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Ecuaciones Cuadráticas Y Sus Gráficas

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Funciones Cuadráticas
I. Propiedades de una ecuación cuadrática
Forma Standard cuadrática:
ax2
+ bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son constantes.
Forma Vértice:
y = a(x – h)2
+ k
Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.
Vértice: (h, k)
II. Solución de una ecuación cuadrática
a. Por factoriazación
1. 6x2
– 19x – 7 = 0
2. x2
- 6x + 5 = 0
3. 2x2
= 3x
b. Por raíz cuadrada
1. 2x2
– 3
2. 3x2
+ 27 = 0
3. (x + ½ )2
= 5/4
c. Completando al cuadrado
1. x2
+ 6x – 2 = 0
2. 2x2
–4x + 3 = 0
3. x2
+ 8x = 3
d. Por fórmula Cuadrática
a
acbb
x
2
42
−±−
=
1. 2x + 3/2 = x2
2. x2
– 5/2 = -3x
III. Discriminante y raíces
raíces de ax2
+ bx + c = 0 a, b y c son reales , a ≠ 0
b2
– 4ac > 0 hay dos raíces reales
b2
– 4ac = 0 hay una sola raíz real
b2
– 4ac < 0 hay dos raíces imaginarias
1. 2x2
– 3x – 4 = 0
2. 4x2
– 4x + 1 = 0
3. 2x2
– 3x + 4 = 0
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 1
Más sobre parábolas
IV. Aplicaciones
Resuelve.
a. La suma de un número y su recíproco es 13/6. Encuentre esos números.
b. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos
núemros.
c. Una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje ida y vuelta
36 millas aguas arriba. Si la rapidez de la corriente es de 4 millas por
hora, ¿Cuál es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas?
d. Una nómina se puede terminar en 4 horas trabajando en dos computadoras
simultáneamente. ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada
computadora termine sola si el modelo viejo se tarda 3 horas más que el
nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decimales.
e. Dos lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a
un muelle al mismo tiempo. Una hora antes están separadas 25 millas . Si
una de las lanchas viaja 5 millas por hora más rápido que la otra, ¿cuál es
la rapidez a la que viaja la segunda? Sugerencia : Teorema de Pitágoras-
distancias iguales =tiempos iguales
f. Dos carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando
trabajan juntos. Uno puede terminar el trabajo 2 horas más rápido que el
otro. ¿Cuánto tiempo le toma a uno entregar la correspondencia? Calcule
las respuestas don dos cifras decimales.
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 2
Ejercicios Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas
Por Factorización o Raíz Cuadrada
Ejercicios:
A. Resuelve cada ecuación por factorización.
1. x2
+ 6x + 8 = 0
2. x2
+1 8 = 9x
3. x2
- 2x = 3
4. x2
+ 8x = 0
5. 2x2
+ 6x = -4
6. 3x2
= 16x + 12
B. Resuelve cada ecuación por raíz cuadrada.
1. 4x2
– 100 = 0
2. x2
– 3- = 10
3. x2
– 9 = 0
C. Resuelve cada ecuación por factorización o por raíz cuadrada.
1. 5x2
= 80
2. x2
+ 6x + 5 = 0
3. x2
- 11x + 24 = 0
4. x2
+ 4x = 0
5. 12x2
- 154 = 0
6. 6x2
+ 4x = 0
7. 2x2
- 5x - 3 = 0
8. x2
+ 2x = 6 – 6x
9. 6x2
+ 13x + 6 = 0
10. 3x2
+ 7x = 9
11. x2
= 8x –7
12. 2x2
+ 8x = 5x + 20
13. x2
+ 2x – 1 = 0
14. 4x2
- 100 = 0
15. x2
= - 2x + 1
16. x2
– 9 = 0
17. 2x2
+ 4x =70
18. x2
- 30 = 10
19. x2
+ 4x = 0
20. x2
+ 3x + 2 = 0
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 3
Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas
Completando al Cuadrado y Fórmula Cuadrática
A. Completa al cuadrado. Luego escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el
cuadrado de un binomio.
