOS

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Geometría analítica: definición, Construcción e identificación Valoración de la constancia en
construcciones fundamentales, de las partes de un plano el trabajo con el plano
localización del punto en el cartesiano. cartesiano.
plano cartesiano.

Vectores: definición, Identificación de los tipos de Disposición para trabajar de
elementos, coordenadas y vectores dependiendo de sus manera responsable en el trazo
clases. características. e identificación de vectores.

Suma, resta, producto, y Resolución de operación con Disposición puntual para
combinación lineal de vectores vectores. resolución de operaciones con
vectores.

Vectores lineales dependientes, Realización e identificación de Utilización de la interpretación
independientes, ortogonales, vectores. de vectores como un ejercicio
ortonormales, sistema de de comunicación entre sus
referencia y aplicación de semejantes.
vectores.

Cónicas: elipse, circunferencia, Cálculo y trazo de figuras Valoración del arte, diseño y
parábola, hipérbola, ecuación cónicas. arquitectura y otras
de la circunferencia, manifestaciones artísticas
intersección de una cónica y similares.
una recta.

2-


Geometría analítica
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis
matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico
comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de
Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la
geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues
forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la
toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de
los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas
del tipo , donde es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se
expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, ), las
circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia
, la hipérbola ), etc.

Construcciones fundamentales
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números,
llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano
corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un
par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema
cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los
puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta
correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones
e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o
cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Localización de un punto en el plano cartesiano
Como distancia a los ejes

3-


En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan
de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda
unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y
cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de
las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las
coordenadas, quedará representado por un par ordenado , siendo la distancia a uno de los
ejes (por convenio será la distancia al eje horizontal) e la distancia al otro eje (al vertical).

En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia
la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la
distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada , el signo positivo (también se suele
omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose
hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).

A la coordenada se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la se la denomina
ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , así que serán de la forma
, mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a , por lo que serán de la
forma .

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia a cada uno de los ejes, luego su
abscisa será y su ordenada también será . A este punto —el — se le denomina origen de
coordenadas.

Como proyección sobre los ejes
Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el
punto O de intersección de ambas rectas.

4-


Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:
Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los
mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P´´ ( el punto ubicado sobre el eje
y).
Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.
A los Puntos P' y P´´ le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en
cuenta que si el punto P'se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto
P´´ se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo. Los números relacionados
con P' y P´´, en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.

Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P´´ se encuentra hacia
arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)
Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P´´ se encuentra hacia
abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 ; -5)
Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P´´ se encuentra
hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 ; -2)
Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P´´ se encuentra
hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 ; 4)

Ecuaciones de la recta en el plano

Función lineal.
Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera
de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen
y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es
paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de
cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres
casos:

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Rectas oblicuas. Rectas horizontales. .

Rectas Verticales
 Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se
denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto .
La ecuación de dichas rectas es:

 Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje
y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto
. La ecuación de dichas rectas es:

 Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de
corte con el eje de abscisas y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El
valor recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el se denomina ordenada en
el origen.

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VE C T O R E S

U n v ect or f ij o es u n s eg ment o or i ent a do qu e va d el p u nt o A ( or i g en) a l
p u nt o B ( ex t r emo ) .

Elementos de un vector
D i r ecci ó n d e u n vect o r
L a dir ecc i ó n d el v ect or es la d ir ecc i ó n d e l a r ect a qu e c ont i en e a l v ect or o
d e cu a l qu i er r ect a pa r a lela a el la .

S ent i d o d e u n vect o r
E l s ent i d o d el v ect or es el qu e va d es d e el or i g en A a l ex t r emo B .
M ó du l o d e u n v ect or

El m ó d u l o d e l v e cto r e s l a l o n g i tu d d e l s e g m e n to A B , s e r e p r e s e n ta p o r

.

E l mó du l o d e u n v ect or es u n nú mer o s i emp r e p os it i v o o c er o.
M ó du l o d e u n v ect or a p ar t ir de s u s co mp o n ent es

7-


M ó du l o a p ar t ir de la s coor d ena da s d e l os p u nt os

Coordenadas de un vector

S i la s coor d ena da s d e l os p u nt os ex t r emo s , A y B, s o n :

L a s coor d ena da s d el v ect or s on la s co or d ena da s d el ex t r emo men o s la s
co or d ena da s d el or i g en .

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Clases de vectores

Vect o r es eq u i p o l ent es

D os v ect or es s o n equ ip ol ent es cu a n do t i en en igu a l mó du l o, d ir ecc i ó n y
s ent id o.

Vect o r es l i b r es

E l co n ju nt o d e t o d os l os v ect or es equ ip o l ent es ent r e s í s e lla ma v ect or l ib r e.
E s d ec ir los v ect or es l ib r es t i en en el mis mo mó du lo, d ir ecc i ó n y s ent i d o.

Vect o r es f i j o s

U n v ect or f i jo es u n r ep r es ent a nt e d el v ect or l ib r e. E s d ecir , l os v ect or es f ij os
t i en en el mis mo mó d u l o, d ir ecc i ó n, s ent i d o y or i g en.

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Vect o r es l i g a d o s

L os v ect or es l i ga d os s o n v ect or es equ ip o l ent es qu e a ct ú a n en la mis ma r ect a .
E s d ec ir , los v ect or es f i j os t i en en el mi s mo mó du l o, d ir ecc i ón, s ent i d o y s e
en cu ent r a n en la mis ma r ect a .

Vect o r es o p u es t o s

L os v ect or es op u es t os t i en en el mis mo mó d u l o, dir ecc i ó n, y d is t i nt o s ent i d o.

Vect o r es u ni t a r i o s

L os v ect or es u nt a r io t i en en d e mó du l o, la un i da d.

