Presentación_ Marco general de las contrataciones públicas.pdf
tema 5.pdf
1. FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES
SESIÓN 5: Intervalos de confianza para dos poblaciones
Normales independientes
CAPACIDAD:
Identifica, analiza y aplica los diferentes modelos de estimación de parámetro
puntual y por intervalos
1. Intervalos de confianza para dos poblaciones normales
independientes: Se muestrean dos poblaciones normales para estimar los
parámetros “comparativamente”
Se desean estimar comparativamente los parámetros de ambas poblaciones
2. Intervalos de confianza para la diferencia de medias
Varianzas poblacionales conocidas
Estimador: T = X −Y
2.
3. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Se están utilizando normalmente en una granja avícola dos tipos de piensos compuestos
A y B. Queriendo comparar la media de engorde con ambos piensos, para un nivel de
confianza del 90 %, se alimentan a 20 aves durante cierto tiempo con el pienso A
obteniéndose una ganancia media de peso de 0.4 Kgr por ave. Simultáneamente a otras
19 aves se les alimenta con el pienso B y se obtiene un engorde medio de 0.5 Kgr. Se
conoce por experiencias previas que las variables objeto de estudio, engorde con cada uno
de los piensos, son normales con varianzas de 0.05 para el pienso A y 0.1 para pienso B.
Estimar la diferencia de engorde medio.
6. 5. Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones, con n1 y n2
grandes
[𝒑
̂𝟏 − 𝒑
̂𝟐 − 𝒁∝
𝟐
⁄ √(
𝒑
̂𝟏 ∗ 𝒒
̂𝟏
𝒏𝟏
) + (
𝒑
̂𝟐 ∗ 𝒒
̂𝟐
𝒏𝟐
); 𝒑
̂𝟏 − 𝒑
̂𝟐 + 𝒁∝
𝟐
⁄ √(
𝒑
̂𝟏 ∗ 𝒒
̂𝟏
𝒏𝟏
) + (
𝒑
̂𝟐 ∗ 𝒒
̂𝟐
𝒏𝟐
) ]
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1.- En el departamento de control de calidad de una empresa, se quiere determinar si ha
habido un descenso significativo de la calidad de su producto entre las producciones de dos
semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana.
Deciden tomar una muestra de la producción de cada semana, si la calidad de cada artículo
se mide en una escala de 100, obtienen los resultados siguientes:
SEMANA
1
93 86 90 90 94 91 92 96
SEMANA
2
93 87 97 90 88 87 84 93
Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos producciones son iguales,
construye un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de 95%.
Interpreta los resultados obtenidos.
SOLUCIÓN: En primer lugar, observamos que se disponen de dos poblaciones, la primera
corresponde a la producción de la primera semana mientras que la segunda corresponde
a la de la segunda semana. En este sentido, introducimos las dos variables X1 que mide la
puntuación de calidad de un artículo de la primera semana, y X 2 para la segunda. Además,
en el caso en el que las varianzas en las dos poblaciones son desconocidas pero iguales,
X1 y X 2 se asumen normales e independientes, utilizamos el estadístico:
a) Se halla la media aritmética de cada semana,
Primera semana
a)𝑥̅ =
732
8
𝑥̅ = 91,5
b) 𝑠2
=
46
7
𝑠2
= 6,57
xi fi xi * fi 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥)
̅̅̅2
93 1 93 2,25
86 1 86 30,25
90 1 90 2,25
90 1 90 2,25
94 1 94 6,25
91 1 91 0,25
92 1 92 0,25
96 1 96 20,25
TOTAL 8 732 46
8. [𝟗𝟏, 𝟓 − 𝟖𝟗, 𝟖𝟖 − 𝟐, 𝟓𝟏√
𝟕 ∗ 𝟔, 𝟓𝟕 + 𝟕 ∗ 𝟏𝟕, 𝟖𝟑
𝟖 + 𝟖 − 𝟐
√
𝟖 + 𝟖
𝟖 ∗ 𝟖
; 𝟗𝟏, 𝟓 − 𝟖𝟗, 𝟖𝟖
+ 𝟐, 𝟓𝟏√
𝟕 ∗ 𝟔, 𝟓𝟕 + 𝟕 ∗ 𝟏𝟕, 𝟖𝟑
𝟖 + 𝟖 − 𝟐
√
𝟖 + 𝟖
𝟖 ∗ 𝟖
]
[−3,26 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 5,50]
RESPUESTA
Entonces la diferencia de las medias poblacionales se encuentra comprendido entre
[−3,26; 5,50]
Con un nivel de con fianza del 95%
2. Se quiere saber si la proporción de mujeres zurdas en ITSON (P1P1) difiere o no de la
proporción de varones zurdos en ITSON (P2P2).
