Función de primer grado

1. Función de Primer Grado

2. ¿Cómo resolvemos un problema?
El proceso de resolución de problemas requiere
capacidad de transferir experiencias pasadas a
situaciones nuevas, para lo cual es necesario:
Analizar la nueva situación.
Determinar relaciones.
Seleccionar, entre los principios y
conceptos conocidos, aquellos que sirven
para resolverlas.
Aplicar convenientemente estos conceptos
y principios.

3. COMPRENDER el problema: establecer
datos, incógnitas, saber distinguir lo importante
de lo superfluo.
CONCEBIR un plan: que permita, con los
recursos disponibles, encontrar la solución al
problema.
EJECUTAR el plan.
EXAMINAR la solución obtenida.
ELABORAR CONCLUSIONES: la solución que
se acepta o rechaza permite llegar a una
conclusión, la que resuelve el problema y
determina el comienzo de una nueva
investigación.

4. La función como modelo
Una pileta de lona contiene 300 litros de agua. Se
comenzó a vaciar a razón de 15 litros de agua por
minuto.
a) Encuentre la ley que describe la cantidad de
agua que permanece en la pileta.
b) Grafique la función.
c) ¿En cuánto tiempo se vaciará la pileta?
d) ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando a la
pileta le quedan 120 litros?

5. tiempo Volumen
0 300 V(t) = 300 – 15.t
1 300–15.1= 285
2 300–15.2= 270 t x
3 300–15.3= 255
4 300–15.4= 240
.... ..... V(x) = 300 – 15.x
t 300–15.t

6. +2
tiempo Volumen –30
+2
+1 0 300 –15
1 285 –30
+1 –15
2 270
3 255
4 240
.... .....
–15 = –30 = –15 = ∆y
1 2 ∆x

7. ∆y = –15 = –15 pendiente m = –15
∆x 1
(0, 300) ∈ recta ordenada al origen
h = 300

8. c) ¿En cuánto tiempo se vaciará la pileta?
V(x) = 300 – 15.x
300 – 15.x = 0
300 = 15.x
300 = x ⇒ x = 20
15
A los 20 minutos la pileta estará vacía.

9. x = 20 cero o raíz de la función.

10. d) ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando a la
pileta le quedan 120 litros?
V(x) = 300 – 15.x
120 = 300 – 15.x
120 – 300 = –15.x
–180 = x ⇒ x = 12
–15
A los 12 minutos a la pileta le quedarán 120 litros.

11. V(x) = 300 – 15.x
120 P(12, 120)
12
P(12, 120) ∈ recta

12. Definición: f: R R
x mx + h (m ∈ R, h ∈ R)
o bien: f: R R / y = mx + h
pendiente ordenada al origen
∆y
m= P(0, h)
∆x
Representación gráfica: una recta

13. Represente: y=3 x+4
2
h=4
P(0, 4) ∈ recta
+3 m= 3 = ∆y
2 ∆x
+2
Si m > 0
y = mx + h
es creciente

14. Represente: y = –4 x + 7
3
h=7
P(0, 7) ∈ recta
+3
–4 ∆y
m= 3 =
–4
∆x
Si m < 0
y = mx + h
es decreciente

15. Represente: y=5 x
4
h=0
P(0, 0) ∈ recta
m= 5 = ∆y
4 ∆x
Si h = 0, m ≠
0
+5 y = mx
+4 Función de
proporcionalidad
directa

16. Represente: y = 6
h=6
P(0, 6) ∈ recta
∆y
m = 0=
∆x
Si m = 0
y=h
Función
constante

17. Sea la función y = 2x + 1 m = 2, h = 1
A(–3, –5) B(–2, –3)
D(2, 5) y2 – y1
C(0, 1) = D(2, 5)
2
x2 – x1
C(0, 1)
B(–2,–3) P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2)
A(–3,–5) y2 – y1
=m
x2 – x1

18. Sea la función y = mx + h
P2(x2 , y2) ∈ recta ⇒ y2 = mx2 + h
P1(x1 , y1) ∈ recta ⇒ y1 = mx1 + h
y2 – y1 = mx2 – mx1
y2 – y1 = m.(x2 – x1)
y2 – y1
Si x2 ≠ x1 ⇒ m=
x2 – x1

19. y2 – y1
y2
m=
P2 x2 – x1
y2 – y1 y2 – y1
tg α =
x2 – x1
y1
P1 α
x2 – x1
α tg α = m
x1 x2
x2 – x1

20. Si P1(x1, y1) ∈ recta y m es la pendiente:
y – y1 = m.(x – x1)
P1(x1, y1) si P2(x2, y2) ∈ recta
y2 – y1
m=
x2 – x1
P2(x2, y2)
y2 – y1
y – y1 = .(x – x1)
x2 – x1
x2 ≠ x1 y – y1 x – x1
=
y2 ≠ y1 y2 – y1 x2 – x1

21. Forma explícita: y = mx + h
Forma punto–pendiente: y – y1 = m.(x – x1)
y – y1 x – x1 x2 ≠ x1
Forma simétrica: =
y2 – y1 x2 – x1 y2 ≠ y1
Forma general o implícita: ax +by + c = 0

22. y = m1 x + h1
y = m2 x + h2
Rectas
paralelas
α2 α1 α1 = α2
tg α1 = tg α2
m1 = m2

23. y= 3 x+4 y = –2 x + 7
2 3
Rectas
perpendiculares
m1 = 3 m2 = –2
2 3
m1 = –1
m2
m1 . m2 = –1