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P ar a ob t en er u n v ect or u n it a r io , d e la mis ma dir ecc i ó n y s ent i d o qu e el v ect or
da d o s e d i vi d e és t e p or s u mó du l o.

Vect o r es co ncu r r ent es

L os v ect or es c on cu r r ent es t i en en el mis mo or i g en.

Vect o r d e p o s i ci ó n

E l v ect or qu e u n e el or i g en d e c oor d ena d a s O co n u n p u nt o P s e l la ma
v ect or d e p os ic i ó n d el p u nt o P .

Vect o r es l i nea l me nt e d ep end i e nt es

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Va r ios v ect or es l ib r es d el p la n o s o n li n e a l ment e d ep en d i ent es s i ex is t e u na
co mb ina c i ó n li n ea l d e ell os qu e s ea i gu a l a l v ect or c er o, s in qu e s ea n c er o
t o dos l os c o ef i ci ent es d e la co mb i na ci ó n l i n ea l .

Vect o r es l i nea l me nt e i nd ep end i e nt es

Va r ios v ect or es l ib r es s o n l i n ea l men t e i n d ep en d i ent es s i n i n gu n o d e ell os s e
p u ed e ex p r es a r como c o mb i na c i ón li n ea l d e los ot r os .

a1 = a2 = ··· = an = 0

Vect o r es o r t o g o na l es

D os v ect or es s o n or t o g o na l es o p er p en di cu l a r es s i s u p r odu ct o es ca la r es c er o.

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Vect o r es o r t o no r ma l es

D os v ect or es s o n or t o n or ma l es s i :
1 . S u pr odu ct o es ca la r es cer o.
2 . L os dos v ect or es s o n u n it a r ios

Suma de vectores

P ar a s u ma r d os v ect or es l ib r es y s e es c o g en c o mo r ep r es ent a nt es d o s
v ect or es t a l es qu e el ex t r emo f ina l d e u n o co i nc i da c on el ex t r emo or i g en d el
ot r o v ect or .

Regl a del paral el ogram o

S e t o ma n c o mo r ep r es ent a nt es d os v ect or es co n el or i g en en c o mú n, s e t r a za n
r ect a s p ar a lela s a los v ect or es ob t en i én d os e u n p ar a lel o gr a mo cu ya dia g ona l
co i nc i d e c o n la s u ma d e l os v ect or es .

P ar a s u ma r dos v ect or es s e s u ma n s u s r es p ect i va s co mp o n ent es .

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Resta de vectores

P ar a r es t a r dos v ect or es l ib r es y s e s u ma co n el op u es t o d e .
L a s co mp o n ent es d el v ect or r es t a s e ob t i en en r es t a n d o la s c o mp o n ent es d e l os
v ect or es .

Producto de un número por un vector

E l p r odu ct o d e u n nú mer o k p or u n v ect or es ot r o v ect or :

De i g u a l d i r e cci ó n que el vector .

D el mis mo s ent i d o qu e el v ect or s i k es p os it i v o .

De s e n ti d o co n tr a r i o del vector s i k e s n e g a ti vo .

D e mó du l o

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L a s co mp o n ent es d el v ect or r es u lt a nt e s e ob t i en en mu lt ip l ica n d o p or K la s
co mp o n ent es d el v ect or .

CONBINACION LINEAL DE VECTORES

D a dos d os v ect or es : y , y d os nú mer os : a y b , el v ect or se dic e
qu e es u na co mb i na c i ó n li n ea l d e y .
U na c o mb i na ci ó n li n ea l d e d os o má s v ect or es es el v ect or qu e s e ob t i en e a l
s u ma r es os v ect or es mu lt ip l ica d os p or s en d os es ca la r es .

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C u a lqu i er v ect or s e p u ed e p o n er co mo c o mb i na c i ón l i n ea l d e ot r os d os qu e
t en ga n dis t int a d ir ecc i ón .

E s t a co mb i na ci ó n l i n ea l es ú n ica .

D a dos l os v ect or es , ha lla r el v ect or co mb i na c ió n
li n ea l

E l v ect or , ¿s e p u ed e ex p r es a r co mo c o mb i na c i ón l i n ea l d e l o s

v ect or es ?

Vect ore s l i n eal m en t e depen di en t es e i n depen di en t es.

Vect ore s l i n eal m en t e depen di en t es

Va r ios v ect or es lib r es d el p la n o s e d ic e q u e s o n li n ea l ment e d ep en d i ent es s i
ha y u na co mb i na c i ó n l i n ea l d e el l os qu e es igu a l a l v ect or c er o, s i n qu e s ea n
c er o t o d os l os co ef ic i ent es d e la co mb i na ci ó n l i n ea l .

P r op i eda d es

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1 . S i va r ios v ect or es s o n l i n ea l men t e d ep en d i ent es , ent on c es a l men os u n o d e
el l os s e p u ed e ex p r es a r co mo c o mb i na ci ó n l i n ea l d e l os d emá s .

T a mb i én s e cu mp l e el r ec ip r oc o : s i u n v ec t or es c o mb i na ci ó n li n ea l d e ot r os ,
ent o nc es t o d os l os v ect or es s o n l i n ea l men t e d ep en d i ent es .

2 . D os v ect or es d el p la n o s o n l i n ea l men t e d ep en d i ent es s i, y s ó l o s i, s o n
p a r a lel os .

3 . D os v ect or es l ib r es d el p la no = (u1, u2) y = ( v 1 , v 2 ) s o n li n ea l men t e
d ep en d i ent es s i s u s co mp o n ent es s o n p r op or ci o na l es .

Vect ore s l i n eal m en t e i n depen di en t es

Va r ios v ect or es l ib r es s o n l i n ea l men t e i n d ep en d i ent es s i n i n gu no d e el l os
p u ed e s er es cr it o c o n u na co mb i na ci ó n l i n ea l d e l os r es t a nt es .

a1 = a2 = ··· = an = 0

L os v ect or es l i n ea l men t e i n d ep en d i ent es t ien en d is t i nt a dir ec ci ó n y s u s
co mp o n ent es n o s o n p r op or ci o na l es .

