Geometria

- Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez

http://manualmateenefs.ucoz.com/

1-


Competencia.
Emplea las teorías de geometría para interpretar diferente información y elaborar
informes sobre situaciones reales.

Indicadores de logro.

1. Aplica teoremas y conocimientos de geometría plana en la construcción de cuerpos
geométricos.

2. Aplica teorema de Pitágoras resolver situaciones reales con triángulos rectángulos.

CONTENIDOS

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Geometría: definición, Ejercicios construyendo figuras Productividad como valor para
geometría plana y solida. geométricas planas. la resolución de problemas.

Polígonos, clasificación, Realización de figuras Valoración del diseño en el arte
circunferencia, ángulos, representando polígonos e y otras manifestaciones como
triángulos, cuadriláteros, identificando sus tipos. un medio de comunicación.
perímetros y áreas.
.

Teorema de Pitágoras, Cálculos con el teorema de Disposición para trabajar en
perímetros y áreas. Pitágoras, áreas y perímetros. trazos y cálculos.

2-


Geometría
La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria
medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras
geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo
paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su
aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica,
topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de
artesanías.

Los dos temas más comunes son:

Geometría Plana (sobre formas planas como líneas
rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden
dibujar en un trozo de papel)

Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales
como cubos y pirámides).

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA

Conceptos fundamentales

Punto ·

Recta

Plano

Semirecta : porción de recta limitada en un extremo por un punto

*

3-


Semiplano : es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus
rectas .

semiplano A
semiplano B

Segmento : porción de recta comprendida entre dos de sus puntos , llamados extremos .

A* *B

Rectas paralelas : son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en común
.

Rectas secantes : son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones .

Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares , que dividen al plano en cuatro
regiones iguales .

Mediatriz de un segmento : es la recta perpendicular trazada en su punto medio .

a* *b

Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento .

Ángulo : es una región del plano limitada por dos semirectas , que se llaman lados , y que tienen un
punto común que se llama vértice .

4-


lado

vértice *

FIGURAS SOLIDAS
La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos.

Poliedros:
(deben tener caras
planas)
Sólidos Platónicos

Prismas

Pirámides

No Poliedros:
(si alguna superficie Esfera Toro
no es plana)

Cilindro Cono

Geometría Plana
La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos
están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea,
pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

5-


Plano
Un plano es una superficie lisa sin grosor.

Nuestro mundo tiene tres dimensiones,
pero un plano sólo tiene dos
dimensiones.

Ejemplos:

 longitud y altura, o
 xey

Y así sin final.

Ejemplos
Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel
¡Es difícil dar ejemplos reales! estás dibujando en un plano...

... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque
tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende
indefinidamente.

¡Así que la idea correcta esla parte superior de un
trozo perfectamente liso de papel sin fin!

También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.

POLIGONO

Es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos no
alineados. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.
El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.

Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:

Triángulo
Cuadrilátero

6-


Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono

b) Por su forma:

Equilátero: lados iguales
Equiángulo: ángulos iguales
Regular: lados y ángulos iguales
Irregular: lados y ángulos desiguales

Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el
ella. Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono.

Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes (tocan
en un solo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono.

Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia
o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágono .

Circunferencia
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada. Su definición más usual es:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto
fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

 Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
 Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
 Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa
por el centro);
 Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud
máxima son los diámetros)
 Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
 Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
 Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

7-


 Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
 Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un
diámetro.

ANGULO

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de
origen o vértice. 1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado
centesimal.

ORIGEN SEGMENTO

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del
ángulo exterior que limita dicha base.

8-


Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una
cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que
abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

Clasificación de los ángulos:

Tipo Descripción
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su
Ángulo nulo
abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad

y menor de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor
de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide
con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a
rad

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de
200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o
colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de rad

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

9-


Ángulo oblicuo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o poligonal, tiene una amplitud de rad

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan
siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud): 1

Tipo Descripción
Ángulo convexo
o saliente
Es el que mide menos de rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de
200g centesimales).

Ángulo
cóncavo,
reflejo o
Es el que mide más de rad y menos de rad.
entrante
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de
400g centesimales

TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Triángulos.

Clasificación.

Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos . Se pueden
clasificar:

10-


a) Por sus lados:

Equilátero, si tiene los tres lados iguales

Isósceles, si tiene dos lados iguales

Escaleno, si tiene los tres lados diferentes

b) Por sus ángulos:

Rectángulo, si tiene un ángulo recto

Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos

Obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso

En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos
lados, catetos.

Propiedades del triángulo
1. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos , pero mayor que su diferencia .

b c

a

En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos juntar sus lados . Pero
por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir .

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

a c b

a b

Los lados alternos internos a las paralelas son iguales.

11-


Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + b + c = 180º

3. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes
.

b

180-a=b+c a c
a

Rectas y puntos notables de un triángulo

Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista
de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices : son las semirectas que dividen en dos partes iguales los ángulos interiores al triángulo
.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los
lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Alturas : son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación , trazados desde el
vértice opuesto .

