El documento presenta los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea de primer orden mediante el algoritmo homogéneo. Se explica cada paso del algoritmo y se resuelve un ejercicio aplicando los pasos de manera detallada, obteniendo una expresión para la solución de la ecuación diferencial dada.

1. Msc. Juan Carlos Briceño
Asignatura: Matemática III
Ejercicio Resuelto de Ecuación
Homogénea
y’ + P(x)y = Q(x)

2. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuaciones Homogénea
Son ecuaciones de la forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que
será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.
Aplicar el criterio de homogeneidad.
Para ello basta con:
•Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy con N(x,y).
•Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:
1. M(kx,ky)= knM(x,y)
2. N(kx,ky)= knN(x,y)
Nota nº 1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales
y tanto M(x,y) como N(x,y), no quedan afectados del factor k.

3. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
iii.) Hacer el siguiente cambio de variable: y = vx (I)
iv.) Derivar (I), obteniéndose: dy = vdx + xdv (II)
v.) Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.
vi) Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.
vii.)Aplicar el método de Variables Separables.
Ecuaciones Homogénea

4. Msc. Juan Carlos Briceño
Sugerencia
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
5
5
dy x y
dx x y



Revisemos como realizar este tipo de ejercicios, en tal sentido
propongamos el siguiente:
Nota: Detalla paso por paso, pero recuerda
que es importante que al final, trates de
resolverlo tu solo, esto te permitirá recordar
los pasos del Algoritmo Homogéneo.

5. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Por tal motivo, es necesario despejar:
Esto es:
Resolviendo queda:
Sin embargo, observa que este signo
es negativo, por lo que cambiaremos todo lo de adentro
del paréntesis para que quede como la forma en la parte superior
Ecuaciones Homogénea
El primer paso que debes aplicar es tratar de escribir el ejercicio
anterior de la forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
5
5
dy x y
dx x y



   5 5x y dy x y dx  
   5 5 0x y dy x y dx   
   5 5 0x y dy x y dx    

6. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
En base a las operaciones anteriores, ya tenemos la forma:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 , esto es:
Ahora bien, comprobemos que M(x,y) y N(x,y) son homogéneos,
para ello apliquemos los pasos 1 y 2, lo que implica introducir la constante k
Por lo tanto, la ecuación es homogénea
Ecuaciones Homogénea
   5 5 0x y dy x y dx    
Donde M(x,y) = 5x + y y N(x,y) = – x – 5y
M(kx,ky) = 5kx + ky y N(kx,ky) = – kx – 5ky
= k . (5x + y) y = k.(– x – 5y)
= k . M(x,y) y = k . N(x,y)

7. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
A continuación apliquemos el paso iii, que se expone en la lamina 3, esto es:
Sustituyendo en:
Nos queda
Ecuaciones Homogénea
Hacer el siguiente cambio de variable: y = vx
Luego vamos al paso iV, que es lo anterior:
Resultando: dy = vdx + xdv
   5 5 0x y dy x y dx    
    5 5 0x vx vdx xdv x vx dx     
Observa bien el
siguiente paso
en el cual
debemos aplicar
la distributiva.

8. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Distribuyendo
Aplicamos potencia en aquellos factores con igual base:
Ecuaciones Homogénea
(5x + vx).(vdx + xdv) + (– x – 5vx )dx = 0
5xvdx + 5xxdv + vx.vdx + vx xdv – xdx – 5vxdx = 0Nos queda:
2 2 2
5 5 5 0xvdx x dv v xdx vx dv xdx vxdx     
Agrupamos en dos paréntesis los términos semejantes, en este caso con respecto a dx y otro
a dv, para luego seguir el paso vii de Aplicar el método de Variables Separables
   2 2 2
5 0x dv vx dv v xdx xdx   
Observa que tenemos dos términos semejantes con signos opuestos, por lo que simplificamos
Esto es:
2 2 2
5 0x dv v xdx vx dv xdx   

9. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Sacando Factor común
Ecuaciones Homogénea
Despejando:
   2 2
5 1 0v x dv v xdx   
Agrupando la variable
Con su respectiva derivada
   2 2
5 1v x dv v xdx   
 
  22
5
1
v x
dv dx
xv


 
Simplificamos
términos
semejantes
Integrando
En ambos lados:
 
 2
5 1
1
v
dv dx
xv

 
 
Integrando
La parte derecha queda:
1
lndx x c
x
  (I)

10. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Resolvamos por separado las dos integrales anteriores:
Donde u: es la
variable y
a: la constante
Observa que se separo la integral
en dos fracciones con el mismo
denominador
Ecuaciones Homogénea
 
  2 22
5 5
1 11
v v
dv dv dv
v vv
  
       
  
Integrando la parte izquierda queda:
2 2
5 1
5
1 1
dv dv
v v

  
Observa que la expresión integral de la derecha
corresponde al teorema:
2 2
1 1
2
u a
dv Ln
u a a u a


 
2
1 1
5.
2 1
v
Ln c
v
 
   
Toma en cuenta que u: en este caso es v
a: en es te caso es 1, recuerda que uno se
puede escribir como:
2
1 1
2
5 1
5
2 1
v
Ln c
v

 

(II)

11. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
2
1
v
dv
v 
Ecuaciones Homogénea
En este caso, aplicamos cambio de variable en el denominador,
Digamos :
2
1u v 
Derivando: 2du vdv
2
1
.
1 2
v du
dv
v u

  2
du
vdv
1 1
.
2
du
u
 
 3
1
2
Ln u c 
2
3
1 1
1
2 2
Ln v c   2
1u v 
Regresando el cambio de variable:
Aplicamos propiedad distributiva:
(III)

12. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuaciones Homogénea
Uniendo las soluciones de (II) y (III) en la
Por lo tanto, en base a esta última operación la integral original planteada:
Cambiamos el signo de
todos los términos
2
2 3
5 1 1 1
5 1
2 1 2 2
v
Ln c Ln v c
v
 
       
 
  2 22
5 5
1 11
v v
dv dv dv
v vv
  
       
  
2
2 3
5 1 1 1
5 1
2 1 2 2
v
Ln c Ln v c
v

     

 
 2
5 1
1
v
dv dx
xv

 
 

13. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuaciones Homogénea
Es decir, uniendo todas las soluciones de (I), (II) y (III) en la integral original:
2
2 3
5 1 1 1
5 1 ln
2 1 2 2
v
Ln c Ln v c x c
v

      

 
 2
5 1
1
v
dv dx
xv

 
 
Como puedes observar queda una expresión bastante
extensa a la cual pudiéramos simplificar aplicando
propiedades de logaritmo, sin embargo lo importante es
que se transformo la ecuación diferencial a una función.

14. Msc. Juan Carlos Briceño
Recuerda revisar detalladamente el ejercicio y
sobre todo reforzar aquellos conocimientos
relacionado con teoremas y propiedades de
integrales y de matemática de bachillerato, pues
de lo contrario será difícil que puedas desarrollar
estos ejercicios.

15. Msc. Juan Carlos Briceño
FIN