E j em p l o
D et er mi na r s i s on l i n ea l men t e d ep en di ent es o in d ep en d i ent es l os v ect or es . :

= (3, 1) y = (2, 3)

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L i n ealm en t e in depen di en t es

BASE
D os v ect or es y co n dis t int a dir ec ci ó n f or ma n u na b a s e, p or qu e cu a lqu i er
v ect or d el p la n o s e p u ed e p o n er co mo co mb i na ci ó n l i n ea l d e el l os .

L a s coor d ena da s d el v ect or r es p ect o a la bas e s o n :

E j em p l o s

L os d os v ect or es qu e f or ma n u na b a s e no p u ed en s er p ar a lel os .

E j em p l o

Q u é p a r es d e l os s i gu i ent es v ect or es f or ma n u na ba s e:

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B a s e o r to g o na l

L os d os v ect or es d e la b a s e s on p er p en d icu l a r es ent r e s í.

Base ort on orm al

L os d os v ect or es d e la b a s e s o n p er p en d icu la r es ent r e s í, y a d emá s t i en en
mó du l o 1 .

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E s t a b as e f or ma da p or los v ect or es y s e d en o mi na b a s e ca nó n ica .
E s la b a s e qu e s e u t il i za ha b it u a l ment e, d e mo d o qu e s i n o s e a d v i er t e na da s e
s u p on e qu e s e es t á tr ab a ja nd o en es a b a s e.

E j er ci ci os
Q u é p a r es d e l os s i gu i ent es v ect or es f or ma n u na ba s e:

S ea n l os v ect or es l ib r es = (2, 1), = (1, 4) y = ( 5 , 6 ) . D et er mi na r :
S i f or ma n u na b a s e y .

E x p r es a r c o mo c o mb i na ci ó n l i n ea l d e l os d e la ba s e

3 . C a lcu la r la s coor d ena da s d e C r es p ect o a la ba s e.
L a s coor d ena da s d e r es p ect o a la ba s e s o n: ( 2 , 1 )

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Un v ect or t i en e de c o or d ena da s (3, 5) en la base ca nó n ica . ¿Q u é
co or d ena da s t en dr á r ef er i do a la ba s e = (1, 2), = (2, 1)

(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)

3 = a + 2 b a = 3 - 2 b a = 7/ 3

5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3

L a s coor d ena da s d e en la b a s e B s o n ( 7 / 3 , 1/ 3 ) .

SISTEMA DE REFERENCIA

E n el p la n o, u n s is t ema d e r ef er enc ia es t á co ns t it u i d o p or u n p u nt o O d el p la n o
y u na b a s e ( , ).

E l p u nt o O d el s is t ema d e r ef er en cia s e lla ma or i g en.

L os v ect or es , n o p a r a lel os f or ma n la b a s e.

O rt ogon al

L os v ect or es b a s e s o n p er p en d icu la r es y t i en en dis t int o mó du l o .

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O r t o no r ma l

L os v ect or es d e la b a s e s o n p er p en d icu la r es , i gu a l es y u nit a r ios , es d ec ir , d e
mó du l o 1 .
S e r ep r es ent a n p or la s let r a s .

L a s r ect a s O X , O Y s e l la ma n ej es d e co or d ena da s o ej es c o or d ena d os
ca r t es ia n os .

APLICACIÓN DE VECTORES

C o o rde na d as de l p unt o med io de un s eg m e nt o

L a s coor d ena da s d el p u nt o med i o d e u n s eg men t o s o n la s emis u ma d e la s
co or d ena da s d e l os ex t r emos .

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H a lla r la s coor d ena da s d el p u nt o med i o d el s eg men t o A B.

C o nd i ci ó n p a r a q u é t r es pu nt o s es t én a li nea d o s

L os p u nt os A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) y C ( x 3 , y 3 ) es t á n a l i n ea d os s i emp r e qu e l os
v ect or es t en ga n la mis ma dir ec ci ó n . E s t o ocu r r e cu a n d o s u s
co or d ena da s s on p r op or c i o na l es .

C a lcu la r el va l or d e a p ar a qu e l os p u nt os es t én a li n ea dos .

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S i mét r i co d e u n p u nt o r es p ect o d e ot r o

S i A' es el s i mét r ic o d e A r es p ect o d e M , ent o n c es M es el p u nt o med i o d el
s eg men t o A A ' . P or lo qu e s e v er if ica r á igu a l da d :

H a lla r el s i mét r ic o d el p u nt o A( 7 , 4 ) r es p ec t o d e M ( 3 , - 1 1 ) .

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Coorden adas del bari cen t ro

Ba r ic ent r o o c ent r o d e gr a veda d d e u n t r iá n gu lo es el p u nt o d e i nt er s ecc i ón d e
s u s med ia na s .

L a s coor d ena da s d el b a r icent r o s o n :

D a dos l os v ér t ic es d e u n t r iá ngu l o A( - 3 , - 2 ) , B( 7 , 1 ) y C ( 2 , 7 ) , ha lla r la s
co or d ena da s d el b a r ic ent r o.

D i vi s i ó n d e u n s eg ment o en u na r el a ci ó n da d a

D i vi d ir u n s eg men t o A B en u na r ela ci ó n da da r es d et er mi na r u n p u nt o P d e la
r ect a qu e c o nt i en e a l s eg men t o A B, d e m o d o qu e la s d os p a r t es , P A y P B,
es t á n en la r ela c ió n r :

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¿Q u é p u nt os P y Q di v i d en a l s eg ment o d e ex t r emos A ( - 1 , - 3 ) y B( 5 , 6 ) en t r es
p a r t es i gu a l es ?

