Este documento explica cómo calcular los máximos y mínimos de una función. Se deriva la función, se iguala a cero para encontrar los valores de x, se deriva por segunda vez para determinar si es un máximo o un mínimo, y finalmente se sustituyen los valores de x en la función original para encontrar los valores de y. Como ejemplo, calcula los máximos y mínimos de la función y = 1⁄3 x3 - x2 -15 x +2, encontrando un mínimo en x=5 e y=-56.33 y un máximo en x=-3 e y=29

1. Máximos y mínimos
●●●● Ejemplo 1 ●●●●●
Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función: y = ⅓ x³ - x² -15 x +2
1er paso: se deriva la función : y´ = x² – 2x – 15
2º paso: la función derivada se iguala a cero: x² – 2x – 15 = 0
3er paso: se calculan los valores de x: ( x – ) ( x + ) = 0
Los signos de los factores son diferentes, por tanto buscamos dos números que restados den 2 y
que multiplicados den 15 ; los números son 5 y 3, el número mayor lo colocamos en el 1er
paréntesis: ( x – 5 ) ( x + 3 ) = 0 ;
4º paso: los valores de x son:
x – 5 = 0 ; por tanto x = 5
x + 3 = 0 ; por tanto x = – 3 Continua en la siguiente diapositiva

2. Máximos y mínimos
5º paso: Se deriva por segunda vez la función derivada: y´ = x² – 2x – 15
y´´ = 2x – 2
6º paso: se sustituyen los valores de x en la segunda derivada:
y´´ ( 5 ) = 2(5) – 2 = 8 ; el resultado positivo indica que en x = 5 se tiene un mínimo
y´´ ( – 3 ) = 2(– 3 ) – 2 = – 8 ; el resultado negativo indica que en x = – 3 se tiene un máximo
La gráfica obtenida es la siguiente:
Los valores de “y” se calculan sustituyendo
x = 5, x = – 3 en la función original:
y(5) = ⅓ (5)³ - (5)² -15 (5) + 2 = – 56.33
y(– 3) = ⅓ (– 3)³ - (– 3 )² -15 (– 3) + 2 = 29

3. Máximos y mínimos
●●●●● Ejercicio 1 ●●●●●
Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función: y = ⅓ x³ + 3x² − 27 x + 8
Dibuje la gráfica correspondiente.