12-


Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro .

Medianas : son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad .

Teorema de Pitágoras

'' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa ''

b a a 2 = b2 + c 2

c

Cuadriláteros.

Clasificación.
Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo
tanto cuatro ángulos . Se clasifican segun el paralelismo de sus lados en :

1. Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro .

2. Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.

13-


Los trapecios se pueden clasificar en:

- Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
- Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
- Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica

3. Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos
y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son iguales .

Los paralelogramos se pueden clasificar en:

- Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales
(Rectos) , pero los lados adyacentes no son iguales .

- Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.

- Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.

- Romboide, cuando no es ninguno de los anteriores.

Perímetro:

El perímetro de una figura plana es la suma de todos los lados que forman su contorno.

Es decir, para calcular el perímetro de un rectángulo, tenemos que calcular la longitud de sus lados
y sumarlos.

Por ejemplo:

Tenemos un rectángulo de 10 cm de base y 5 cm de altura.

Sólo tenemos dos lados de los cuatros que forman un rectángulo, pero también sabemos que un
rectángulo tiene los lados iguales dos a dos.

Por lo tanto para calcular su perímetro podemos hacerlo de dos formas:

* Sumamos todos los lados 10 + 5 + 10 + 5 = 30 cm

* Sumamos 10 + 5 = 15 cm y como los otros lados suman lo mismo, lo multiplicamos por 2; 15 x 2
= 30 cm

14-


10 cms

5 cms

PERIMETROS DE FIGURA REGULARES

Á R EA

E l á r ea es la med i da d e la r eg i ó n o s u p er f ic i e enc er r a da p or de u na f i gu r a
g eo mét r ica .

P or ej emp l o:

C a lcu la r el á r ea de r ect á ngu l o qu e t i en e u na b a s e 2 0 cm y u na a lt u r a de 1 0 c m.

15-


10 cm

20 cm

Rectángulo
Área = b×h

b = 20 cm A= 10 cm x 20 cm ------- A= 200 cm2
h = 10 cm

Áreas de formas planas

Triángulo
Cuadrado
Área = ½b×h
Área = a2
b = base
a = longitud del lado
h = altura vertical

Rectángulo Paralelogramo
Área = b×h Área = b×h
b = anchura b = anchura
h = altura h = altura

Círculo
Trapecio
Área = πr2
Área = ½(a+b)h
Circunferencia=2πr
h = altura vertical
r = radio

Sector
Elipse Área = ½r2θ
Área = πab r = radio
θ = ángulo en radianes

16-


EJERCICIO 17:

Resuelva los siguientes problemas, utilice lapicero azul o negro para sus respuestas.

Encuentre el área y perímetro de las siguientes figuras.

1.
2.

D = 6 mts.
c =?
a = 6 cms

b = 9 cms

3. 4.

D = 8 mts.
h = 8 cms

b =10 cms

5. 6.

c =?

l = 5 cms a = 6 cms

b = 8 cms

17-


7.

a = 5 mts c = 8 cms

b = 7 mts

RECUERDA
PRODUCTIVIDAD
La productividad es la relación entre la cantidad de productos obtenida por un
sistema productivo y los recursos utilizados para obtener dicha producción.
La productividad debe ser definida como el indicador de eficiencia que relaciona
la cantidad de recursos utilizados con la cantidad de producción obtenida.

18-


Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el
lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
(los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b
(b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la
fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son
la misma:
3 2 + 4 2 = 52

Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de
Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en
triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:

19-


a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2 92 + b2 = 152

25 + 144 = 169 81 + b2 = 225

c2 = 169 Resta 81 a ambos lados

c = √169 b2 = 144

c = 13 b = √144

b = 12

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

20-


EJERCICIO 18:

1. – Aplica Teorema de Pitágoras y determina si los triángulos son rectángulos:

Cateto a Cateto b Hipotenusa c a2 + b2 c2  rectángulo

9 12 15

8 15 17

10 17 22

14 6 17

2. – Encuentra la medida del lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos:

a. b.

8 cm x 3 cm x

15 cm 4 cm

c. 8 cm d.
9 cm 15 cm
x 6 cm

x

e. f. x
x 29 cm

10 cm 6c
20 cm

21-


3. – Encuentra la medida del lado desconocido y calcula el perímetro de cada triángulo:
a) a = 9 cm; c = 15 cm

b) b = 12 cm; c = 13 cm

4. – Encuentra la medida del lado desconocido y calcula el área de cada triángulo:

c) a = 4 cm; c = 5 cm

d) a = 8 cm; c = 10 cm

RECUERDA
COMUNICACIÓN.
Es el proceso mediante el cual se puede transmitir información de una entidad a
otra. También, es el “intercambio de sentimientos, opiniones, o cualquier otro
tipo de información mediante habla, escritura u otro tipo de señales".

Evaluación
Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
instrumentos.
 Declarativos: rúbrica.
 Procedimentales: ejercicios con lista de cotejo.
 Actitudinales: escala de rango.

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Geometria

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