CONICAS

U na s u p er f ic i e c ó n ica d e r ev o lu c i ón es t á en g en dr a da p or la r ot a ció n d e u na
r ect a a lr ed ed or d e ot r a r ect a f ija , lla ma da ej e, a la qu e c or t a de mo d o ob l icu o.
L a gen er a t r iz es u na cu a lqu i er a de la s r ect a s ob l icu a s .

E l v ér t ic e es el p u nt o c ent r a l do n d e s e c or t a n la s gen er a t r ic es .
L a s hoja s s o n la s d os p a r t es en la s qu e el v ér t ic e d i v i d e a la s u p er f ici e c ó ni ca
d e r ev o lu c i ó n.

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S e d en o mi na s ecc i ó n c ó ni ca a la cur va int er s ecc i ó n d e u n c o n o c o n u n p la n o
qu e n o p a s a p or s u v é r t i c e. E n f u nc i ó n d e l a r ela ci ó n ex is t ent e ent r e el á n gu l o
d e c o n ic i da d ( α ) y la i nc l i na ci ó n d el p la n o r es p ect o d el ej e d el c on o ( β ) ,
p u ed en ob t en er s e di f er ent es s ec c io n es c ó n i ca s .

Elipse

L a el ip s e es la s ecc i ó n p r o du c i da en u na s u p er f i ci e c ó n ica d e r ev o lu c i ó n p or
u n p la n o ob li cu o a l ej e, qu e n o s ea p a r a lel o a la g en er a t r iz y qu e f or me c o n e l
mis mo u n á n gu l o ma yor qu e el qu e f or ma n ej e y g en er a t r iz.
α < β <90º

L a el ip s e es u na cu r va cer r a da .

Ci rcu n f eren ci a

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L a cir cu nf er en cia es la s ecc i ó n p r odu ci da p or u n p la n o p er p en di cu la r a l ej e.

β = 90º
L a cir cu nf er en cia es u n ca s o p a r t icu la r de elip s e.

Parábola

L a p ar á b ola es la s ecc i ón p r o du ci da en u na s u p er f i ci e c ó ni ca d e r ev olu ci ó n p or
u n p la n o ob l icu o a l ej e, s i en d o p a r a lel o a la g en er a t r iz.
α = β
L a par á b ola es u na cu r va a b ier t a qu e s e p r o l o nga ha s t a el i nf i n it o.

H i pérbol a

28-


L a hip ér b o la es la s ec ci ó n p r o du c i da en u na s u p er f ic i e c ó n ica d e r ev o lu c i ó n
p or u n p la n o ob li cu o a l ej e, f or ma n d o c o n él u n á n gu l o men or a l qu e f or ma n
ej e y g en er a t r iz, p or lo qu e i n ci d e en la s d o s ho ja s d e la s u p er f ic i e c ó n ica .
α > β
L a hip ér b o la es u na cu r va a b i er t a qu e s e p r o l on ga i n d ef in i da ment e y c ons t a d e
d os r a ma s s ep a r a da s .

E C U AC I O N DE LA CI RC U N F ER E N CI A

S e l l a ma ci rc unf e re nc i a a l lu ga r g eo mét r ico d e l os p u nt os d el p la no qu e
equ i d is t a n d e u n p u nt o f ij o l la ma d o c ent r o .

E lev a ndo al c ua dr a do o bt e ne mo s l a ec ua c ió n:

S i des a rro ll a mo s :

y rea li za mo s es t o s ca mb io s :

29-


O bt e ne mo s o t ra fo r ma d e es cr ib ir l a e c ua ció n:

D o nde e l ce nt ro es :

y el ra dio c u mp le l a r el ac ió n:

E cu a ci ó n r ed u ci d a d e la ci r cu nf er enci a

S i e l c e nt ro d e l a c ir c unf e re nc ia co i nci d e co n e l o r ig e n de co o rd e nad as l a
ec uac ió n q ue d a red uc id a a:

E s crib ir la e c uac ió n d e l a ci rc unf e re nc i a de ce nt ro ( 3 , 4 ) y rad io 2 .

D ad a la c ir c unf e re nci a d e e c uac ió n x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 , ha ll a r e l
ce nt ro y el ra dio .

30-


H al l ar l a ec ua c ió n de l a c irc unf e r e nc i a q ue p as a po r lo s p unt o s A ( 2 , 0 ) ,
B(2,3), C(1, 3).
S i s us t it ui mo s x e y e n l a ec ua c ió n po r las
co o rde na d as de lo s p unt o s s e o bt ie ne el s i s t e ma :

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA II

P ar a qu e u na ex p r es i ón d el t ip o : s ea u na
cir cu n f er enc ia d eb e cu mp l ir qu e:

1 . L os co ef ic i ent es d e x 2 e y 2 s ea n i gu a l es a la u ni da d . S i t u vi er a n a mb os u n
mis mo c o ef ic i ent e d is t i nt o d e 1 , p odr ía mos d i vi d ir p or él t o d os l os t ér mi n os d e
la ecu a c ió n.

2 . N o t en ga t ér mi n o en x y .

3.

I n d ica r s i la ecu a ci ó n: 4 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 8 y - 1 1 = 0 , c or r es p o n d e a u na
cir cu n f er enc ia , y en ca s o a f ir ma t i v o , ca lcu l a r el c ent r o y el r a di o.

1 . C o mo l os co ef ic i ent es d e x 2 e y 2 s o n d is t i nt os a la u nida d, di v i di mo s p or 4 :

2 . N o t ien e t ér mi n o en x y.

31-


3.

E s u na cir cu nf er en c ia , ya qu e s e cu mp l en la s tr es co n d ic i o n es .

Intersección de una cónica y una recta
P ar a ha lla r los p u nt os c o mu n es a u na có n ica y u na r ect a r es ol v er emo s el
s is t ema f or ma d o p or la s ecu a ci o n es d e a mb a s .

