Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método del punto fijo multivariante, el método de Newton-Raphson y su modificación, y técnicas para acelerar la convergencia. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y fórmulas matemáticas. El objetivo es proporcionar una guía sobre cómo aplicar diferentes enfoques para encontrar las raíces de sistemas de ecuaciones no lineales.

2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO
LINEALES

3. MÉTODOS
• Método del punto fijo multivariante
• Método de Newton-Raphson
• Método de Newton-Raphson modificado
• Aceleración de convergencia
Los diferentes métodos se ilustrarán a continuación mediante ejemplos
prácticos en los cuales se aplicará el método correspondiente a cada
uno.

4. Método del punto fijo multivariante.
Consiste en obtener una raíz, o solución, de una
ecuación de la forma f(x) = 0,la misma que debe ser
transformada en una ecuación equivalente de punto
fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación
f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de
manera que se defina: x= g(x).
Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al
asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de
“g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)].
xn+1 = g(xn).

5. Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener
una aproximación, para k=1, 2, 3,… hasta que convergen,
y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) que
generalizando se tiene:
xn+1 = g(xn).
Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible
establecer el error aproximado, para ello se lo calcula
usando el error normalizado el mismo que se lo sintetiza
con la expresión matemática:

6. Ejemplo:
Hallar las solución al siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el
método de punto fijo:

7. Calculo de las iteraciones:

9. Método de Newton-Raphson
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1)
como aproximación del punto de intersección de las
funciones u(x, y) y v(x, y) que hacen que éstas se
anulen.
y
u(x, y)
y1
x1
x

10. • Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y)
valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los
cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
y
u(x, y)
y1
v(x, y)
x1
x

11. • Trazar una recta tangente paralela a la secante que
une los puntos
u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente
paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x,
y1)
y
v(x1, y)
u(x, y)
u(x1, y)
y1
u(x, y1)
v(x, y1)
v(x, y)
x1
x

12. • El punto de intersección de estas dos tangentes
constituye una segunda aproximación (x2, y2) del
punto de intersección de las dos funciones
y
u(x, y)
y2
y1
v(x, y)
x1 x2
x

13. • El proceso se repite n veces hasta que las
coordenadas del punto de intersección (xn, yn)
coincida prácticamente con el valor exacto de la
intersección entre las dos curvas.
y
u(x, y)
y2
y1
v(x, y)
x1 x2
x

14. • Y cuya solución es:
v i
ui
ui
 vi
y
y
xi1  xi 
J
ui
v i
vi
 ui
x
yi1  yi  x
J
• Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:
 ui
 x
J
 ui
 y

v i 

x

v i 

y 

15. x2 + xy - 10 = 0
y + 3xy2 - 57 = 0
iteración
xi
yi
ui
vi
ux
uy
vx
vy
1
1.5
3.5
-2.5
1.625
6.5
1.5
36.75
32.5
2
2.03602882
2.8438751
-0.064374959
-4.756208497
6.915932746
2.036028823
24.26287675
35.74127004
3
1.99870061
3.002288563
-0.004519896
0.04957115
6.999689781
1.998700609
27.04120985
37.00405588
4
1.99999998
2.999999413
-1.28609E-06
-2.21399E-05
6.999999381
1.999999984
26.99998944
36.99999267
5
2
3
0
2.23821E-12
7
2
27
37
iteración
ex(%)
1
25
2
1.8
26.33
5.2
23.07
3
0.06
1.87
0.08
5.28
4
0
0.06
0
0.08
5
0
0
0
0
ex*(%)
ey(%)
ey*(%)
16.67
De lo cual se puede concluir que la
solución del sistema es x=2 e y=3, ya
que el error es cero.
* El método de Newton-Raphson
modificado considera la misma
matriz Jacobiana durante todo el
proceso o al menos un número fijo
de iteraciones

16. ACELERACIÓN DE
CONVERGENCIA

17. Se entiende por convergencia de un método numérico la
garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones
(iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por
acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un
menor número de iteraciones que otro, para acercarse al
valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez
de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel
de garantía de convergencia, y es que algunos métodos
numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen;
es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante una muy
amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es
más seguro que converja que otro, entonces se dice que
tiene una mayor estabilidad.

18. En Métodos numérico la velocidad con la cual
una sucesión converge a su límite es llamada orden de
convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista
práctico, muy importante si necesitamos trabajar con
secuencias de sucesivas aproximaciones de un método
iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar
diez o un millón de iteraciones.
En particular, convergencia de orden 1 es llamada
convergencia lineal, la de orden 2 convergencia cuadrática y
la convergencia de orden 3 convergencia cúbica.
Al tratar de convertir un proceso de tipo
de
convergencia lineal en otro de convergencia cuadrática y por
consiguiente de convergencia más rápida: es lo que se
conoce con el nombre de aceleración de la convergencia de
un proceso iterativo

19. PROCESO Δ² DE AITKEN
En análisis numérico, el método o proceso Δ² de
Aitken es un método de aceleración de la convergencia.
Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión
que converge linealmente. Cuando se aplica el método
de Aitken a una sucesión obtenida mediante
una iteración de punto fijo se conoce como método de
Steffensen.

21. Ejemplo:
Aplicar el aceleramiento de Aitken para hallar la
solución de con un :