Estrategias para escoger el método de integración que debe usarse para resolver una integral indefinida.

1. Estrategias para la Integracion*
´
La integraci´n ofrece m´s retos que la derivaci´n. Para hallar la derivada de una funci´n, es obvia
o a o o
la f´rmula de derivaci´n que se debe aplicar; pero quiz´ no sea obvia la t´cnica adecuada para integrar
o o a e
cierta funci´n.
o
Hasta ahora hemos aplicado t´cnicas individuales: la sustituci´n, la integraci´n por partes, la sustitu-
e o o
ci´n trigonom´trica y las fracciones parciales. Pero en cualquier momento se presentar´ un conjunto
o e a
de diversas integrales, ordenadas al azar, y el objeto principal ser´ reconocer cu´l t´cnica de f´rmula
a a e o
emplear. No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cu´l m´todo aplicar en determi-
a e
nado caso, pero presentaremos algunos consejos sobre la estrategia que pueden serle de utilidad.
Uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las f´rmulas b´sicas de
o a
integraci´n. En la tabla de integrales se presentan las principales f´rmulas. Es util conocerlas todas y
o o ´
debe memorizarlas en su mayor parte (varias se deducen con facilidad).
Una vez con estas f´rmulas b´sicas de integraci´n, si no percibimos de inmediato c´mo atacar una in-
o a o o
tegral espec´
ıfica, podremos entonces seguir la estrategia de cuatro pasos que describiremos en seguida.
1. Simplifique el integrando, si es posible A veces, si se emplea el ´lgebra o identidades
a
trigonom´tricas, se podr´ simplificar el integrando y el m´todo de integraci´n ser´ m´s obvio.
e a e o a a
A continuaci´n presentamos algunos ejemplos:
o
√ √ √
x(1 + x) dx = ( x + x) dx
tan x sen x
dx = · cos2 x dx = sen x cos x dx
sec2 x cos x
(sen x + cos x)2 dx = (sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x) dx = (1 + 2 sen x cos x) dx
2. Vea si hay una sustituci´n obvia Se debe tratar de encontrar alguna funci´n, u = g(x), en el
o o
integrando, cuya derivada, du = g (x)dx tambi´n est´ presente, sin importar un factor constante;
e e
por ejemplo, en la integral
x
dx
x2 − 1
observamos que si u = x2 − 1, entonces du = 2xdx; por consiguiente, usamos la sustituci´n en
o
lugar de las fracciones parciales.
*
Nota: Tomado de C´lculo de Una Variable (Trascendentes Tempranas), de James Stewart.
a

2. 3. Clasifique el integrando de acuerdo con su forma Si no se ha llegado a la soluci´n con los
o
pasos 1 y 2, hay que fijarse en la forma del integrando, f (x).
a) Funciones trigonom´tricas. Si f (x) es un producto de potencias de sen x y cos x, de tan x
e
y sec x, o de cot x y csc x, aplicaremos las sustituciones recomendadas en la secci´n 7.2
o
Integrales Trigonom´tricas (enviado por correo).
e
b) Funciones racionales. Si f es una funci´n racional, aplicaremos el procedimiento de frac-
o
ciones parciales.
c) Integraci´n por partes. Si f (x) es un producto de una potencia de x (o de un polinomio)
o
por una funci´n trascendente (una funci´n trigonom´trica, exponencial o logar´
o o e ıtmica), pro-
baremos la integraci´n por partes.
o
d ) Radicales. Se recomiendan determinadas sustituciones cuando uno se encuentra con ciertos
radicales
√
1) Si se presenta ±x2 ± a2 cabe emplear una sustituci´n trigonom´trica de acuerdo a
o e
las condiciones vistas en clase.
√ √
2) Si se presenta n ax + b se aplica la sustituci´n de racionalizaci´n, u = n ax + b.
o o
4. Pruebe de nuevo Si no ha llegado a la respuesta con los primeros tres pasos, recuerde que s´lo
o
hay dos m´todos b´sicos de integraci´n: por sustituci´n y por partes.
e a o o
a) Pruebe con la sustituci´n. Si no hay una sustituci´n obvia (paso 2), a veces la inspiraci´n,
o o o
el ingenio (incluso la desesperaci´n), pueden sugerir la sustituci´n adecuada.
o o
b) Intente por partes. Aunque la integraci´n por partes se emplea casi siempre en productos
o
de la forma descrita en el paso 3(c), en ocasiones opera para una sola funci´n. En dicha
o
secci´n, vimos que funcion´ para tan
o o −1 x, sen−1 x y ln x, y que todas ellas son funciones
inversas.
c) Modifique el integrando. El manejo algebraico (quiz´s racionalizar el denominador o usar
a
identidades trigonom´tricas) puede ser de utilidad para transformar a la integral en una
e
forma m´s f´cil. Estos cambios pueden ser m´s importantes que los que se intentaron en
a a a
el paso 1, y precisar cierto ingenio; por ejemplo, los cambios realizados para conseguir la
integral de sec x y csc x.
d ) Relacione el problema con otros anteriores. Cuando haya acumulado algo de experiencia en
la integraci´n, podr´ emplear cierto m´todo en una integral que sea semejante a un m´todo
o a e e
que haya aplicado a otra integral. O hasta podr´ expresar la integral dada en t´rminos de
a e
una anterior.
e) Emplee varios m´todos. A veces se necesitan dos o tres m´todos a fin de evaluar una integral.
e e
En la evaluaci´n pueden intervenir varias sustituciones sucesivas de diversos tipos o se puede
o
combinar la integraci´n por partes con una o m´s sustituciones.
o a