E n g en er a l s e ob t i en e u n ecu a ci ó n d e s egu n d o gr a do, qu e t en dr á d ep en d i en d o
d el s i g n o d el dis cr i mi na nt e, , la s s igu i ent es s olu c i o n es :

1 Si Δ > 0

D os s o lu c i o n es : la r ect a y la cón ica s on s ec a nt es .

32-


2 Si Δ = 0

U na s olu ci ó n : la r ect a y la cón ica s o n t a ng e nt es .

3 Si Δ < 0

N i n gu na s o lu c i ó n: la r ect a y la có n ica s on ex t er i or es .

C a lcu la la p os i c ió n r ela t iva d e la cir cu n f er enc ia y la
r ect a .

33-


Eleme ntos de la elipse

 F o co s

S on l os p u nt os f i j os F y F ' .

 E j e f o ca l

E s la r ect a qu e p a s a p or los f o c os .

 E j e s ecu nd a r i o

E s la media t r iz d el s eg ment o F F ' .
C ent r o

E s el p u nt o d e i nt er s ecc i ó n d e l os ej es .

 R a d i o s vect o r es

S on l os s eg ment os qu e va n d es d e u n p u nt o d e la el ip s e a los f o c os : P F y P F '.

 D i s t a nci a f o ca l

E s el s eg men t o d e l o n g it u d 2 c , c es el va l or d e la s emi d is t a nc ia f oca l .

34-


 Vér t i ces

S on l os p u nt os d e i nt er s ecc i ón d e la el ip s e co n l os ej es : A, A' , B y B' .
E j e ma y or
E s el s eg men t o d e l o n g it u d 2 a , a es el va l or d el s emi ej e ma y or .

 E j e meno r
E s el s eg men t o d e l o n g it u d 2 b , b es el va l or d el s emi ej e men or .

E j es d e s i met r ía
S on la s r ect a s qu e co nt i en en a l ej e ma y or o a l ej e men or .

C ent r o d e s i met r ía
C oi nc i d e c on el c ent r o d e la elip s e, qu e es el p u nt o d e i nt er s ecc i ó n d e l os ej es
d e s i met r ía .

Relación e ntre la dista ncia foca l y los semiejes

L a ex c ent r ic i da d d e la el ip s e es i gu a l a l c oc i ent e ent r e s u s emi d is t a ncia f oca l
y s u s emi ej e ma y or .

35-


36-


E C U A C I O N R E D U C I D A D E L A E L I PS E

T o ma mos c o mo c ent r o d e la el ip s e el c ent r o d e c o or d ena da s y l os ej es d e la
el ip s e c o mo ej es d e c o or d ena da s . La s coor d ena da s de los f oc os s o n :

F' ( - c, 0 ) y F( c, 0 )

C u a lqu i er p u nt o d e la el ip s e cu mp l e:

E s t a ex p r es i ón da lu ga r a :

37-


R ea l iza n d o la s op er a ci o n es l l ega mos a :

H a lla r l os el emen t os ca r a ct er ís t ic os y la ecu a ci ó n r edu c i da d e la el ip s e d e
f o cos : F ' ( - 3 , 0 ) y F ( 3 , 0 ), y s u ej e ma y or mi d e 1 0 .

S e miej e may o r

S e mid is t a nc ia fo c a l

S e miej e me no r

E cua ció n red uc id a

38-


E x c ent r i ci da d

ECUACION REDUCIDA DE LA ELIPSE

S i el ej e pr i nc ip a l es t á e n el d e o rde na d as s e ob t en dr á la s igu i ent e ecu a ci ó n :

L a s coor d ena da s d e los f oc os s o n :

F' ( 0 , - c) y F( 0 , c)

D a da la ecu a ci ó n r edu c i da d e la el ip s e , ha l la r la s co or d ena da s d e
l os v ér t ic es d e l os f oc os y la ex c ent r ic i da d.

39-


ECUACION DE LA ELIPSE
S i el c ent r o d e la elip s e C ( x 0 , y 0 ) y el ej e p r i nc ip a l es p a r a lel o a O X , los f o c os
t i en en d e co or d ena da s F ( x 0 + c, y 0 ) y F ' ( x 0 − c, y 0 ) . Y la ecu a ci ó n d e la el ip s e
s er á :

A l qu it a r den o mi na d or es y d es a r r ol la r s e o b t i en e, en g en er a l, u na ecu a ci ó n d e
la f or ma :

D o n d e A y B t i en en el mis mo s i g n o.

40-


H a lla r la ecu a c i ó n d e la el ip s e d e f oc o F ( 7 , 2 ) , d e v ér t i c e A( 9 , 2 ) y d e c ent r o
C ( 4 , 2 ).

D a da la el ip s e d e ecu a ci ó n , ha lla r su cent r o ,
s emi ej es , v ér t ic es y f o cos .

41-


HIPERBOLA

E s el lu ga r g eo mét r ic o d e l os p u nt os d el p l a no cu ya d if er en cia d e dis t a n cia s a
d os p u nt os f i jos l la ma d os f oc os es co ns t a nt e.

Eleme ntos de la hipérbola
F o co s

S on l os p u nt os f i j os F y F ' .

E j e f o ca l

E s la r ect a qu e p a s a p or los f o c os .
E j e s ecu n da r io o i ma g i na r io
E s la media t r iz d el s eg ment o .

C ent r o

E s el p u nt o d e i nt er s ecc i ó n d e l os ej es .

Vér t i ces

L os p u nt os A y A ' s o n l os p u nt os d e i nt er s ecc ió n d e la h ip ér b o la co n el ej e
f o ca l.

