Análisis Numérico -Definición -Importancia -Número de Máquina -Errores Absoluto y relativo -Fuentes de error -Exactitud y Precisión -Propagación del error (SUMA y RESTA)

1. Análisis Numérico
Actividad Nro. 1
Daniel Hernández Pulido
Prof. Domingo Méndez
SAIA A - UFT

2. Análisis Numérico
Definición
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es
posible formular problemas matemáticos de tal forma que
puedan resolverse usando operaciones aritméticas
Rama de las matemáticas la cual, mediante el uso de
algoritmos iterativos, obtiene soluciones numéricas a
problemas en los cuales la matemática simbólica, resulta
poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una
solución.
Es la rama de las matemáticas encargada de
diseñar algoritmos para, a través de números y reglas
matemáticas simples, simular procesos matemáticos más
complejos aplicados a procesos del mundo real.

3. Análisis Numérico
Importancia
Aumenta nuestra habilidad para entender esquemas
numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de
ingeniería y científicos en una computadora, reducir
esquemas numéricos básicos, escribir algoritmos para
resolverlos mediante el uso de sistemas computarizados,
también amplia nuestra capacidad matemática y la
comprensión de los principios científicos básicos.

4. Análisis Numérico
Número de máquina
Número de máquina:
Ya que los métodos de computo actuales utilizan el sistema
binario, es decir, 0 y 1, el número de maquina representado
en el análisis numérico es de base 2, el de menos cantidad
de dígitos pero para representar decimales necesita mas
lugares.
Número Máquina Decimal
"Son aquellos números cuya representación viene dada de
la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£
dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";

5. Análisis Numérico
Errores absoluto y relativo
Error Absoluto: de cada medida será la diferencia entre
cada una de las medidas y el valor tomado como exacto
(media aritmética).
Ea = |Medida real – Valor exacto|
Error Relativo: de cada medida será el error absoluto de la
misma dividido entre el valor tomado como exacto(media
aritmética).
E r = | Medida real- Valor exacto| / Medida real
% de error = Er . 100

6. Análisis Numérico
Fuentes de error
Truncamiento:
Asociado a la substitución de procesos infinitos por
procesos finitos, tales como el truncamiento de series, el
uso se sumas limitadas para el cálculo de integrales o el uso
de diferencias finitas para el cálculo de derivadas. Los
errores de truncamiento causan inexactitud de los
resultados.
Redondeo:
Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las
operaciones (cifras significativas). Su mayor peligro radica
en su tendencia a acumularse.

7. Análisis Numérico
Exactitud y Precisión
Exactitud:
La exactitud es lo cerca que el resultado de una medición
está del valor verdadero.
Precisión:
La precisión es lo cerca que los valores medidos están unos
de otros.

8. Análisis Numérico
Propagación del error (suma y resta)
Existe una propagación en los errores cuando al realizar
operaciones con números que ya tienen errores y que por
su naturaleza y las operaciones generan nuevos errores.
Normalmente se efectúan en las operaciones aritméticas,
(no importa cual sea su origen).

9. Análisis Numérico
Propagación del error SUMA
Error absoluto
X = X + Ex X+Y = (X+Ex) + (Y+Ey)
Y = Y + Ey X+Y = (X+Y) + (Ex+Ey)
(X+Y)-(X+Y) = Ex + Ey
Ex+y = Ex + Ey
Error relativo
Erx+y = Ex+y = Ex + Ey
X+Y X + Y

10. Análisis Numérico
Propagación del error RESTA
Error absoluto
X – Y = (X+Ex) – (Y+Ey)
X – Y = (X – Y ) + (Ex-Ey)
( X – Y ) – ( X – Y ) = Ex – Ey
Ex-y = Ex – Ey
Error relativo
Erx-y = Ex-y = Ex-Ey
X – Y X – Y