1. n2
+ 18 n + _____
2. k2
– k + ____
3. x2
– 24 x + ____
4. x2
+ 20x + ____
5. m2
– 3m + ____
6. x2
+ 4x + _____
B. Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
1. x2
- 3x = 28
2. x2
- 3x = 4
3. 6x - 3x2
= -12
4. –d2
– 2d = 5
5. x2
+ 6x + 41 = 0
6. t2
– 2t = -2
7. w2
– 8w – 9 = 0
8. t2
+ 4 = 0
9. 2p2
= 6p – 20
10. 3x2
- 12x + 7 = 0
11. t2
+ 6t = -22
12. 4c2
+ 10c = -7
C. Re-escribe la ecuación en forma y = a(x – h)2
+ k
1. y = x2
-+ 4x – 7
2. y = -x2
+ 4x - 1
3. y = -2 x2
+ 6x + 1
4. y = ½ x2
- 5 + 12
5. y = - 1/5 x2
= 4/5 x + 11/5
6. y = x2
+ 4x + 1
7. y = -4x2
- 5x + 3
8. y = 2x2
- 8x + 1
9. y = -x2
- 2x + 3
D. Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.
1. 2x2
+ 8x + 12 = 0
2. 3x2
+ 2x -1 = 0
3. -x2
+ 5x -7 = 0
4. x2
- 4x + 3 = 0
5. x2
= 3x – 1
6. x2
= 2x – 5
7. 9x2
+ 12x - 5 = 0
8. x ( x – 5) = -4
9. x2
- 6x + 11 = 0
10. x2
+ 6x - 5 = 0
11. x2
- 2x + 3 = 0
12. x2
+ 10x = -25
E. Evalúa el discriminante de cada ecuación. Determina cuántas soluciones hay y si la(s)
solucion(es) son reales o complejas.
1. x2
+ 4x + 5 = 0
2. x2
- 4x - 5 = 0
3. 4x2
+ 20x + 25 = 0
4. 2x2
+ x + 28 = 0
5. 2x2
+ 7x -15 = 0
6. 6x2
- 2x + 5 = 0
7. 2x2
+ 7x = -6
8. x2
-+12x + 36 = 0
9. x2
= 8x - 16
F. Resuelve cada ecuación utilizando cualquier método estudiado. Cuando sea necesario
redondea la solución a la centésima más cercana. Para soluciones complejas, escribe
la solución exacta.
1. x2
= 11x – 10
2. 2x2
+ 4x = 10
3. –3x2
+ 147 = 0
4. 5x2
=210 x
5. x2
- 2x + 2 = 0
6. x2
+ 8x = 4
7. 4x2
+ 4x = 3
8. x2
- 3x - 8 = 0
9. x2
= 6x – 11
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 4
Laboratorio Gráficas de Cuadráticas
A. Desplazamiento horizontal o vertical
y = x 2
y = x2
+ 2
y = x2
- 3
y = x2
y = (x + 2)2
y = (x – 3)2
y= f(x) y = f(x) + k
Conclusión: La gráfica se traslada ______________verticalmente
y = f(x) y = f(x + h)
Conclusión: La gráfica se traslada ______________horizontalmente
B. Expansión o contracción
y = 2x2
y = 3x2
y = 5x2
y = ½ x2
y = 1/3 x2
y = 1/5 x2
a > 1 La gráfica se ___________ expande
Conclusión: y = af(x)
a < 1 La gráfica se ___________ contrae
C. Reflexión
y = 2x2
y = 3x2
y = 1/3 x2
y = -2x2
y = -3x2
y = -1/3 x2
Conclusión: y= f(x) y = -f(x)
La gráfica se refleja con respecto al ___________eje de x
a. Eje de Simetría
Si y = a ( x – h )2
+ k El eje de simetría es cuando x = h
b. Punto máximo y mínimo
a > 0 hay un punto mínimo
Si y = a ( x – h )2
+ k
a < 0 hay un punto máximo
c. Dominio y Campo de Valores
El dominio de toda gráfica cuadrática son los números reales.