42-


L os p u nt os B y B' s e ob t i en en c o mo i nt er s ecc i ó n d el ej e i ma g i na r i o c o n la
cir cu n f er enc ia qu e t i en e p or c ent r o u n o d e l os v ér t i c es y d e r a di o c.

R a d i o s vect o r es

S on l os s eg men t os qu e va n d es d e u n p u nt o d e la hip ér b ola a l os f oc os : P F y
PF'.

D i s t a nci a f o ca l

E s el s eg men t o d e l o n g it u d 2 c.

E j e ma yo r

E s el s eg men t o d e l o n g it u d 2 a .
E j e men or

E s el s eg men t o d e l o n g it u d 2 b .

E j es d e s i met r í a

S on la s r ect a s qu e co nt i en en a l ej e r ea l o a l ej e i ma g i na r io.

A s í nt o t a s

S on la s r ect a s d e ecu a ci o n es :

R el a ci ó n ent r e l o s s emi ej es

L a ex c ent r ici da d mi d e la a b er t ur a ma y or o men or d e la s r a ma s d e la hip ér b ola .

43-


44-


ECUACIO N REDUC IDA DE LA H IP E RB O LA

S e l la ma ecu a ci ó n r edu ci da a la ecu a c ió n d e la h ip ér b o la cu y os ej es c o i nc i d en
co n l os ej es co or d ena da s , y, p or ta nt o, el c ent r o d e h ip ér b o la co n el or i g en d e
co or d ena da s .

S i el ej e r ea l es t á en el ej e d e a b s cis a s la s co or d ena da s d e los f oc os s o n :
F ' ( − c, 0 ) y F ( c, 0 )

C u a lqu i er p u nt o d e la h ip ér b o la cu mp l e:

E s t a ex p r es i ón da lu ga r a :

R ea l iza n d o la s op er a ci o n es y c o ns i d er a n d o qu e , llega mos a :

H a lla r la ecu a c i ó n d e la h ip ér b o la d e f oc o F ( 4 , 0 ) , d e v ér t i c e A ( 2 , 0 ) y d e
c ent r o C ( 0 , 0 ).

45-


H a lla r la ecu a ci ó n y la ex c ent r ic i da d d e la h ip ér b o la qu e t i en e c o mo f o cos l os
p u nt os F ' ( - 5 , 0 ) y F ( 5 , 0 ) , y 6 co mo d if er en cia d e l os r a di os v ect or es .

H a lla r la s co or d ena da s d e l os v ér t ic es y d e l os f oc os , la s ecu a c io n es d e la s
a s ínt ot a s y la ex c ent r i ci da d d e la h ip ér b o la 9 x 2 - 1 6 y 2 = 1 4 4 .

46-


E cu a ci ón r edu ci da d e la hip ér b o la co n l os f oc os en el ej e O Y

F ' ( 0 , − c) y F ( 0, c)

L a ecu a ci ó n s er á :

c ent r o C ( 0 , 0 ).

47-


Ecuación de la hipérbola

co n ej e pa r al elo a O X , y cent ro d is t i nt o a l o rig e n

S i el c ent r o d e la h ip ér b o la es C ( x 0 , y 0 ) y el ej e p r i nc ip a l es p a r a lel o a O X , los
f o cos t i en en d e c o or d ena da s F ( x 0 + c, y 0 ) y F ' ( x 0 − c, y 0 ) . Y la ecu a c i ón d e la
h ip ér b o la s er á :

A l qu it a r d eno mi na d or es y d es a r r olla r la s ecu a ci o n es s e ob t i en e, en g en er a l,
u na ecu a c i ón d e la f or ma :

D o n d e A y B t i en en s ig n os op u es t os .

c ent r o C ( 3 , 2 ).

48-


Ecuación de la hipérbola de eje ve rtical
E cua ció n de l a hip érbo l a co n ej e pa r al e lo a O Y , y cent ro dis t i nt o a l o rig e n

S i el c ent r o d e la h ip ér b o la C ( x 0 , y 0 ) y el ej e p r i nc ip a l es p a r a lel o a O Y, l os
f o cos t i en en d e c o or d ena da s F ( x 0 , y 0 + c) y F ' ( x 0 , y 0 − c) . Y la ecu a c ió n d e la
h ip ér b o la s er á :

A l qu it a r d eno mi na d or es y d es a r r olla r la s ecu a ci o n es s e ob t i en e, en g en er a l,
u na ecu a c i ón d e la f or ma :

49-


D o n d e A y B t i en en s ig n os op u es t os .

H a lla r la ecu a c i ón d e la hip ér b o la d e f o c o F ( - 2 , 5 ) , de v ér t i c e A ( - 2 , 3 ) y d e
c ent r o C ( - 2 , - 5 ) .

Ecuación de la hipérbola equiláter a

L a s hip ér b o la s en la s qu e l os s emi ej es s o n igu a l es s e lla ma n equ i lá t er a s , p or
t a nt o a = b . Y s u ecu a ci ó n es :

L a s a s ínt ot a s t ien en p or ecu a ci ó n :

,

50-


E s d ec ir , la s b is ect r ic es d e l os cu a dr a nt es .
L a ex c ent r ici da d es :

Ecuación de la hipérbola equiláter a referida a sus asíntotas

P ar a p as ar de l os ej es O X , O Y a l os d et er mi na d os p or la s a s ínt ot a s ,
b a s tar á dar u n g ir o d e − 4 5 ° a lr ed ed or d el o r ig en d e c o or d ena da s . Q u eda nd o la
ecu a ci ó n c o mo :

51-


S i ef ect u a mos u n g ir o d e 4 5 ° en l os ej es , la h ip ér b o la qu e qu eda en el
s egu n d o y cu a r t o cu a dr a nt e y s u ecu a c i ón s er á :

L a ecu a ci ó n r ep r es ent a u na hip ér b ola equ ilá t er a , ca lcu la r s u s
v ér t ic es y f o c os .

