Distribución de probabilidad v.a continuas

2. Distribuciones de Probabilidad para
Variables aleatorias continuas
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

3. Variables aleatorias continuas
Se dice que una 𝑣. 𝑎 X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un
intervalo de números, esto es, si para algún A < B, cualquier número x entre A y
B es posible.
Ejemplos :
1. Si el estudio de la ecología de un lago efectuamos mediciones de su
profundidad en lugares seleccionados al azar, entonces X= la profundidad en tal
lugar es una 𝑣. 𝑎 continua. Aquí A es la profundidad mínima en la región donde
se hace el muestreo, y B es la profundidad máxima.

5. Función de densidad de probabilidad
Para una variable aleatoria continua X, una función de densidad de probabilidad
es una función tal que
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0
2. −∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
3. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑓 𝑥
𝑑𝑒 𝑎 a 𝑏, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎.

6. Ejemplo
Sea que la variable aleatoria continua X denote la corriente medida en un
alambre delgado de cobre en miliamperes. Suponga que el rango de X es [0,
20mA], suponga asimismo que la función de densidad de probabilidad de X es
𝑓 𝑥 = 0.05 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 20. ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de
la corriente sea menor que 10 miliamperes?
𝑃 𝑋 < 10 = 0
10
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0.05
𝑃 5 < 𝑋 < 15 =

7. Ejemplo
Sea que la variable aleatoria continua X denote el diámetro de un agujero
taladrado en un componente metálico. El diámetro especificado es 12.5
milímetros. La mayoría de las perturbaciones aleatorias del proceso resultan en
diámetros mayores. Datos históricos indican que la distribución de X puede
modelarse con la función de densidad de probabilidad
𝑓 𝑥 = 20𝑒−20(𝑥−12.5), 𝑥 ≥ 12.5
Si un componente con un diámetro mayor que 12.60 milímetros se desecha,
¿Qué proporciones de los componentes se desecha?. Un componente se
desecha si 𝑋 > 12.60.

8. Solución
P X > 12.60 = 12.6
∞
f x dx =
12.6
∞
20e−20(x−12.5)dx = −e−20(x−12.5) ∞
12.6
= 0.135
¿Qué proporción de los componentes tiene entre 12.5 y 12.6 milímetros?
𝑃 12.5 < 𝑋 < 12.60 =
12.5
12.6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
12.5
12.6
20𝑒−20(𝑥−12.5) 𝑑𝑥 = −𝑒−20(𝑥−12.5) 12.6
12.5
= 0.865

9. Función de distribución acumulada
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria
continua X es
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = −∞
𝑥
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 para −∞ < 𝑥 < ∞

10. Distribución acumulada
Para la operación de taladrado del ejemplo anterior . 𝐹(𝑥) consta de dos
expresiones:
𝐹 𝑥 = 0 parra 𝑥 < 12.5 y
𝐹 𝑥 = 12.5
x
20e−20(u−12.5)
d𝑢
= 1 − 𝑒−20 𝑥−12.5 para 12.5 ≤ 𝑥
Por lo tanto
𝐹 𝑥 =
0 𝑥 < 12.5
1 − 𝑒−20 𝑥−12.5 12.5 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥

11. Ejemplo
Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por 𝑓 𝑥 calcule su función de
distribución.
𝑓 𝑥 =
𝑥
2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