DOCUMENTO

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI

2. Programación
lineal
Semana 36

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑥𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
George Bernard Dantzig fue un profesor de computación, físico y
matemático estadounidense.
Dantzig fue galardonado a diversos premios como, el premio de Teoría John
Von Neumann, por su trabajo sobre programación lineal. Falleció en 2005
por diabetes, a la edad de 90 años.
Cierto día, cuando estudiaba en la Universidad de Berkeley, Dantzig llegó
tarde a clase y se encontró en la pizarra dos problemas estadísticos que el
profesor había puesto como ejemplos de problemas aún no resueltos, pero
él pensó que eran problemas de clase.
Aunque le costó más de lo que esperaba, finalmente encontró la solución ya
que al ser trabajos de clase pensó que la solución debía ser asequible.
Dantzig entregó los ejercicios pensando que los entregaba fuera de plazo.
Pocos días después, el profesor le visitó para anunciarle que lo que había
resuelto no eran ejercicios de clase sino problemas que nadie había
conseguido resolver y le propuso publicar una de sus soluciones en una
revista científica.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Nociones previas:
Necesitaremos graficar una sistemas de inecuaciones lineales
Ejemplo: Graficar
ቐ
𝑥 + 𝑦 ≤ 5
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦
0 5
5 0
𝑥 + 𝑦 = 5
5
5
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦
0 4
6 0
2𝑥 + 3𝑦 = 12
4
6
Esta condición genera que la gráfica
resulte solo en el primer cuadrante
Finamente interceptamos todas las gráficas y consideramos la
condición de 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
𝑦
𝑥
5
5
4
6

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Estructura de un problema de
programación lineal (bidimensional)
C U R S O D E Á L G E B R A
En un problema de programación lineal se quiere minimizar
o maximizar una función lineal (de dos variables ).
Máx. o Mín.: 𝑓𝑥;𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 función
objetivo
Sujeto a restricciones lineales (sistema de inecuaciones
lineales de dos variables )
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≤ 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≥ 𝑐2
⋮
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 ≤ 𝑐𝑛
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Sujeto a
(s.a.)
Condición de no negatividad
Su gráfica es la
región factible
Ejemplos:
Máx.: 𝑓𝑥;𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦
s.a.
ቐ
𝑥 + 𝑦 ≤ 5
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Mín.: 𝑓𝑥;𝑦 = 5𝑥 + 2𝑦
s.a.
ቐ
𝑥 + 𝑦 ≥ 5
𝑥 + 3𝑦 ≥ 6
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
5
5
4
6
𝑦
𝑥
Región factible
acotada
5
5
2
6
𝑦
𝑥
Región factible
no acotada
Nota : • La región factible (acotada o no acotada) es
convexa.
Vértices
• Los vértices (llamados puntos extremos), en
la región factible hay una cantidad finita.

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑦
𝑥
C U R S O D E Á L G E B R A
Observación :
Puntos notables
𝑦
𝑥
Puntos extremos
Punto interior
Punto frontera
• Un punto extremo también es punto frontera.
• Cualquier punto de la región factible, es
llamado punto factible o punto adherente.
Definiciones :
• Solución óptima = es aquel punto perteneciente
a la región factible que maximiza o minimiza la
función objetivo.
• Valor óptimo = es el máximo o mínimo valor que
adquiere la función objetivo .
Teorema fundamental de un
problema de programación lineal
• Si la región factible (≠ ∅) es acotada , entonces la
función objetivo alcanza su máximo o mínimo valor
en un vértice (punto extremo).
• Si el mínimo o máximo de la función objetivo ocurre
en dos puntos extremos consecutivos, entonces
asumirá el mismo valor en lado que une dichos
puntos
A B
C
D
Máx. o Mín. de 𝑓𝑥;𝑦
ocurre en A,B,C o D.
R.F.
acotada
𝑦
𝑥
A B
D
E
C
Si 𝑓𝐷 = 𝑓𝐶 = mín𝑓
→ mín𝑓 = 𝑓𝑝 ; ∀𝑝 ∈ 𝐷𝐶
Infinitas
soluciones
óptimas

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
10
12
Ejemplo: Resuelva el siguiente problema
C U R S O D E Á L G E B R A
Máx.: 𝑓𝑥;𝑦 = 6𝑥 + 3𝑦
s.a.
ቐ
𝑥 + 𝑦 ≤ 10
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Resolución:
Paso 1 Graficar la región factible y determinar las
coordenadas de los puntos extremos
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦
0 10
10 0
𝑥 + 𝑦 = 10
10
10
𝑦
𝑥
𝑥 𝑦
0 8
12 0
2𝑥 + 3𝑦 = 24
8
12
Intersectando las regiones anteriores, con la condición de no
negatividad
10
8
𝑦
𝑥
𝑥 + 𝑦 = 10
2𝑥 + 3𝑦 = 24
3 3 30 −
𝑥 = 6
𝑦 = 4
Hallando las coordenadas de los vértices
A
B
C
D
Paso 2 Evaluamos la función objetivo en los vértices
𝑓𝐴 = 𝑓0;0 = 0
𝑓𝑥;𝑦 = 6𝑥 + 3𝑦
𝑓𝐵 = 𝑓10;0 = 60
𝑓𝐶 = 𝑓6;4 = 48
𝑓𝐷 = 𝑓0;8 = 24
máximo
∴ Máx.: 𝑓𝑥;𝑦 = 𝑓10;0 = 60
Solución
óptima
Valor
óptimo

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo: Determine la solución o soluciones óptimas
C U R S O D E Á L G E B R A
Mín.: 𝑓𝑥;𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 + 10
s.a.
Resolución:
Paso 1 Graficar la región factible y determinar las
coordenadas de los puntos extremos
𝑦
𝑥
-2
7
Τ
14 3
−1
2
2
𝑦 ≤ 𝑥 + 2
𝑥 + 𝑦 ≥ 2
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 14
𝑥 − 2𝑦 ≤ 2
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Hallemos los puntos extremos
A
B
C
D
Hallando D:
𝑦 = 𝑥 + 2
3𝑥 + 2𝑦 = 14
3𝑥 + 2 𝑥 + 2 = 14
→ 𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 4
Hallando C:
𝑥 − 2𝑦 = 2
3𝑥 + 2𝑦 = 14
4𝑥 = 16
→ 𝑥 = 4 ∧ 𝑦 = 1
+
D= 2; 4 C= 4; 1
Paso 2 Evaluamos la función objetivo en los puntos extremos
𝑓𝐴 = 𝑓0;2 = 4
𝑓𝑥;𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 + 10
𝑓𝐵 = 𝑓2;0 = 16
𝑓𝐶 = 𝑓4;1 = 19
𝑓𝐷 = 𝑓2;4 = 4
mínimo
mínimo
Significa que presenta infinitas
soluciones óptima, que están
contenido en el segmento AD
∴ Conjunto de las soluciones óptimas, es el siguiente:
AD = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/ 𝑦 = 𝑥 + 2 ∧ 𝑥 ∈ 0; 2

10. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e