El Campo de Valores: (-∞ , k] si a < 0 ó [k, ∞ ) si a > 0
d. Ceros de la gráfica cuadrática
Los ceros de la gráfica cuadrática son los puntos donde la gráfica toca el eje de x. Éstos ceros se
obtienen cuando igualas la ecuación a 0 y por medio de factorización utilizas la propiedad del cero:
m • n = o si y solo si m = 0 ó n = 0 ( o ambos)
Ejemplo: y = x2
– 6x + 5
Ejercicicios:
A. Determina si la gráfica es cuadrática. Si lo es indica si se desplaza horizontal o verticalmente, si se
expande o se contrae, y si la gráfica queda hacia abajo o hacia arriba comparándola con y = x2
.
a. y = 3
b. 4x – 5y = -24
c. x + y2
= 5
d. x2
+ y2
= 81
e. y = -x2
+ 4
e. y2
– x = 2
f. y = (x – 2)2
+ 3
g. y = x2
– 1
i. y = ½ x + 5
B. Encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo y el campo de
valores para cada gráfica cuadrática
.
a. y = -2(x + 4) 2
- 3
b. y = -(x + 2 ) 2
- 4
c. y = 3( x + 6)2
- 3
d. y = ( x + 5)2
- 7
e. y = 2( x + 5)2
f. y = ½ ( x – 4 ) 2
C. Halla los ceros de cada gráfica cuadrática y encuentra el vértice, el eje de simetría, el
punto máximo o mínimo, el dominio y el campo de valores para cada gráfica cuadrática
a. y = x2
+ 8x - 9
b. y = 1/2 x2
+ 2x + 3
D. Determina las raíces, la simetría, vértice y concavidad de las siguientes funciones
cuadráticas.
a b
Ceros
Vértice
Eje de simetría
Máximo o
mínimo
Dominio
Campo de valores

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Ecuaciones Cuadráticas Y Sus Gráficas

  • 1. Funciones Cuadráticas I. Propiedades de una ecuación cuadrática Forma Standard cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 donde x es una variable y a , b y c son constantes. Forma Vértice: y = a(x – h)2 + k Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola. Vértice: (h, k) II. Solución de una ecuación cuadrática a. Por factoriazación 1. 6x2 – 19x – 7 = 0 2. x2 - 6x + 5 = 0 3. 2x2 = 3x b. Por raíz cuadrada 1. 2x2 – 3 2. 3x2 + 27 = 0 3. (x + ½ )2 = 5/4 c. Completando al cuadrado 1. x2 + 6x – 2 = 0 2. 2x2 –4x + 3 = 0 3. x2 + 8x = 3 d. Por fórmula Cuadrática a acbb x 2 42 −±− = 1. 2x + 3/2 = x2 2. x2 – 5/2 = -3x III. Discriminante y raíces raíces de ax2 + bx + c = 0 a, b y c son reales , a ≠ 0 b2 – 4ac > 0 hay dos raíces reales b2 – 4ac = 0 hay una sola raíz real b2 – 4ac < 0 hay dos raíces imaginarias 1. 2x2 – 3x – 4 = 0 2. 4x2 – 4x + 1 = 0 3. 2x2 – 3x + 4 = 0 Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 1 Más sobre parábolas
  • 2. IV. Aplicaciones Resuelve. a. La suma de un número y su recíproco es 13/6. Encuentre esos números. b. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos núemros. c. Una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje ida y vuelta 36 millas aguas arriba. Si la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora, ¿Cuál es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas? d. Una nómina se puede terminar en 4 horas trabajando en dos computadoras simultáneamente. ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada computadora termine sola si el modelo viejo se tarda 3 horas más que el nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decimales. e. Dos lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a un muelle al mismo tiempo. Una hora antes están separadas 25 millas . Si una de las lanchas viaja 5 millas por hora más rápido que la otra, ¿cuál es la rapidez a la que viaja la segunda? Sugerencia : Teorema de Pitágoras- distancias iguales =tiempos iguales f. Dos carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando trabajan juntos. Uno puede terminar el trabajo 2 horas más rápido que el otro. ¿Cuánto tiempo le toma a uno entregar la correspondencia? Calcule las respuestas don dos cifras decimales. Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 2