C o mo la s co or d ena da s d e l os v ér t i c es s e en cu ent r a n en la b is ect r iz d el
p r i mer y t er c er cu a dr a nt e, la p r i mer a co mp o n ent e y la s egu n da c o mp on ent e
co i nc i d en, es d ecir , x = y. Y c o mo a d emá s el p u nt o A p er t en ec e a la cu r va ,
t en dr emo s :

52-


EJERCICIO 19 : R es ue lv e lo s s ig uie nt es ej erc ic io s po r t e ma .

Vect o r es . P r o d u ct o es ca l a r .

E j ercic io

1 . Ha lla r el s i mét r ic o d el p u nt o A( 4 , - 2 ) r es p ect o d e M ( 3 , - 1 1 ) .

2 . Da dos d os v ér t i c es d e u n t r iá ngu l o A ( 2 , 1 ) , B( 1 , 0 ) y el b a r icent r o G ( 2 / 3 , 0 ) ,
ca lcu la r el t er c er v ér t ic e.

3 D a dos l os p u nt os A ( 3 , 2 ) y B( 5 , 4 ) ha l la u n p u nt o C , a lin ea do c o n A y B, d e

ma n er a qu e s e ob t en ga

4 C a lcu la la s c o or d ena da s d e D p a r a qu e el cu a dr i lá t er o d e v ér t i c es : A( - 1 , - 2 ) ,
B( 4 , - 1 ) , C ( 5, 2 ) y D ; s ea u n pa r a lel o gr a mo .

5 Si { , } f or ma u na b as e or t o n or ma l, ca lcu l a r :

a. ·
b. ·
c. ·
d. ·

6 D a dos l os v ect or es = ( 2 , k) y = ( 3 , - 2 ), calcu la k p a r a qu e l os v ect or es
y s ea n :

1 P er p en di cu la r es .
2 Par a lel os .
3 F or men u n á n gu l o d e 6 0 °.

7 Ca lcu la r el va lor d e k s a b ien d o qu e

8 S u p on i en d o qu e r es p ect o d e la b a s e o r t on or ma l { , } d el p la n o l o s
v ect or es t i en en c o mo ex p r es i o n es :

53-


C a lcu la r el va l or d e k p a r a qu e los d os v ect or es s ea n or t og o na l es .

9 Ca lcu la la pr oy ecc i ó n d el v ect or s ob r e el v ect or .

1 0 H a lla r u n v ect or u nit a r io d e la mis ma d i r ecc i ó n d el v ect or .

E cu a ci ó n d e l a ci r cu nf er enci a .

E j erc ic io s

1 D et er mi na la s coor d ena da s d el c ent r o y d e l r a dio d e la s cir cu n f er en c ia s :

a.

b.

c.

2 . C a lcu la la ecu a ci ó n d e la cir cu nf er enc ia qu e t i en e s u c ent r o en ( 2 , - 3 ) y es
T a ng ent e a l ej e d e a b s cis a s .

3 . C a lcu la la ecu a c i ó n d e la c ir cu nf er enc ia qu e t i en e s u c ent r o en ( - 1 , 4 ) y es
t a ng ent e a l ej e d e or d ena da s .

4 . Ca lcu la la ecu a c ió n d e la cir cu n f er en cia qu e t i en e s u c ent r o en el p u nt o d e
i nt er s ec c ió n d e la r ect a s x + 3 y + 3 = 0 , x + y + 1 = 0, y s u r a dio es i gu a l a 5

.
5 . Ha lla r la ecu a ci ó n d e la cir cu n f er enc ia co nc ént r i ca co n la ecu a ci ó n
, y qu e p a s a p or el p u nt o ( - 3 , 4 ) .

6 . H a lla r la ecu a ci ó n d e la cir cu nf er enc ia cir cu ns cr it a a l t r iá ngu l o d e v ér t ic es :
A( 0 , 0 ) , B( 3 , 1 ) , C ( 5, 7 ).

7 . L os ex t r emos d el d iá met r o d e u na c ir cu nf er enc ia s o n los p u nt os A ( - 5 , 3 ) y
B( 3 , 1 ) . ¿C uá l es la ecu a c i ó n d e es t a cir cu nf er enc ia ?

54-


8 . H a lla r la e cu a ci ó n d e la c ir cu n f er enc ia c o nc ént r ica a la c ir cu n f er enc ia
qu e s ea t a ng ent e a la r ect a 3 x - 4 y + 7 = 0 .
9 . E s t u dia r la p os ic i ón r ela t i va d e la c ir cu nf er enc ia x 2 + y 2 - 4 x + 2 y - 2 0 = 0
co n la s r ect a s :

1. x + 7y -20 = 0

2. 3x + 4y - 27 = 0

3. x + y - 10 = 0

E cu a ci ó n d e l a el i p s e.

E j erc ic io s

a. R ep r es ent a gr á f ica ment e y d et er mina la s co or d ena da s d e l os f o c os , d e l os
v ér t ic es y la ex c ent r i ci da d d e la s s igu i ent es elip s es .

1.

2.

3.

4.

b. R ep r es ent a gr á f ica ment e y d et er mi na la s co or d ena da s d e los f o c os , d e l os
v ér t ic es y la ex c ent r i ci da d d e la s s igu i ent es elip s es .

1.

2.

3.

4.

c. H a lla la ecu a ci ó n d e la el ip s e c on o ci en d o :

1.

55-


2.

3.