Para poder responder a ese cuestionamiento deben seleccionarse muestras aleatorias de
hombres y mujeres. Suponga que se seleccionaron 200 varones y 220 mujeres de los
cuales 20 varones y 24 mujeres resultaron ser zurdos. Con una confiabilidad del 95%
a) Hallando la proporción de mujeres y varones zurdos
𝑝̂𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 =
24
220
𝑝̂𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 = 0,11
𝑝̂𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 =
20
200
𝑝̂𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0,10
b) Hallando la diferencia de proporciones:
[𝒑
̂𝟏 − 𝒑
̂𝟐 − 𝒁∝
𝟐
⁄ √(
𝒑
̂𝟏 ∗ 𝒒
̂𝟏
𝒏𝟏
) + (
𝒑
̂𝟐 ∗ 𝒒
̂𝟐
𝒏𝟐
); 𝒑
̂𝟏 − 𝒑
̂𝟐 +
𝒁∝
𝟐
⁄ √(
𝒑
̂𝟏 ∗ 𝒒
̂𝟏
𝒏𝟏
) + (
𝒑
̂𝟐 ∗ 𝒒
̂𝟐
𝒏𝟐
) ]
P1= mujeres; p2= varones
9. [0,11 − 0,10 − 1,95√
(0,11 ∗ 0,89)
220
+
(0,10 ∗ 0,90)
200
; 0,11 − 0,10
+ 1,95√
(0,11 ∗ 0,89)
220
+
(0,10 ∗ 0,90)
200
]
[−0,05 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 0,07]
[−5%; 7%]
RESPUESTA:
Entonces. El intervalo va de -0.05 a 0.07 o de -5.0% hasta 7,0%. Note que el 0 (cero) está
contenido en el intervalo, por lo que se puede decir que: Al 95% de confianza, la proporción
de mujeres zurdas y la proporción de hombres zurdos de ITSON es la misma.
Note que la conclusión fue hecha considerando a la población
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. La proporción de votantes a favor del candidato A es mayor que la proporción de votantes
del candidato B? Use 95% de confianza para responder.
Suponga que en una muestra de 1000 personas, 340 dijeron que votarían por A. En otra
muestra de 1000 personas 450 dijeron que votarían por B.
Con el nivel de confianza del:
a)95%
b)99%
c) 98%
2) En una muestra de 100 pacientes sometidos a un cierto tratamiento (A) se obtienen 80
curaciones y en otra muestra de 100 pacientes sometidos a otro tratamiento (B) se obtienen
90 curaciones.
Calcular e interpretar el intervalo de confianza del 95% de la diferencia de proporciones de
pacientes que mejoran (P). Después de construir el intervalo diga cuál es el mejor
tratamiento.
3) En el departamento de control de calidad de una empresa, se quiere determinar si ha
habido un descenso significativo de la calidad de su producto entre las producciones de dos
semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana.
10. Deciden tomar una muestra de la producción de cada semana, si la calidad de cada artículo
se mide en una escala de 100, obtienen los resultados siguientes:
EMPRESA
UNO
93 86 90 90 94 91 92 96
EMPRESA
DOS
93 87 97 90 88 87 84 93
a) Nivel de confianza 96%
b) Nivel de significancia 1%
4) En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por una empresa, se encontraron 21
defectuosas. Mientras que de 500 pilas tipo C 10 fueron defectuosos. Estime con un
intervalo del 99% de confianza la diferencia de proporciones de pilas defectuosas y diga en
cuál tipo hay más proporción de pilas defectuosos.
5) Se observa la eficiencia de dos departamentos asignándole a cada uno de ellos diez
tareas y midiendo su rendimiento en ellas. Los resultados están a continuación:
Departamento1: 0,6; 1,2; 0,9 ;1,9; 2; 0,6; 0,9; 2; 0,8; 1
Departamento2: 0,4; 1,3; 1,1; 2,1; 1,9; 0,5 ;1,1; 1,7; 0,8; 1,1
Suponiendo las puntuaciones como variables normales, determinar un intervalo de
confianza de 0.9 para la diferencia media de eficiencia.
6) De una muestra aleatoria de 12 licenciados en Administración en una Universidad
pública, los sueldos de su primer empleo fueron los siguientes (expresados en miles de
dólares)
26,2; 29,3; 31,3; 28,7; 27,4; 25,1; 26,0; 27,2; 27,5; 29,8; 32,6; 34,6
De otra muestra aleatoria independiente de 10 licenciados en Administración en una
Universidad privada los primeros sueldos fueron los siguientes:
25,3; 28,2; 29,2; 27,1; 26,8; 26,5; 30,7; 31,3; 26,3; 24,2
Discutir si existen diferencias entre los sueldos de los licenciados de Universidades públicas
y privadas.
7) El gasto diario en llamadas telefónicas de dos departamentos X e Y de una misma
empresa sigue una distribución normal, con gasto medio desconocido en ambos. Sin
embargo, se conocen las desviaciones típicas, que son 100 y 110 céntimos de euro para X
e Y, respectivamente. La dirección ha observado que una muestra aleatoria de 20 días, el
gasto medio diario en llamadas realizadas por el departamento X ha sido de 1100 céntimos,
y de 1400 en el departamento Y. Obtener un intervalo de confianza para la diferencia de
gastos medios entre ambos departamentos, al 90% de confiabilidad.
CONCLUSIÓN
• Cuando el intervalo de confianza no cubre el 0 por 100, significa que existe
diferencia significativa con respecto a la variable.
11. • Como el intervalo de confianza es negativo, se deduce que el gasto medio en
llamadas telefónicas del departamento Y es superior al del departamento X, con un
nivel de confianza.
• El intervalo no cubre el cero, concluyendo que existe diferencia significativa entre
la vida media de cada esquema, siendo mayor la vida media del segundo esquema
con una fiabilidad del 1-α