  • 3. Ejercicios Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas Por Factorización o Raíz Cuadrada Ejercicios: A. Resuelve cada ecuación por factorización. 1. x2 + 6x + 8 = 0 2. x2 +1 8 = 9x 3. x2 - 2x = 3 4. x2 + 8x = 0 5. 2x2 + 6x = -4 6. 3x2 = 16x + 12 B. Resuelve cada ecuación por raíz cuadrada. 1. 4x2 – 100 = 0 2. x2 – 3- = 10 3. x2 – 9 = 0 C. Resuelve cada ecuación por factorización o por raíz cuadrada. 1. 5x2 = 80 2. x2 + 6x + 5 = 0 3. x2 - 11x + 24 = 0 4. x2 + 4x = 0 5. 12x2 - 154 = 0 6. 6x2 + 4x = 0 7. 2x2 - 5x - 3 = 0 8. x2 + 2x = 6 – 6x 9. 6x2 + 13x + 6 = 0 10. 3x2 + 7x = 9 11. x2 = 8x –7 12. 2x2 + 8x = 5x + 20 13. x2 + 2x – 1 = 0 14. 4x2 - 100 = 0 15. x2 = - 2x + 1 16. x2 – 9 = 0 17. 2x2 + 4x =70 18. x2 - 30 = 10 19. x2 + 4x = 0 20. x2 + 3x + 2 = 0 Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 3
  • 4. Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas Completando al Cuadrado y Fórmula Cuadrática A. Completa al cuadrado. Luego escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio. 1. n2 + 18 n + _____ 2. k2 – k + ____ 3. x2 – 24 x + ____ 4. x2 + 20x + ____ 5. m2 – 3m + ____ 6. x2 + 4x + _____ B. Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado. 1. x2 - 3x = 28 2. x2 - 3x = 4 3. 6x - 3x2 = -12 4. –d2 – 2d = 5 5. x2 + 6x + 41 = 0 6. t2 – 2t = -2 7. w2 – 8w – 9 = 0 8. t2 + 4 = 0 9. 2p2 = 6p – 20 10. 3x2 - 12x + 7 = 0 11. t2 + 6t = -22 12. 4c2 + 10c = -7 C. Re-escribe la ecuación en forma y = a(x – h)2 + k 1. y = x2 -+ 4x – 7 2. y = -x2 + 4x - 1 3. y = -2 x2 + 6x + 1 4. y = ½ x2 - 5 + 12 5. y = - 1/5 x2 = 4/5 x + 11/5 6. y = x2 + 4x + 1 7. y = -4x2 - 5x + 3 8. y = 2x2 - 8x + 1 9. y = -x2 - 2x + 3 D. Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática. 1. 2x2 + 8x + 12 = 0 2. 3x2 + 2x -1 = 0 3. -x2 + 5x -7 = 0 4. x2 - 4x + 3 = 0 5. x2 = 3x – 1 6. x2 = 2x – 5 7. 9x2 + 12x - 5 = 0 8. x ( x – 5) = -4 9. x2 - 6x + 11 = 0 10. x2 + 6x - 5 = 0 11. x2 - 2x + 3 = 0 12. x2 + 10x = -25 E. Evalúa el discriminante de cada ecuación. Determina cuántas soluciones hay y si la(s) solucion(es) son reales o complejas. 1. x2 + 4x + 5 = 0 2. x2 - 4x - 5 = 0 3. 4x2 + 20x + 25 = 0 4. 2x2 + x + 28 = 0 5. 2x2 + 7x -15 = 0 6. 6x2 - 2x + 5 = 0 7. 2x2 + 7x = -6 8. x2 -+12x + 36 = 0 9. x2 = 8x - 16 F. Resuelve cada ecuación utilizando cualquier método estudiado. Cuando sea necesario redondea la solución a la centésima más cercana. Para soluciones complejas, escribe la solución exacta. 1. x2 = 11x – 10 2. 2x2 + 4x = 10 3. –3x2 + 147 = 0 4. 5x2 =210 x 5. x2 - 2x + 2 = 0 6. x2 + 8x = 4 7. 4x2 + 4x = 3 8. x2 - 3x - 8 = 0 9. x2 = 6x – 11 Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 4