4.

d. E s cr ib e la ecu a ci ó n r edu c i da d e la el ip s e qu e p a s a p or el p u nt o ( 2 , 1 ) y cu y o
ej e men or mi d e 4 .

e . L a dis t a ncia f oca l d e u na el ip s e es 4 . U n p u nt o d e la el ip s e dis t a d e s u s
f o cos 2 y 6 , r es p ect i va ment e. C a lcu la r la ec u a ció n r edu c i da d e d ic ha el ip s e.

f. E s cr ib e la ecu a c ió n r edu ci da d e la el ip s e qu e p a s a p or los p u nt os :

.

g . H a lla r la s co or d ena da s d el p u nt o med i o d e la cu er da qu e i nt er c ep t a la r ect a :
x + 2 y - 1 = 0 en la el ip s e d e ecu a ci ó n : x 2 + 2 y 2 = 3 .

h. D et er mi na la ecu a ci ó n r edu c i da d e u n el i p s e cu ya dis t a n cia f o ca l es y el
á r ea del r ect á n gu l o co ns t r u i dos s ob r e l os ej es 8 0

E cu a ci ó n d e l a hi p ér b o l a.

E j ercic io s

a. R ep r es ent a gr á f ica ment e y d et er mina la s co or d ena da s d e l os f o c os , d e l os
v ér t ic es y la ex c ent r i ci da d d e la s s igu i ent es hip ér b o la s .

1.

2.

3.

4.

56-


b. R ep r es ent a gr á f ica ment e y d et er mi na l a s co or d ena da s d el c ent r o, d e l os
f o cos , d e l os v ér t ic es y la ex c ent r i ci da d d e la s s igu i ent es h ip ér b o la s :

1.

2.

3 . H a lla r la ecu a ci ó n d e u na hip ér b o la d e ej e f oca l 8 y d is t a nc ia f oca l 1 0 .

4 . E l ej e f o ca l d e u na h ip ér b ola mi d e 1 2 , y la cu r va p a sa p or el p u nt o P ( 8 , 1 4 ) .
H a lla r s u ecu a ci ó n.

5 . Ca lcu la r la ecu a ci ó n r edu c i da d e la h ip ér b o la cu ya d is t a nc ia f oca l es 3 4 y la
d is t a nc ia d e u n f o c o a l v ér t ic e má s p r óx i mo es 2 .

6 . D et er mi na la ecu a ci ó n r edu ci da d e u na hip ér b ola qu e p a s a p or los p u nt os
.

7 . D et er mi na la ecu a c ió n r edu ci da d e u n a hip ér b o la qu e p a s a p or el p u nt o
y s u ex c ent r ic i da d es .

8 . D et er mi na la ecu a ci ó n r edu c i da d e u na h ip ér b o la s a b i en do qu e u n f oc o d is t a
d e l os v ér t ic es d e la hip ér b o la 5 0 y 2.

9 . D et er mi na la p os i c ió n r ela t i va d e la r ec t a x + y − 1 = 0 co n r es p ect o a la
h ip ér b o la x 2 − 2 y 2 = 1 .

1 0 . Una h ip ér b o la equ i lá t er a p a sa p or el p u nt o ( 4 , 1 / 2 ) . H a lla s u ecu a ci ó n
r ef er i da a s us a s ínt ot a s co mo ej es , y la s co or d ena da s d e l os v ér t ic es y l os
f o cos .

E cu a ci ó n d e l a p a r á bo l a .

E j ercic io s

a. D et er mi na r , en f or ma r edu c i da , la s ecu a cio n es d e la s s i gu i ent es p a r á b ola s ,
i n di ca n d o el va l or d el p a r á met r o, la s co or d ena da s del f oc o y la ecu a ci ó n d e la
d ir ect r iz.

1.

2.

3.

57-


b . D et er mi na l a s ecu a ci o nes d e l a s p a r á b ola s q u e t i enen:

1 . D e dir ect r iz x = - 3 , de f o c o ( 3 , 0 ) .

2 . D e dir ect r iz y = 4 , d e v ér t ic e ( 0 , 0 ) .

3 . D e dir ect r iz y = - 5 , de f o c o ( 0 , 5 ) .

4 . D e dir ect r iz x = 2 , d e f o co ( - 2 , 0 ) .

5 . D e f oc o ( 2 , 0 ) , de v ér t i c e ( 0 , 0 ) .


7 . D e f oc o ( - 2 , 5 ) , de v ér t ic e ( - 2 , 2 ) .


c. C a l cu l a r l a s co o r d ena d a s d el vér t i ce y d e l o s f o co s , y l a s ecu a ci o n es d e l a
d i r ect r i ces d e l a s p a r á bo l a s :

1

2

3

d . H a lla r la ecu a ci ó n d e la p a r á b ola d e ej e v er t ica l y qu e p a s a p or l os p u nt os :
A( 6 , 1 ) , B( - 2 , 3 ) , C ( 1 6, 6 ).

e . D et er mi na la ecu a ci ó n d e la p a r á b ola qu e t i en e p or d ir ect r iz la r ect a : y= 0 y
p or f oc o el p u nt o ( 2 , 4 ) .

f. C a lcu la r la p os ic i ó n r ela t iva d e la r ect a r ≡ x + y - 5 = 0 r es p ect o a la
p a r á b ola y 2 = 1 6 x.

58-


E cu a ci ó n d e l a p a r á bo l a .

E j ercic io s

D et er mi na r , en f or ma r edu c i da , la s ecu a c i o n es d e la s s igu i ent es p a r á b ola s ,
i n di ca n d o el va l or d el p a r á met r o, la s co or d ena da s del f oc o y la ecu a ci ó n d e la
d ir ect r iz.

1

59-


2

60-


3

61-


RECUERDA
COOPERACIÓN
Consiste en el trabajo en común llevado a cabo por parte de un grupo de personas
o entidades mayores hacia un objetivo compartido, generalmente usando métodos
también comunes, en lugar de trabajar de forma separada en competición

Evaluación

Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
instrumentos.
 Declarativos: Prueba objetiva.
 Procedimentales: texto paralelo.
 Actitudinales: lista de cotejo.

62-

Matemáticas en la Educación Física: Vectores y Cónicas

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