  • 5. Laboratorio Gráficas de Cuadráticas A. Desplazamiento horizontal o vertical y = x 2 y = x2 + 2 y = x2 - 3 y = x2 y = (x + 2)2 y = (x – 3)2 y= f(x) y = f(x) + k Conclusión: La gráfica se traslada ______________verticalmente y = f(x) y = f(x + h) Conclusión: La gráfica se traslada ______________horizontalmente B. Expansión o contracción y = 2x2 y = 3x2 y = 5x2 y = ½ x2 y = 1/3 x2 y = 1/5 x2 a > 1 La gráfica se ___________ expande Conclusión: y = af(x) a < 1 La gráfica se ___________ contrae C. Reflexión y = 2x2 y = 3x2 y = 1/3 x2 y = -2x2 y = -3x2 y = -1/3 x2 Conclusión: y= f(x) y = -f(x) La gráfica se refleja con respecto al ___________eje de x a. Eje de Simetría Si y = a ( x – h )2 + k El eje de simetría es cuando x = h b. Punto máximo y mínimo a > 0 hay un punto mínimo Si y = a ( x – h )2 + k a < 0 hay un punto máximo c. Dominio y Campo de Valores El dominio de toda gráfica cuadrática son los números reales. El Campo de Valores: (-∞ , k] si a < 0 ó [k, ∞ ) si a > 0
  • 6. d. Ceros de la gráfica cuadrática Los ceros de la gráfica cuadrática son los puntos donde la gráfica toca el eje de x. Éstos ceros se obtienen cuando igualas la ecuación a 0 y por medio de factorización utilizas la propiedad del cero: m • n = o si y solo si m = 0 ó n = 0 ( o ambos) Ejemplo: y = x2 – 6x + 5 Ejercicicios: A. Determina si la gráfica es cuadrática. Si lo es indica si se desplaza horizontal o verticalmente, si se expande o se contrae, y si la gráfica queda hacia abajo o hacia arriba comparándola con y = x2 . a. y = 3 b. 4x – 5y = -24 c. x + y2 = 5 d. x2 + y2 = 81 e. y = -x2 + 4 e. y2 – x = 2 f. y = (x – 2)2 + 3 g. y = x2 – 1 i. y = ½ x + 5 B. Encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo y el campo de valores para cada gráfica cuadrática . a. y = -2(x + 4) 2 - 3 b. y = -(x + 2 ) 2 - 4 c. y = 3( x + 6)2 - 3 d. y = ( x + 5)2 - 7 e. y = 2( x + 5)2 f. y = ½ ( x – 4 ) 2 C. Halla los ceros de cada gráfica cuadrática y encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo, el dominio y el campo de valores para cada gráfica cuadrática a. y = x2 + 8x - 9 b. y = 1/2 x2 + 2x + 3 D. Determina las raíces, la simetría, vértice y concavidad de las siguientes funciones cuadráticas. a b Ceros Vértice Eje de simetría Máximo o mínimo Dominio Campo de valores
  • 7. a. 4x2 + 4x =-3 b. 5x2 =10 x c. -x2 + 3x =- 4 contestaciones Función Cuadrática. Características Una función de la forma estándar: f (x) = a x ² + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta. Raíces Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en: a b c Raíces Eje de simetría Vértice concavidad
  • 8. Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces ax² + bx +c = 0 Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula: al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades: Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles. Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.
  • 9. Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación: 1er caso: ax2 + bx = 0 2do caso: ax2 + c = 0 Simetría La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea Vértice El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale: Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función. En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación). Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:
  • 10. Concavidad Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa: También suele decirse que: Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba. Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.